专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型（解析版）.docx

1、专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；遇高线需分高在内和外两类讨论；中线把等腰周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：当时，以点为圆心，长为半径作，点在上（，除外） 当时，以点为圆心，长为半径作，点在上（，除外）当时，作的中垂

2、线，点在该中垂线上（除外）例1（2023春四川成都八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，若，满足，那么它的周长是（）A11B13C11或13D11或15【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解【详解】解：，解得：，当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：，当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解例2（2023春黑龙江佳木斯八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且

3、一边长是4cm，则它的腰长为（）A4cmB7cmC4cm或7cmD全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可【详解】解：当cm为腰长时，则底边长为cm，不符合题意；cm为底边长，等腰三角形的腰长为：；故选B【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形例3（2023春四川达州八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（）AB或C或D【答案】B【分析】根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可【详解】解：当底角为时，顶角，当顶角为时，顶角度数，

4、综上：顶角度数为或；故选：B【点睛】本题考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容例3（2023四川广安八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（）ABC或D以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论【详解】等腰三角形的一个外角等于，等腰三角形的一个内角为，当为顶角时，其他两角都为、，当为底角时，其他两角为、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具

5、有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错例4（2023四川绵阳八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 【答案】或【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，为高，即， 此时，若三角形为钝角三角形时，如图，为高，即，此时，综上，等腰三角形的顶角的度数为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解

6、题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论例5（2023山东滨州八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A3B4C5D6【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：为等腰直角底边；为等腰直角其中的一条腰【详解】如图：分情况讨论：为等腰直角底边时，符合条件的格点C点有2个；为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个故共有5个点，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很

7、重要的解题思想例6（2023北京八年级期中）RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，以AC为一边在ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_【答案】或或【分析】根据题意分类讨论，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可【详解】解：如图，当时，是等腰直角三角形，,，；如图，当时，过点作，交的延长线于点，是等腰直角三角形， ，又，是等腰直角三角形，在中，在中，在中，；如图，当时，是等腰直角三角形， ，在中，在中，综上所述，的长为：或或故答案为：或或【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键例7（2023福建南平八年级校考期中）已知ABC中，如果过顶点B的一

8、条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC的关于点B的二分割线如图1，RtABC中，显然直线BD是ABC的关于点B的二分割线在图2的ABC中，ABC110，若直线BD是ABC的关于点B的二分割线，则CDB的度数是 【答案】40或90或140【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解【详解】解：如图，当DBC=90，AD=BD时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线，ABC=110，DBC=90，ABD=20，AD=BD，A=ABD=20，CDB=A+ABD=40； 如图，当BDC=90，AD=BD时，直线BD是AB

9、C的关于点B的二分割线，或当BDC=90，CD=BD时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线，；如图，当ABD=90，CD=BD时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线，ABC=110，ABD=90，DBC=20，CD=BD，C=DBC=20，BDC=140综上所述：当BDC的度数是40或90或140时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键例8（2023四川成都八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 【答案】或或或【分析】根据等腰三角形的判定，分A

10、B=BP；AB=AP；AP=BP三种情况求解即可【详解】为等腰三角形，当时，如图，或；当时，如图 作于C点，则，当时，如图，作，综上所述：点P的坐标为或或或，故答案为：或或或【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键例9（2023江苏苏州八年级校考期中）如图，中，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形【答案】(1)(2)或(3)或或或3【分析】（1）设，则，利用

11、勾股定理求出，在中，依据，列方程求解即可得到的值（2）如图所示，当点P在上时，过作于，设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，（3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值【详解】（1）解：如图，设，则，在中，由勾股定理得，解得，；（2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，平分，在与中，设，则，在中，由勾股定理得，解得，当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或（3）解：分四种情况：如图，当在上且时，是的中点，即，如图，当在上且时，如图，当在上且时，过作于

12、，在中，由勾股定理得，如图，当在上且时，则，综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键例10（2022春四川成都八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F

