专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)（解析版）.docx

1、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录一、典型题型1题型一：插入新数列构成等差1题型二：插入新数列构成等比5题型三：插入新数混合7二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练11一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1（2023秋湖北高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由得时-得，中令得，是以为首项，为公比的等比数列，（2

2、）假设存在这样的三项成等比数列，为递增数列，不妨设，则则，成等差数列，由，得，所以，与题设矛盾不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.例题2（2023全国高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列(1)求数列的通项公式(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由【答案】(1)(2)是数列的第8项【详解】（1）设数列的公差为由题意可知，于是因为，所以，所以所以所以数列的通项公式是（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则令，解得所以是数列的第8项例

3、题3（2023全国高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.【答案】(1)(2)6【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，因为，所以，解得或（舍去），因为，所以，即，解得或（舍去），所以；（2）由题意可得，则，故数列单调递增，不难发现，故满足题意的m的最小值为6.例题4（2023春吉林长春高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，

4、求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为q，当时，有，则，当时，两式相减可得：，整理得，可知，代入可得，所以等比数列的通项公式为；（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，所以则，设，则是递增数列，当n为偶数时，恒成立，即，所以；当n为奇函数时，恒成立，即，所以；综上所述，的取值范围是例题5（2023春广东佛山高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.(1)求及数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意，当时，解得，当时，即，解得，当时，由，可得

5、，两式相减，可得，整理，得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）由（1）可得，在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，则有，两式相减得，.题型二：插入新数列构成等比例题1（2023全国高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（）A30B91C273D820【答案】C【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，所以，则由，得，即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是

6、数列的项，且，所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.故选：C.例题2（2023全国高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 .【答案】27【详解】依题意，所以，所以或（舍去），所以.故答案为：例题3（2023高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，使得这个数成等差数列，则有结论成立若，在a，b之间插入个正数，使得这个数成等比数列，则有相应的结论 成立【答案】【详解】因为，成等比数列，则，则则，即.故答案为：.例题4（2023全国高二专题练习）回答下面两个问题(1)在等差数列中，已知，求a1与Sn (2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列

7、，求该数列的通项公式【答案】(1)，(2)【详解】（1），解得 ；（2）设此等比数列的公比为q， 解得： 例题5（2023春福建高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，证明见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意，在数列中，当时， 成等差数列，即，即，即.，猜想.下面我们证明.，当时，对任意正整数，均有，即数列的通项公式为：.（2）由题意及（1）得，在数列中，.

8、假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，即，化简得，成等差数列，化简得，又，即，这与题设矛盾，所以假设不成立，在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.题型三：插入新数混合例题1（2023春湖北荆门高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和(1)求数列的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，当时，递推得，因为数列各项均为正数，所以，又，数列为等差数列，故（2）设和插入的个数构成一组数，则前组共有个数，令，又，解得：；当时，的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，例题2（2

9、023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，解得（舍去），由得时，两式相减得，因为，所以，所以是等差数列，首项为4，公差为3，所以；（2）由于，因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，所求和为.例题3（2023全国高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.(1)求数列的通项公式；(2)试确定的值，使得数列为等差数列；(3)当为等

10、差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.【答案】(1)(2)(3)2226【详解】（1）由题意，可得，所以，解得或（舍），则，又，所以.（2）由，得，所以，因为数列为等差数列，所以，解得，所以当时，由（常数）知此时数列为等差数列.（3）因为，所以与之间插入个2，所以与之间插入个2，所以与之间插入个2，则的前项，由个，构成，所以.例题4（2023全国学军中学校联考二模）设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以数列为首项为1

11、，公比为的等比数列，所以，所以当时，所以，所以当时，又也满足该关系，所以数列的通项公式为；（2）数列中在之前共有项，当时，当时例题5（2023全国高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.【答案】(1)(2)1809【详解】（1）由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，所以时， ，又时，得，也满足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故.二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练一、单选题1（2023春江苏南通高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1

12、，构成数列：，则数列的前18项的和为（）A43B44C75D76【答案】C【详解】在，之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，当时，由于，所以故选：C.2（2023安徽滁州校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（）A4056B4096C8152D8192【答案】C【详解】插入组共个，前面插入12组数，最后面插入9个，又数列的前13项和为，故选：C3（2023全国高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加

13、快义务教育优质均衡发展和城乡一体化某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列按新数列的各项依次派遣支教学生记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（）A387B388C389D390【答案】A【详解】数列满足，在任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，其中，之间插入2个3，之间插入4个3，之间插入8个

14、3，之间插入16个3，之间插入32个3，之间插入64个3，又，数列的前70项含有前6项和64个3，故故选：A.4（2023全国高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（）A6B12C18D108【答案】A【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，所

15、以，即，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，是以，所以，则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，所以经过11次拓展后6所在的位置为第，所以.故选：A.二、多选题5（2023全国高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的明万历十二年（公元1584年）他写成律学新说，提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（）A插入的第8个数为B插入的第5个数是插入的第1个数的倍CD【答案】BC【详解】设该等比数列为，公比为

16、，则，故，所以，故A错误；因为，故B正确；，要证，即证，即证，即证，即证，而，故C正确；而，因，所以，所以即,所以，D错误.故选：BC三、填空题6（2023春高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时， .【答案】7【详解】由等差数列的性质可知得，则，当且仅当时取等号，此时，所以所以，因此，可得故答案为：77（2023秋江苏盐城高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 【答案】370【详解】因为与之间插入个4，其中

17、，之间插入2个4，之间插入4个4，之间插入8个4，之间插入16个4，之间插入32个4，由于，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故.故答案为：370.四、解答题8（2023春安徽芜湖高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，即，当时，即，又因为是等比数列，所以的公比为3，且，即，所以；（2）由（1）可得，所以，则，所以令，所以，： 所以，因为，所以.9（2023春河北石家庄高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)求数列的通项

18、公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意，在数列中，当时，成等差数列，所以，即，所以时，又由知时，成立，即对任意正整数均有，所以，从而，即数列的通项公式为：.（2）由题意及（1）得，在数列中，所以.假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，即，化简得，因为成等差数列，所以，所以，化简得，又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.10（2023浙

19、江校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且(1)求的通项公式；(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由数列的前n项和为，且，当时，所以，当时，不符合上式，所以数列的通项公式为（2）解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，则新数列的前100项为3，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1， ，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，则11（2023春江苏扬州高二扬州中学校考期中）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足(1)求数列，的通项公式;(2)若对数列， 在与之间插入

20、个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.【答案】(1)，(2)4090【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意，所以当时，-可得，当时，适合，所以（2）因为，所以在数列中，从项开始到项为止，共有项数为，当时，；当时，所以数列前2023项是项之后还有2023-1034=989项为2，所求和为.12（2023秋江苏南通高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.【答案】(1)(2)244【详解】（1）设公差为，由题意得，化简得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）知在与之间插入个2，所以当忽略数列中的项，则当有次插入新数，共有个项，当时，有62个数；当时，共有126个数，所以110项应该介于和之间，即，表示共有104个2和原先中前6项之和，所以.