专题12 圆综合篇（解析版）.docx

1、专题12 圆综合知识回顾1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2. 垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。3. 圆心角、弦以及弧之间的关系： 定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。说明：

2、同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。5. 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。6. 圆的内接四边形：定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。性质：I：圆内接四边形的对角互补。 II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。7. 三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。8. 切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点

3、的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。9. 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。10. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的

4、两条线段长的积相等。几何语言：若弦交于点，则。推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。几何语言：若是直径，垂直于点，则。11. 弦切角定理： （1）弦切角的定义：如图像ACP这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。等于这条弧所对的圆周角。即PCA=PBC。12. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。13.

5、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言：PT切O于点T，PBA是O的割线 PT2=PAPB（切割线定理）。推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。几何语言：PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB由上可知：PT2=PAPB=PCPD。14. 三角形的内切圆与内心： 内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。15. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半

6、径为）16. 扇形的面积计算公式： 或（其中为扇形的弧长）。17. 求阴影部分的常用方法： 直接用公式法；和差法；割补法专题练习1如图，ABC内接于O，ADBC交O于点D，DFAB交BC于点E，交O于点F，连接AF，CF（1）求证：ACAF；（2）若O的半径为3，CAF30，求AC()的长（结果保留）【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得BD，等量代换可得AFCACF，即可得出答案；（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出AFC的度数，根据圆周角定理可计算出AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案【解答】证明：（1）ADBC，DFAB，四

7、边形ABED为平行四边形，BD，AFCB，ACFD，AFCACF，ACAF（2）连接AO，CO，如图，由（1）得AFCACF，AFC75，AOC2AFC150，的长l2如图，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB7，EF10，BC5点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒（1）如图，当t2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H连接OG、OH，若GOH为直角，求此时t的值【分析】（1）通过判定MEO为等边三角形，

8、然后根据弧长公式求解；（2）通过判定GAOHBO，然后利用全等三角形的性质分析求解【解答】解：（1）设BC与O交于点M，当t2.5时，BE2.5，EF10，OEEF5，OB2.5，EBOB，在矩形ABCD中，ABC90，MEMO，又MOEO，MEEOMO，MOE是等边三角形，EOM60，即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；（2）连接GO，HO，GOH90，AOG+BOH90，AGO+AOG90，AGOBOH，在AGO和OBH中，AGOBOH（AAS），OBAGt5，AB7，AEt7，AO5（t7）12t，在RtAGO中，AG2+AO2OG2，（t5）2+（12t）252，解得：t18，t29

9、，即t的值为8或93石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长）AB26m，设AB()所在圆的圆心为O，半径OCAB，垂足为D拱高（弧的中点到弦的距离）CD5m连接OB（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；（2）设主桥拱半径为R，在RtOBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果【解答】解：（1）OCAB，ADBD；（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB

10、26，CD5，BDAB13，ODOCCDR5，ODB90，OD2+BD2OB2，（R5）2+132R2，解得R19.419，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m4如图，四边形ABCD内接于O，BD为O的直径，AC平分BAD，CD2，点E在BC的延长线上，连接DE（1）求直径BD的长；（2）若BE5，计算图中阴影部分的面积【分析】（1）由BD为O的直径，得到BCD90，AC平分BAD，得到BACDAC，所以BCDC，BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；（2）因为BCDC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积【解答】解：（1）BD为O的直径，BCDDCE90，AC平分BAD，BACDAC，B

11、CDC2，BD24；（2）BE5，CE3，BCDC，S阴影SCDE265如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE（1）求证：BDCD；（2）若tan C，BD4，求AE【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得ADB90，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）利用（1）的结论可得BDDC4，BC8，然后在RtADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明CDACEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答【解答】（1）证明：连接AD，AB是O的直径，ADB90，ABAC，

12、BDDC；（2）解：BDDC4，BCDB+DC8，在RtADC中，tanC，ADCDtanC42，AC2，AB是O的直径，AEB90，AEBADC90，CC，CDACEB，CE，AECEAC，AE的长为6如图，以AB为直径的O经过ABC的顶点C，AE，BE分别平分BAC和ABC，AE的延长线交O于点D，连接BD（1）判断BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB10，BE2，求BC的长【分析】（1）由角平分线的定义可知，BAECADCBD，ABEEBC，所以BEDDBE，所以BDED，因为AB为直径，所以ADB90，所以BDE是等腰直角三角形（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F因为DB