13、，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，点F的坐标为或或【分析】（1）据直线交轴正半轴于点，交轴于点，设直线解析式为，把的坐标代入求得的值，从而求得的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出的值，求出的值，从而求出点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出的解析式，先根据的坐标求出直线的解析式，将点的横坐标代入直线的解析式，求出的纵坐标，将的纵坐标代入直线的解析式就可以求出的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使为等腰直角三角形，分三种情况分别以点为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中的值，就可以求出点的坐标【详解】（1）

14、解：，设直线的解析式为，直线经过，直线的解析式为，的面积为，直线的解析式为（2）解：设直线的解析式为，解得直线的解析式为；点P在上，且横坐标为m，轴，E的纵坐标为，代入得，解得，的长；即，；（3）解：在x轴上存在点F，使为等腰直角三角形，当时，如图，有，解得，此时；当时，如图，有，的长等于点E的纵坐标，解得：，点E的横坐标为，；当时，如图，有，作，点R为垂足，同理，点R与点E的纵坐标相同，解得：，点F的横坐标为，综上，在x轴上存在点F使为等腰直角三角形，点F的坐标为或或【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式模型2、直角三角形中的分类讨论模型

15、【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。1）无图需分类讨论：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知，两点是定点，找一点构成方法：两线一圆具体图解：当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） 当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。例1（2023春河南安阳八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要

16、使其成为直角三角形，则第三边的长为 【答案】3或/或3【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边，当第三边为斜边时，第三边，故答案为：3或【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键例2（2023春河南郑州八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 【答案】或【分析】分情况讨论：当时，当时

17、，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可【详解】解：如图所示，当时，是的角平分线，中，；如图，当时，同理可得，综上所述：的度数为或故答案为：或【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键例3（2022秋河南新乡八年级校考期末）如图，在44的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰直角ABC底边；AB为等腰直角ABC其中的一条腰【详解】解：如图：分情况讨论：AB为等

18、腰直角ABC底边时，符合条件的C点有0个；AB为等腰直角ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个，都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想例4（2022江西九江八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（2，0）、B（2，0）、C（0，2）点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为_【答案】（0，0），（，0），（2，0）【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形再分RtPAC和TtPBC两种情况进行分析即

19、可【详解】解：点P、A、B在x轴上，P、A、B三点不能构成三角形设点P的坐标为（m，0）当PAC为直角三角形时，APC90，易知点P在原点处坐标为（0，0）；ACP90时，如图，ACP90AC2PC2AP2，解得，m，点P的坐标为（，0）；当PBC为直角三角形时，BPC90，易知点P在原点处坐标为（0，0）；BCP90时，BCP90，COPB，POBO2，点P的坐标为（2，0）综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（2，0）【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想解题的关键是不重复不遗漏的进行分类例5（2022秋辽宁丹东八年级校考期中）在ABC中，BAC90，A

20、BAC4，以AC为一边，在ABC外作等腰直角ACD，则线段BD的长为 【答案】或或【分析】根据题意分类讨论，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可【详解】如图，当时，是等腰直角三角形，,如图，当时，过点作，交的延长线于点，是等腰直角三角形， ，又是等腰直角三角形在中，在中，在中，如图，当时，是等腰直角三角形， ，在中，在中，综上所述，的长为：或或【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键例6.（2023春山东东营八年级校考阶段练习）如图，长方形中，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，若为直角三角形，则的长为 【答案】2或18【分析】分点在线段上，点在线段的延长

21、线上两种情况讨论，由题意可得，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求的长【详解】解：若点在线段上，若与关于直线对称，为直角三角形，点，点，点共线，在中，若点在线段的延长线上，且点在上，若与关于直线对称，在中，且，故答案为：2或18【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键例7.（2023秋浙江绍兴八年级统考期末）如图，在中，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F若为直角，则的长是 【答案】/【分析】过点A作于点G，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解【详解】解

22、：如图，过点A作于点G，将沿折叠得到，故答案为：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键例8（2023秋河南商丘八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间(4)点M、N运动_

23、后，可得到直角三角形【答案】(1)6(2)2(3)存在，此时M、N运动的时间为8秒(4)或或或9秒【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于，所以只要，就是等边三角形；（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在、上运动的三种情况，再分别就是和，列方程求解可得【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，则，解得：，即当点M、N运动6秒后，M、N两点重

24、合；（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，如图1， ，当时，是等边三角形，解得，点M、N运动2秒后，可得到等边三角形；（3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设是等腰三角形，是等边三角形，在和中，（AAS），解得，符合题意，所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以为底边的等腰三角形；（4）解：当点N在上运动时，如图3， ， ， ，若，即，解得；如图4，若，由得，解得；当点N在上运动时，点M也在上，此时A、M、N不能构成三角形；当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由是等边三角形知，即是直角三

25、角形，则，解得；如图6，当点M位于中点处时，由是等边直角三角形知，即是直角三角形，则；综上，当，9时，可得到直角三角形【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系例9（2023秋河南漯河八年级校考期末）如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，与相交于点P，Q是射线上的动点(1)图中共有_组全等，请选择其中的一组全等予以证明(2)若为直角三角形，求的值【答案】(1)2，证明见解析(2)2或8【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及证明即可；（2）分为直角，两种情况，结合30度角的直角三角形的性质，进行求解即可【详解】（1）

26、解：图中有2组全等，；证明：等边三角形，在和中，；在和中，；（2）解：，Q是射线上的动点，当为直角三角形时：当时，如图，则：，； 当时，如图，则：，综上：【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键例10（2023四川成都八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作CAD=90，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D当CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若

27、变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点当PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标【答案】（1）直线AB的解析式为：y=-x+2；（2）（2）不变理由见解析；（3）点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）【分析】（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出直线AB解析式；（2）当CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值不变，理由为：过A作AE垂直于x轴，AF垂直于y轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A的坐标得到AE=AF，再由已

28、知直角相等，利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD，进而求出OC-OD的值即可；（3）分三种情况考虑：当M为直角顶点时；N为直角顶点时；P为直角顶点时；分别求出P坐标即可【详解】（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k0），点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB上，解得：直线AB的解析式为：y=-x+2；（2）不变理由如下：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F（如答图1），可得AEC=AFD=90，又BOC=90，EAF=90，即DAE+DAF=90，CAD=90，即DAE+CAE=90，CAE=DAF，A（-4，4），OE=AF

29、=AE=OF=4，在AEC和AFD中，AECAFD（ASA），EC=FD，OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，则OC-OD的值不发生变化，值为8；（3）当M为直角顶点时，点P的横坐标为-4，点P在直线AB上，将x=-4代入y=-x+2得，y=4，点P的坐标为P（-4，4）；当N为直角顶点时，点P的横坐标为2，点P在直线AB上，将x=2代入y=-x+2得，y=1，点P的坐标为P（2，1）；当P为直角顶点时，点P在直线AB上，可设点P的坐标为（x，-x+2），则MP2=（x+4）2+（-x+2）2，NP2=（x-2）2+（-x+2）2，在RtPMN中，MP2+NP2=MN2

30、，MN=6，（x+4）2+（-x+2）2+（x-2）2+（-x+2）2=62，解得：x1=-，x2=，P（-，+2）或（，-+2），综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键课后专项训练1（2023福建龙岩八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A1B2C3D4【答案】D【分析】分为、，三种情况画图判断即可【

31、详解】解：如图所示：当时，符合条件的点有2个；当时，符合条件的点有1个；当，即当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个符合条件的点C有4个故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键2（2022山东青岛统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（）A2个B3个C4个D5个【答案】A【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可【详解】解：如图，满足条件的点M

32、的个数为2故选A【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论3（2022安徽淮北九年级阶段练习）如图，在中，若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：ABAP，ABBP，APBP，得出即可【详解】解：在ABC中，B=90，BC8，AC6，由勾股定理的：，如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3

33、；作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想4（2022四川广元八年级期末）如图，在RtABC中，ACB90，CAB=36，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（）A6个 B7个 C8个 D9个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可【详解】解：如图，以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点

34、M1，M2，交BC有一点M3，（此时ABAM）；以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BMBA）AB的垂直平分线交AC一点M7（MAMB），交直线BC于点M8；符合条件的点有8个故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏5（2023四川凉山八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角是 【答案】或【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨

35、论即可得解【详解】解：当高在三角形内部时，如图： ，；当高在三角形外部时，如图：，综上所述，底角是或故答案是：或【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键6（2023春四川达州八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k若，则该等腰三角形的顶角为 度【答案】90【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论【详解】解：，设顶角，则底角，该等腰三角形的顶角为，故答案为：90【点睛】本题考查了等腰三角形的性

36、质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键7（2022河南平顶山八年级期末）如图，中，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为_【答案】4或【分析】现根据已知条件得出，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可【详解】解：ABC中BD平分ABC，CBD=ABD，BD=AD，ABD=BAD，CBD=ABD=BAD，ACB=90，CBD+ABD+BAD=90，CBD=ABD=BAD=30,BC=6，AB=2BC=12，AC=，且BC=6，BD=2CD，BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，CD=，

37、 BD= AD；（1）当BE=BD=时，如图： （2）当BE=DE，如图：BE=DE，EDB=ABD=30，AED=EDB+ABD=60，ADE=180-AED-A=180-60-30=90，ADE为直角三角形，又且AD=，DE=4，BE=4；（3）当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；综上所述，BE为4或故答案为：4或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键8（2023上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，A30，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把ABC分割

38、成三个三角形ABP，BPQ，PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则C有可能的值有_个 【答案】7【分析】当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论【解析】解：如图所示，共有9种情况，C的度数有7个，分别为80，40，35，20，25，100，50当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，当AP=BP，CP=CQ，

39、QB=PQ时，当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键9（2022河南郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰ABC中，AB=AC=5，BC=8，E是BC上的一个动点，将ABE沿着AE折叠到ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当DEF是等腰三角形时，BE的长是_【答案】或或【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF利用等腰三角形的性质和全等三角形解题【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=C

40、F，AD=AB=AC=5，当DE=DF时，如图1， 此时DE=DF=BE=CF，AB=AC，B=C，在ABE和ACF中， ABEACF，AE=AF，AD垂直平分EF，EH=FH，设，则，则在直角DHE中，解得，当DE=EF时，如图2，作AHBC于H，连接BD，延长AE交BD于N，可知BE=DE=EF，AHBC，AB=AC，BC=8BH=CH=4，设，则，即AB=AD，BAN=DAN，ANBD，BN=DN，在AHE和BNE中， AHEBNE，AE=BE，设，则，在直角AEH中，解得，当DF=EF时，如图3，过A作AHBC于H，延长AF交DC于M，同理故答案为：或或【点睛】本题考查折叠问题，全等三

41、角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键10（2022河南南阳二模）如图，在的纸片中，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点若为直角三角形，则的长是_【答案】7或【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长【详解】解：在中，（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，由折叠得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），因此，（2）当时，如图2，此时点与点重合，由折叠得：，则，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，因此故答案为：7或【点睛】本题考查了轴对称的

42、性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复11（2022江西萍乡二模）如图，在ABC 中，ABBC2，AOBO，P 是射线 CO 上的一个动点，AOC60，则当PAB为直角三角形时，AP 的长为_【答案】或或1【分析】利用分类讨论，当ABP=90时，如图2，由对顶角的性质可得AOC=BOP=60，易得BPO=30，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当APB=90时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于

43、斜边的一半可得结论【详解】当ABP=90时（如图2），AOC=BOP=60，BPO=30，OP=2OB=2，BP=，在直角三角形ABP中，AP=；当APB=90时，分两种情况，情况一，（如图1），AO=BO，PO=BO，AOC=60，BOP=60，BOP为等边三角形，BP=OB=1，AB=BC=2，AP=；情况二，如图3，AO=BO，APB=90，PO=AO，AOC=60，AOP为等边三角形，AP=AO=1，故答案为：或或1【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键12（2023春江西鹰潭八年级校考阶

