专题10平行线的性质定理（2大考点 8种题型）（原卷版）.docx

1、专题10平行线的性质定理（2大考点+8种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：平行线的性质定理考点二：综合应用题型一：两直线平行同位角相等题型二：两直线平行内错角相等题型三：两直线平行同旁内角互补题型四：根据平行线的性质探究角的关系题型五：根据平行线的性质求角的度数题型六：根据平行线判定与性质求角度题型七：根据平行线判定与性质证明题型八：利用平行线间距离解决问题考点一：平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； 简记

2、为：两直线平行，同旁内角互补考点二：综合应用1三个距离：（1） 两点之间的距离；（2） 点到直线、射线、线段的距离；（3） 平行线间的距离2几种角：（1） 余角：1+2=90，补角：1+2=180；（2） 邻补角：1+2=180(有一条公共边和公共顶点)；（3） 对顶角；（4） 同位角、内错角、同旁内角3可以用来推理的依据：（1） 同角的余角相等，同角的补角相等；（2） 对顶角相等；（3） 邻补角的意义；（4） 角平分线的意义；（5） 垂直的意义；（6） 判定平行线的三个方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（7） 平行线的三个性质：两直线平行，同位角

3、相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；（8） 垂直于同一条直线的两条直线平行；（9） 平行于同一条直线的两条直线平行；（10） 平行线间的距离处处相等；（11） 等量代换；（12） 等式的性质4几个基本性质（1） 两点之间，垂线段最短；（2） 垂线段最短；（3） 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（4） 经过直线外的一点有且只有一条直线平行于已知直线题型一：两直线平行同位角相等【例1】（2023下上海七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（）A第一次右拐，第二次左拐B第一次左拐，第二次右拐C第一次左拐，第二

4、次左拐D第一次右拐，第二次右拐【变式1】（2022下七年级单元测试）如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G已知，则的度数是（）ABCD【变式2】（2023下上海闵行七年级统考期末）已知：如图，三角尺的直角顶点在直线b上，的度数为 【变式3】（2021下上海闵行七年级校考期中）如图，已知，垂足分别为点D、G，且，请说明与相等的理由【变式4】（2021下上海松江七年级校考期中）已知：如图，线、线是直线，试说明解：（已知），_（），（已知），_（），（已知），（），即_，_（），（）【变式5】（2022下上海七年级上外附中校考期末）如图，已知BF，BAC+ADE180

5、，说明AFBC的理由解：因为BAC+ADE180（已知），所以ABDE （_）所以B_（_）因为BF（已知），所以_（_）所以AFBC （_）题型二：两直线平行内错角相等【例2】（2023下上海普陀七年级统考期中）如图，已知，下列说法中正确的是（）ABCD【变式1】（2022下上海七年级上海市文来中学校考期中）如图：已知，试说明的理由【变式2】（2020下上海金山七年级统考期中）如图，已知，说明的理由【变式3】（2021下上海七年级校考期中）如图，已知，BD/EF，那么B与1相等吗？为什么？【变式4】（2022下上海七年级专题练习）已知：如图，ABC求证：A+B+C180证明：如图，作BC的延

6、长线CD，过点C作CEAB，CEAB ，1B ，2A ，1+2+ACB180 ，A+B+ACB180 题型三：两直线平行同旁内角互补【例3】（2023下上海松江七年级统考期中）如图，已知，求的度数（请写出过程依据）【变式1】（2023下上海浦东新七年级校考期末）如图，已知，求的度数【变式2】（2023下上海奉贤七年级校考期中）如图，已知，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明解：因为（已知） 所以（_） 因为（已知） 所以_（两直线平行，同旁内角互补） 所以（_） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（_） 所以_（等式性质） 因为（已知）所以（两直线平行，内错角相等） 所以（_） 所

7、以（_）【变式3】（2022下上海七年级期中）如图，已知：EF，12，试说明：ABH+CHB180【变式4】（2022下上海七年级校联考期末）如图所示，、之间是一座山，一条高速公路要通过、两点，在地测得公路走向是北偏西如果、两地同时开工，那么在地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？题型四：根据平行线的性质探究角的关系【例4】（2021下上海七年级上海市南洋模范初级中学校考期中）如图，已知，于点，那么与有什么数量关系？为什么？【变式1】（2023下上海七年级专题练习）已知直线AB/CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间(1)如图1，连接GM，HM求证：MAGMCHM；(2

8、)如图2，在GHC的角平分线上取两点M、Q，使得AGMHGQ试判断M与GQH之间的数量关系，并说明理由【变式2】（2023下上海七年级专题练习）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设PAE1，APB2，PBF3(1)如图，当点在线段上运动时，试说明132；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况如图2写出1，2，3之间的关系并给出证明；如图3所示，猜想1，2，3之间的关系（不要求证明）【变式3】（2023下七年级单元测试）（1）问题发现：如图，直线，连结，可以发现请把下面的证明过程补充完整

9、：证明：过点作，（_）（已知），（_）（_）（等量代换）（2）拓展探究：如果点运动到图所示的位置，其他条件不变，说明：（3）解决问题：如图，是与之间的点，直接写出，之间的数量关系【变式4】（2021下上海金山七年级统考期中）已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P(1)如果P点在C，D之间运动时，问，有怎样的数量关系？请说明理由(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【变式5】（2023下上海七年级专题练习）如图，已知直线，直线与直线，分别交于点和点，在直线上

10、存在一点(1)若点在点与点之间运动，那么，有怎样的数量关系？请说明理由(2)若点在两点的外侧运动（点与点不重合），试探索，之间的关系（请直接写出答案）【变式6】（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，分别为，(1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，之间的关系并说出理由(2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，之间的关系，并说明理由 【变式7】（2022下上海七年级专题练习）探究并尝试归纳：(1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角A，试求1+2+A的

11、度数，请加以说明(2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角A和B，请直接写出1+2+A+B度(3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角当形成n个折时，请归纳并写出所有角与1、2的总和：【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】题型五：根据平行线的性质求角的度数【例5】（2022下上海七年级期末）如图，直线DE经过点A，DEBC，B42，C57，求DAB、CAD的度数【变式1】（2022下上海宝山七年级校考阶段练习）如图，已知A的两边与D的两边分别平行，且D比A的3倍少20，求D的度数【变式2】（2023

12、下上海闵行七年级统考期中）已知：如图，度，度，求C的度数【变式3】（2023下上海静安七年级上海市回民中学校考期中）如图，是的角平分线，求的度数【变式4】（2022下上海七年级期中）如图，BDAGEC，ABD60，ACE36，AP平分BAC，(1)求BAC的度数；(2)求PAG的度数【变式5】（上海普陀七年级统考期中）如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D(1)求的度数；(2)当点P运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；(3)当点P运动到某处时，求此时的度数【变式6】（2023下上海普陀七年级统考期中）长江汛期来临

13、之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了两盏激光探照灯如下图所示光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转(1)如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒，如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即_；用含的代数式表示光线转动的角度，即_如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求的值(2)如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？【变式7】（2021下上海七年级期中）（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明（2）应

14、用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点若，则的大小是多少？（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、若，则度（请直接写出答案）【变式8】（2021下上海浦东新七年级校考期中）请回答下列各题(1)探究：如图1，ABCDEF，试说明BCFBF(2)应用：如图2，ABCD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N若EFG115，EMB55，则DNG的大小是多少？(3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且ABCDEF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直

15、线GH上，连结QG、QH若GQH70，则AGQEHQ 度（请直接写出答案）【变式9】（2023下上海七年级专题练习）如图1，AB/CD，E是AB，CD之间的一点(1)判定BAE，CDE与AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若BAE，CDE的角平分线交于点F，直接写出AFD与AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若AGD的余角等于2E的补角，求BAE的大小题型六：根据平行线判定与性质求角度【例6】（2022下上海七年级期末）阅读并填空：如图，已知12357，求4的度数解：因为13（已知），所以_（同位角相等，两直线平行）所以2_因为257（已

16、知），所以_57（等量代换）因为4+_180（邻补角的意义），所以4_（等式性质）【变式1】（2023下上海七年级统考期中）如图，已知，那么等于多少度？为什么？解：过点E作，得（ ）因为（已知）（所作）所以（ ）得 （两直线平行，同旁内角互补）所以 （等式性质）即 因为（已知）所以 （等式性质）【变式2】（2023下上海松江七年级统考期末）如图，已知点分别在的边上，求：的度数【变式3】（2023下上海浦东新七年级校考期末）如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足已知，且(1)求a，b的

17、值；(2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数；(3)如果灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒两灯的光线互相平行？【变式4】（2022下上海杨浦七年级校考期中）已知：直线分别与直线，相交于点，平分，分别为直线和线段上的点(1)如图，平分，若，求的度数(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论【变式5】（2022下上海宝山七年级校考阶段练习）已知ABCD，点M为平面内的一点，AMD90(1)当点M在如图1的位置时，求MAB与D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在

18、如图2的位置时，则MAB与D的数量关系是 （直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作MEAB，垂足为E，EMA与EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与MAB相等的角是 ，FMG 度题型七：根据平行线判定与性质证明【例7】（2023下上海杨浦七年级统考期末）如图，已知，试说明的理由【变式1】（2023下上海奉贤七年级校考期中）请将下列证明过程补充完整：如图，于D，于G，说明平分的理由证明：因为于D，于G（已知）所以（_）所以（_）所以（_）所以_（_）又因为（已知）所以_（等量代换）所以平分【变式2】（2023下上海奉贤七年级校考期中）如图，

19、已知，说明的理由【变式3】（2023下上海浦东新七年级校考期末）如图，直线与，的延长线分别交于点E、F，试说明：【变式4】（2023下上海宝山七年级校考期中）如图，已知，垂足分别为点，试说明的理由【变式5】（2023下上海普陀七年级统考期末）已知：如图，在中，点D、G分别在边、上，且，F在的延长线上，E在上，如果，说明的理由解：因为（已知），所以（_）所以_（_）因为_（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）因为（已知），所以_（等式性质）所以（等量代换）【变式6】（2023下上海杨浦七年级统考期末）如图，已知，试说明的理由解：因为（已知），所以（_）因为（已知），所以_（_）因为（已

20、知），所以（_）即所以_所以（_）【变式7】（2021下上海浦东新七年级上海市建平实验中学校考期中）（1）如图a所示，且点E在射线与之间，请说明的理由（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方请尝试探索，三者的数量关系并说明理由【变式8】（2023下上海松江七年级统考期中）填空，并把证明过程补充完整如图，已知中，、分别是、边上的点，点是线段上的点，且，求证：证明：点是线段上的点，_，已知，_请补充证明过程，并写出过程依据【变式9】（2023下上海普陀七年级统考期中）如图，已知在中，为边上一点，交边于点，且，请说明的理由解：因为（已知），所以_（_）即_因为（已知），所以_（两直线平行，同位角

21、相等）因为（已知），所以_（等量代换）所以（_）题型八：利用平行线间距离解决问题【例8】（2023下上海杨浦七年级统考期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E与的面积相等吗？为什么？解：作，垂足为，作，垂足为又因为（已知），所以_（平行线间距离的意义）（完成以下说理过程）【变式】（上海黄浦七年级统考期中）（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：_（填“”、“”或“=”）（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种

22、植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）一、单选题1（2023下上海七年级统考期中）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（）A；B；C；D.2（2023下上海浦东新七年级上海市进才中学校考期末）如图，已知，、分别平分、，则图中与互余的角共有（）A3个B4个C5个D6个3（2023下上

23、海静安七年级上海市回民中学校考期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（）A相等或互补B相等C互补D以上都不对4（2023下上海七年级期中）如图，a、b被c所截，得到的依据是（）A两直线平行，同位角相等B两直线平行，内错角相等C同位角相等，两直线平行D内错角相等，两直线平行5（2023下上海浦东新七年级校考期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（）A30或60B60或120C45或60D30或1206（2023下上海七年级期中）如图，若，用含、的式子表示x，应为（）A B C

24、 D二、填空题7（2023下上海普陀七年级统考期中）如图，已知直线被直线所截，且，那么 8（2023下上海徐汇七年级统考期末）如图，已知，点P是直线上的点，那么的度数是 度9（2023下上海宝山七年级统考期末）如图，直线、被直线所截，如果，那么 10（2023下上海虹口七年级上外附中校考期末）如图，则B、C、D的关系是 11（2021下上海松江七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好是和第一次拐弯之前的道路平行，则 12（2023下上海七年级专题练习）如图，于A点，过A点作，若，则 13（2023下上海七

25、年级统考期中）如图，已知，平分，那么 14（2023下上海普陀七年级统考期中）如图，在梯形中，点分别在边上，如果，那么 15（2023下上海闵行七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 16（2023下上海徐汇七年级统考期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是 17（2023下上海浦东新七年级校考期中）如图，直线，、之间的数量关系是 18（2021下上海徐汇七年级校考期中）已知，如图，四边形中，点E在

26、线段上，为线段上一点，过点作，交直线于点将沿翻折，使点的对应点落在线段上，当时，的度数是 三、解答题19（2023下上海闵行七年级统考期中）已知：如图，与互补，试说明解：因为与互补所以（ ）所以（ ）又因为（ ）所以 （等式性质）即所以（ ）所以（ ）20（2023下上海松江七年级统考期中）如图，已知，请你说明为什么解：_（请添写辅助线说明），所以_，因为已知，即，所以_，所以_，所以_21（2023下上海静安七年级上海市回民中学校考期中）如图，已知：，说明22（2023下上海普陀七年级统考期中）如图，已知，说明解：因为（已知），所以 （内错角相等，两直线平行）所以（ ）又因为（已知），所以

27、（两直线平行，同位角相等）所以（ ）23（2023下上海七年级校考期中）如图，已知三点、在同一条直线上，试说明的理由解：因为（已知）所以（）所以_（）因为（已知）所以_（）所以（）24（2023下上海浦东新七年级校考期中）完成下列证明：已知：如图，直线与，分别相交于点A，D，与，分别相交于点H，G，求证：，证明：（已知）又（_）（_）（等量代换）（_）（_）又 （已知）（_）（等量代换）（_）25（2021下上海徐汇七年级校考期中）将两块直角三角板(即两个直角三角形，其中，；的直角顶点O按图1方式叠放在一起绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒，若旋转时间为t秒，请回答下列问题(1)当时，直

28、线与的位置关系是_当时，（如图2及其简化图），的度数为_（用含的代数式表示）(2)当边时，t的值是_(3)当边时，求t的值26（2021下上海静安七年级上海市市西初级中学校考期中）“光线”，即光，光直行，就一点视之，则放射如线，故云(1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由(2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线E上有两点A、C，分别引两条射线、，射线、分别绕点A点C以/秒和/秒的速度同时顺时针转动设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由