13、CCADBADBCD所以BDDC因为OBOC所以OD垂直平分BC由BDE是等腰直角三角形，BE2，可得BD2因为OBOD5设OFt，则DF5t在RtBOF和RtBDF中，52t2（2）2（5t）2，解出t的值即可【解答】（1）解：BDE为等腰直角三角形证明：AE 平分BAC，BE 平分ABC，BAECADCBD，ABEEBCBEDBAE+ABE，DBEDBC+CBE，BEDDBEBDEDAB为直径，ADB90，BDE是等腰直角三角形另解：计算AEB135也可以得证（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.DBCCADBADBCDBDDCOBOCOD垂直平分BCBDE是等腰直角三角形，B

14、E2，BD2AB10，OBOD5设OFt，则DF5t在RtBOF和RtBDF中，52t2（2）2（5t）2，解得t3，BF4BC8另解：分别延长AC，BD相交于点G则ABG为等腰三角形，先计算AG10，BG4，AD4，再根据面积相等求得BC7如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E（1）若ABAC，求证：ADBADE；（2）若BC3，O的半径为2，求sinBAC【分析】（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；（2）连接CO并延长交O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出FBC90，FBAC，解直角三角形即可得解【解答】（1）证明：四边形ABCD是O的

15、内接四边形，ADEABC，ABAC，ABCACB，ACBADB，ADBADE；（2）解：连接CO并延长交O于点F，连接BF，则FBC90，在RtBCF中，CF4，BC3，sinF，FBAC，sinBAC8如图，正方形ABCD内接于O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交O于点G，连接BG（1）求证：FB2FEFG；（2）若AB6，求FB和EG的长【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ADBC，DBAGEFBBFG，EFBBFG，FB2FEFG；（2）

16、解：连接OE，如图，ABAD6，A90，BD6OBBD3点E为AB的中点，OEAB，四边形ABCD是正方形，BCAB，DBA45，ABBC，OEBC，OEBEAB，BF2；点E为AB的中点，AEBE3，EC3AEBEEGEC，EG9如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，ADBCDB（1）试判断ABC的形状，并给出证明；（2）若AB，AD1，求CD的长度【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可【解答】解：（1）ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：AC为O的直径，ADCABC90，ADBCDB，ABBC，又ABC90，ABC是等腰直角三角

17、形（2）在RtABC中，ABBC，AC2，在RtADC中，AD1，AC2，CD即CD的长为：10如图，在RtABC中，ACB90，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CDAC（1）求证：CD是O的切线；（2）若A60，AC2，求BD()的长【分析】（1）连接OD由等腰三角形的性质及圆的性质可得AADC，BBDO再根据余角性质及三角形的内角和定理可得ODC180（ADC+BDO）90最后由切线的判定定理可得结论；（2）根据等边三角形的判定与性质可得DCOACBACD30再由解直角三角形及三角形内角和定理可得BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案【解答】（1）

18、证明：连接ODACCD，AADCOBOD，BBDOACB90，A+B90ADC+BDO90ODC180（ADC+BDO）90又OD是O的半径，CD是O的切线（2）解：ACCD，A60，ACD是等边三角形ACD60DCOACBACD30在RtOCD中，ODCDtanDCOtan302B90A30，OBOD，ODBB30BOD180（B+BDO）120的长11如图，在O中，AB为O的直径，点E在O上，D为BE()的中点，连接AE，BD并延长交于点C连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使CBFBAC（1）求证：BF为O的切线；（2）若AE4，OF，求O的半径【分析】（1）连接AD，由圆周角

19、定理可得ADB90，由等弧对等角可得BADCADBAC，再进行等量代换可得ABF90便可证明；（2）连接BE，由圆周角定理可得AEB90，BOD2BAD，于是BODBAC，由OBFAEB可得OB：AEOF：AB，再代入求值即可【解答】（1）证明：如图，连接AD，AB是圆的直径，则ADB90，D为的中点，则BADCADBAC，CBFBAD，BAD+ABD90，ABFABD+CBF90，ABBF，OB是O的半径，BF是O的切线；（2）解：如图，连接BE，AB是圆的直径，则AEB90，BOD2BAD，BAC2BAD，BODBAC，又ABFAEB90，OBFAEB，OB：AEOF：AB，OB：4：2O

20、B，OB29，OB0，则OB3，O的半径为312如图1，在等腰三角形ABC中，ABAC，O为底边BC的中点，过点O作ODAB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N（1）AB与O的位置关系为 ；（2）求证：AC是O的切线；（3）如图2，连接DM，DM4，A96，求O的直径（结果保留小数点后一位参考数据：sin240.41，cos240.91，tan240.45）【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；（2）过点O作OEAC于点E，连接OA，通过证明OEOD，利用直线与圆相切的定义解答即可；（3）过点O作OFDM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得BOD

21、48，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求【解答】（1）解：ODAB，点O为圆心，OD为半径，直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，AB为O的切线，AB与O的位置关系为相切，故答案为：相切；（2）证明：过点O作OEAC于点E，连接OA，如图，ABAC，O为底边BC的中点，AO为BAC的平分线，ODAB，OEAC，ODOE，OD为O的半径，OE为O的半径，这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，AC是O的切线；（3）解：过点O作OFDM于点F，如图，ABAC，A96，BC42，ODAB，BOD90B48OFDM，DFMFDM2，ODOM，OFDM，OF为DOM的平

22、分线，DOFBOD24在RtODF中，sinDOF，sin24，OD4.9，O的直径2OD24.99.813已知ABC是O的内接三角形，BAC的平分线与O相交于点D，连接DB（1）如图，设ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BDDI；（2）如图，过点D作直线DEBC，求证：DE是O的切线；（3）如图，设弦BD，AC延长后交O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作O的切线GH（切点为H），求证：FGHG【分析】（1）根据角的和与外角的性质可得：BIDDBI，从而得结论；（2）根据垂径定理可得：ODBC，再由BCDE可得结论；（3）如图，连接BH，CH，证明HCGBHG和CGF

23、FGB，可得结论【解答】证明：（1）如图，AD平分BAC，BI平分ABC，BADCAD，ABICBI，CADCBD，CBDBAD，BIDBAD+ABI，DBICBD+CBI，BIDDBI，BDDI；（2）如图，连接OD，CADBAD，ODBC，DEBC，ODDE，DE是O的切线；（3）如图，作直径交O于M，连接CM，BH，CH，MCH90，M+CHM90，BM，B+CHM90，GH是O的切线，OHGCHG+CHM90，CHGB，如图，连接BH，CH，GH是O的切线，CHGHBG，CGHBGH，HCGBHG，GH2BGCG，ADGF，AFGCAD，CADFBG，FBGAFG，CGFBGF，CGF

24、FGB，FG2BGCG，FGHG14如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且BACADB（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若BC2OC，求tanADB的值；（3）在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB2，求AEAP的值【分析】（1）连接OA，先得出OAC+OAD90，再得出BAC+OAC90，进而得出BAO90，最后根据切线的判定得出结论；（2）先得出BCABAD，进而得出，设半径OCOAr，根据勾股定理得出ABr，最后根据三角函数得出结果；（3）由（2）的结论，得出 r，结合直角三角形的性质得出A

25、C2，AD2，然后得出CAPEAD，最后根据AEAPACAD得出结论【解答】（1 ）证明：连接OA，CD是O的直径，CAD90，OAC+OAD90，又OAOD，OADODA，又BACADB，BAC+OAC90，即BAO90，ABOA，又OA为半径，直线AB是O的切线；（2）解：BACADB，BB，BCABAD，设半径OCOAr，BC2OC，BC2r，OB3r，在RtBAO中，AB， 在RtCAD中，tanADC；（3）解：在（2）的条件下，AB2r2，r，CD2，在RtCAD中，AC2+AD2CD2，解得AC2，AD2，AP平分CAD，CAPEAD，又APCADE，CAPEAD，AEAPACA

26、D22415如图，已知AB是O的直径，点E是O上异于A，B的点，点F是EB()的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FCAE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H（1）求证：CD是O的切线；（2）求sinFHG的值；（3）若GH4，HB2，求O的直径【分析】（1）连接OF，证明OFCD即可；（2）证明FGHFHG45，可得结论；（3）过点H作HMDF于点M，HNAD于点N则HMHN，可得2设DBk，DF2k，证明DFBDAF，推出DF2DBDA，可得AD4k，由GD平分ADF，同法可得，推出AG8，再利用勾股定理求解即可【解答】（1）证明：连接

27、OFOAOF，OAFOFA，CAFFAB，CAFAFO，OFAC，ACCD，OFCD，OF是半径，CD是O的切线（2）解：AB是直径，AFB90，OFCD，OFDAFB90，AFODFB，OAFOFA，DFBOAF，GD平分ADF，ADGFDG，FGHOAF+ADG，FHGDFB+FDG，FGHFHG45，sinFHG；（3）解：过点H作HMDF于点M，HNAD于点NHD平分ADF，HMHN，FGH是等腰直角三角形，GH4，FHFG4，2，设DBk，DF2k，FDBADF，DFBDAF，DFBDAF，DF2DBDA，AD4k，GD平分ADF，FDHADG，FDHADG，AG8，AFB90，AF12，FB6，AB6，O的直径为6