44、段练习）如图，在中，已知，在直线上现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为 【答案】或或【分析】先进行分类讨论，通过平移的性质可知，最后通过所对直角边是斜边的一半和等边三角形答性质即可求解【详解】，如图，当在的左侧，且时，为直角三角形，；如图，当在线段上，且时，即为直角三角形，；如图，当在线段上，且时，即为直角三角形，为等边三角形，故答案为：或或【点睛】此题考查平移和特殊三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质和等边三角形的性质和判定13（2022秋四川成都八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标

45、为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为(1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标【答案】(1)，；(2)；(3)，【分析】（1）先求解，可得，从而可得，如图，取的中点,连接,而，再证明为等边三角形，可得答案；（2）先证明，,可得,求解，可得为，过作交x轴于Q，设， 可得.，从而可得答案；（3）由为，设，而,可得,再分三种情况讨论即可.【详解】（1）解：点的坐标为，的坐标为，如图，取的中点,连接,而，为等边三角形，.（2）解：折叠，,，设为，

46、解得：，为，过作交x轴于Q，设，代入，解得：，得.令，则（3）解：为，设，而，当时，解得：，当时，解得：，（舍去），当时，解得：，或，综上：，【点睛】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，含的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.14（2023秋浙江杭州八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速

47、度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；(2)设运动时间为t秒当点P在运动过程中，求的面积S关于t的函数解析式；是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)；存在等腰三角形，点P的坐标为或或【分析】（1）求出，用待定系数法可得直线的函数解析式为；（2）当，即在上时，；当，即在上时，；，知在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，分三种情况：若时，当时，当时，分别解方程可得答案【详解】（1）解：，四边形是长方形，当点与点重合时，设直线的函数解析式为，把，代入得：，解得，直线的函数解析式为；（2）解：当，即在

48、上时，如图：； 当，即在上时，如图：，；存在等腰三角形，理由如下：如图：，在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，若时，解得（舍去）或，；当时，解得或（舍去），；当时，解得，；综上所述，点的坐标为或或【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用15（2022春四川成都八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点(1)当点是中点时，求的面积；(2)连接，若平分，求此时点的坐标；(3)平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；(4)平分，为

49、轴上动点，为等腰三角形，求坐标【答案】(1)(2)(3)(4)点的坐标为或或或【分析】（1）连接，先求出点，点，可得，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解；（2）由“”可证，可得，由勾股定理可求的值，即可求点坐标；（3）由得，若平分，P（，0），由面积法可的长，由勾股定理可求的长，即可得的取值范围；（4）分、三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可【详解】（1）解：如图，连接， 直线交轴于点，交轴于点，点，点，点是中点，；（2）如图，连接，平分，又，；（3）过点作轴于点由得，,，的取值范围；（4）设点，过点作轴于点，则， 同理可得：，当时，即，解得或舍去；当时

50、，同理可得；当时，同理可得或，故点的坐标为或或或【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键16（2023春吉林长春八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系(1)直接写出点A，B的坐标：A（_，_），B（_，_）；(2)请在网格中找到点C，连接，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为_；(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，得到锐角，且为等腰三角形，则满

51、足条件的点P有_个【答案】(1)0；1；1；(2)或或(3)4【分析】（1）根据图中A、B点的位置，写出点A、B的坐标即可；（2）根据题意画出图形，写出点C的坐标即可；（3）画出图形找出符合条件的点P，得出答案即可【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为：，；故答案为：0；1；1；（2）解：当点B为直角顶点时，点C的坐标为；当点A为直角顶点时，点C的坐标为或；故答案为：或或（3）解：如图所示：满足条件的点P有4个故答案为：4【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义，数形结合17（2023秋浙江金华八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的

