数学：2.1《合情推理与演绎推理》素材5（苏教版选修1-2）.doc

1、例谈“三段论”在几何证明中的应用三段论式推理是演绎推理的主要形式，同时，它也是一种最常用的推理规则它包括大前提、小前提和结论在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式但对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用，本文略举几例，意在帮助同学们理解三段论推理的思维模式和过程例如图1，、分别是、上的点，且求证：证明：（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）与是同位角，且，（小前提）所以（结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）且，（小前提）所以四边形是平行四边形（结论）（3）平行

2、四边形的对边相等，（大前提）和为平行四边形的对边，（小前提）所以（结论）上面的证明通常简略地表述为：四边形是平面四边形评注：分析上述过程可以看出，推理的每一个步骤都是根据一般性命题（如“同位角相等，两条直线平行”）推出特殊性命题（如“”）的过程，在这个过程中只要前提为真，推理形式正确，结论必然为真，所以认清三段论的结构是关键例2已知：空间四边形中，点分别是的中点（如图2）求证：平面证明：连结因为点分别是的中点，所以又因为平面，平面，所以平面评注：在证明中，第一步实际上暗含着一个一般性的原理：三角形的中位线平行于第三边，这是大前提而对特殊的，是中位线，这是小前提 把一般性原理用于前面的特殊情况，

3、便得到结论第二步同样暗含着一个一般性的原理：如果不在一个平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，这是大前提而，平面，平面，这是小前提把一般性的原理用于前面的特殊情况，便得到结论平面高考中的“合情思维”所谓“合情思维”，简单地说，就是在直觉引导下进行合理的猜测法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具”在近年来的数学高考试题中，除考查逻辑推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题考查学生的“合情思维”能力其中主要有归纳和类比一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律归纳过程的典型步骤是

4、：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证归纳是发现和认识规律的重要手段观察图形，寻找规律例1（2006年高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则_； _（答案用n表示）解析：由题意首先可以看出：第一堆一层、第二堆两层、第三堆三层、第n堆有n层；再看每一层的球数，有没有注意到一个规律

5、：第二堆最底层上方所有的球数正好与第一堆的球数相等、第三堆最底层上方所有的球数正好与第二堆的球数相等、第四堆最底层上方所有的球数正好与第三堆的球数相等、于是，2分析式子，寻找规律例2（2005年全国高考湖南卷）设，则（）（A）（B）（C）（D）解析：本题若通过递推关系，将前2004项逐一求出是不现实的这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形， 由此继续求导下去，四个一循环，又，所以故选（C）二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种

6、较高层次的信息迁移1类比旧知识，推出新结论例3（2006年高考湖北卷）半径为r的圆的面积，周长，若将r看作上的变量，则，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可用语言叙述为_解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出恰好成立，答案：，球的体积函数的导数等于球的表面积函数点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积、周长与球的体积、表面积进行类比2类比新知识，推出新结论例4（2006年高考四川理改编）非空集合关于运算?茌满足：（1）对任意的，都有，（2）存在，都有，则称关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：非负整数，为整数的加法偶数，为整数的乘法平面向量，为平面向量的加法二次三项式，为多项式的加法其中关于运算为“融洽集”的是_（写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移条件（1）说明经过?茌的运算后集合的封闭性；条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）在中，两个非负整数相加仍然是非负整数，为整数集中的在中，要满足，则，显然在中，两个平面向量相加仍然是平面向量，为零向量在中，此时的，不是二次三项式故选高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )