专题12 圆综合篇（原卷版）.docx

1、专题12 圆综合知识回顾1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2. 垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。3. 圆心角、弦以及弧之间的关系： 定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。说明：

2、同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。5. 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。6. 圆的内接四边形：定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。性质：I：圆内接四边形的对角互补。 II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。7. 三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。8. 切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点

3、的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。9. 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。10. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的

4、两条线段长的积相等。几何语言：若弦交于点，则。推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。几何语言：若是直径，垂直于点，则。11. 弦切角定理： （1）弦切角的定义：如图像ACP这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。等于这条弧所对的圆周角。即PCA=PBC。12. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。13.

5、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言：PT切O于点T，PBA是O的割线 PT2=PAPB（切割线定理）。推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。几何语言：PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB由上可知：PT2=PAPB=PCPD。14. 三角形的内切圆与内心： 内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。15. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半

6、径为）16. 扇形的面积计算公式： 或（其中为扇形的弧长）。17. 求阴影部分的常用方法： 直接用公式法；和差法；割补法专题练习1如图，ABC内接于O，ADBC交O于点D，DFAB交BC于点E，交O于点F，连接AF，CF（1）求证：ACAF；（2）若O的半径为3，CAF30，求AC()的长（结果保留）2如图，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB7，EF10，BC5点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒（1）如图，当t2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，

7、当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H连接OG、OH，若GOH为直角，求此时t的值3石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB()桥的跨度（弧所对的弦长）AB26m，设AB()所在圆的圆心为O，半径OCAB，垂足为D拱高（弧的中点到弦的距离）CD5m连接OB（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）4如图，四边形ABCD内接于O，BD为O的直径，AC平分BAD，CD2，点E在BC的延长线上，连接DE（1）

8、求直径BD的长；（2）若BE5，计算图中阴影部分的面积5如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE（1）求证：BDCD；（2）若tan C，BD4，求AE6如图，以AB为直径的O经过ABC的顶点C，AE，BE分别平分BAC和ABC，AE的延长线交O于点D，连接BD（1）判断BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB10，BE2，求BC的长7如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E（1）若ABAC，求证：ADBADE；（2）若BC3，O的半径为2，求sinBAC8如图，正方形ABCD内接于O，点E为AB的中点，连接CE

9、交BD于点F，延长CE交O于点G，连接BG（1）求证：FB2FEFG；（2）若AB6，求FB和EG的长9如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，ADBCDB（1）试判断ABC的形状，并给出证明；（2）若AB，AD1，求CD的长度10如图，在RtABC中，ACB90，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CDAC（1）求证：CD是O的切线；（2）若A60，AC2，求BD()的长11如图，在O中，AB为O的直径，点E在O上，D为BE()的中点，连接AE，BD并延长交于点C连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使CBFBAC（1）求证：BF为O的切线

10、；（2）若AE4，OF，求O的半径12如图1，在等腰三角形ABC中，ABAC，O为底边BC的中点，过点O作ODAB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N（1）AB与O的位置关系为 ；（2）求证：AC是O的切线；（3）如图2，连接DM，DM4，A96，求O的直径（结果保留小数点后一位参考数据：sin240.41，cos240.91，tan240.45）13已知ABC是O的内接三角形，BAC的平分线与O相交于点D，连接DB（1）如图，设ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BDDI；（2）如图，过点D作直线DEBC，求证：DE是O的切线；（3）如图，设弦BD，AC延长后交O外一

11、点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作O的切线GH（切点为H），求证：FGHG14如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且BACADB（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若BC2OC，求tanADB的值；（3）在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB2，求AEAP的值15如图，已知AB是O的直径，点E是O上异于A，B的点，点F是EB()的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FCAE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H（1）求证：CD是O的切线；（2）求sinFHG的值；（3）若GH4，HB2，求O的直径