52、坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值【答案】(1)(2)(3)的值为 或 或3或8 或9【分析】（1）如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，证明，有，进而可表示的坐标；（2）如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接，可证，进而可得点坐标，表示出面积即可；（3）当

53、时，如图，根据三角形全等可得，点坐标，将坐标代入中，计算求解即可；当时，如图，当时，如图，求解方法同【详解】（1）解 ：如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，,在和中，（2）解：如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接， ，同（1）可知，当时，；当时，；（3）解：当时，如图，由（2）可知，将点、分别代入得和解得和；当时，如图，由（2）可知，将点、分别代入得和解得和；当时，如图，由（2）可知，将点、分别代入得和解得和综上所述，的值为 或 或或 或【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质解题的关键在于分情况求解18（2023秋四川成都

54、八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若ABD的面积为27（1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）y=2x+10；（2）y=m+3（-2m4）；（3）存在，点F的坐标为(，0)或(-，0)或(-，0)【分

55、析】（1）根据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设出解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式；（2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的总坐标，将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标【详解】（1）OB=OC，

56、设直线AB的解析式为y=-x+n，直线AB经过A（-2，6），2+n=6，n=4，直线AB的解析式为y=-x+4，B（4，0），OB=4，ABD的面积为27，A（-2，6），SABD=BD6=27，BD=9，OD=5，D（-5，0），设直线AD的解析式为y=ax+b，解得直线AD的解析式为y=2x+10；（2）点P在AB上，且横坐标为m，P（m，-m+4），PEx轴，E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，解得x=，E（，-m+4），PE的长y=m-=m+3；即y=m+3，（-2m4），（3）在x轴上存在点F，使PEF为等腰直角三角形，当FPE=90时，如图，有PF=

57、PE，PF=-m+4PE=m+3，-m+4=m+3，解得m=，此时F（，0）；当PEF=90时，如图，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标， EF=-m+4，-m+4=m+3，解得：m=点E的横坐标为x=-，F（-，0）；当PFE=90时，如图，有 FP=FE，FPE=FEPFPE+EFP+FEP=180，FPE=FEP=45作FRPE，点R为垂足，PFR=180-FPE-PRF=45，PFR=RPF，FR=PR同理FR=ER，FR=PE点R与点E的纵坐标相同，FR=-m+4，-m+4=（m+3），解得：m=，PR=FR=-m+4=-+4=，点F的横坐标为-=-，F（-，0）综上，在x轴上存

58、在点F使PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（-，0）或（-，0）【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键19（2023秋四川成都八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为(1)求直线的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值【答案】(1)(2)M点的坐标为或或(3)8【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题

59、意进行分类讨论：当时，过A作的垂线，交y轴于点，交x轴于点，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；当时，过点B作的垂线交y轴于点，用相同的方法即可求解；（3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明，得出，即可得出【详解】（1）解：设直线的解析式为：，在直线上， ，解得： ，直线的解析式为：；（2）解：是以为直角边的直角三角形，有或，当时，如图： 设点，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，当时，如图：过点B作的垂线交y轴于点，设，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，综上：M点的坐标为：或或（3）解：过点A分别作x轴，y轴

60、的垂线，垂足分别为G，H，如图：则，又，在和中， ，【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征20（2022秋四川成都八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时

61、，求点的坐标【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）先求出，即有，再根据，可得，即可得，即有，再利用待定系数法即可求解；（2）设M点坐标为：，由，即可得，问题随之得解；（3）利用中点坐标公式求出，设，第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明，即有，结合，可表示出，代入直线BC的解析式即可求解；第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，同理作答即可【详解】（1）令，则有：，解得，令，则有：，设BC的解析式为：，解得：，的解析式为：；（2）根据题意设M点坐标为

62、：，解得：，M点的坐标为：；（3），点F为线段AB中点，设，第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，即：， 等腰直角三角形，轴，点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，落在直线BC上，BC的解析式为：，解得：，第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，即：，根据第一种情况中的方法，同理可证：，轴，点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，落在直线BC上，BC的解析式为：，解得：，综上：G点坐标为：，【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题