专题13不等式B辑（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题13不等式B辑历年联赛真题汇编1【2020高中数学联赛B卷(第01试)】设正实数a,b,c满足a2+4b+9c2=4b+12c-2,求1a+2b+3c的最小值.【答案】6【解析】由题设条件得a2+(2b-1)2+(3c-2)2=3,由柯西不等式可得：3a2+(2b-1)2+(3c-2)2(a+2b-1+3c-2)2,即(a+2b+3c-3)29,故a+2b+3c6.又由柯西不等式得(1a+2b+3c)(a+2b+3c)(1+2+3)2,所以1a+2b+3c36a+2b+3c6,当a=b=c=1时等号成立.故1a+2b+3c的最小

2、值是6.2【2017高中数学联赛A卷(第01试)】设k、m为实数，不等式x2-kx-m1对所有xa，b成立.证明:b-a22.【答案】证明见解析【解析】令f(x)=x2kxm，xa，b则f(x)1，1.于是f(a)=a2-ka-m1 f(b)=b2-kb-m1 fa+b2=a+b22-ka+b2-m-1 由+2知，(a-b)22=f(a)+f(b)-2fa+b24，故b-a22.3【2017高中数学联赛A卷(第01试)】设x1,x2,x3是非负实数，满足x1+x2+x3=1，求x1+3x2+5x3x1+x23+x35的最小值和最大值.【答案】最小值为1；最大值为95.【解析】由柯西不等式x1+

3、3x2+5x3x1+x23+x35(x1x1+3x2x23+5x3x35)2=x1+x2+x32=1，当x1=1,x2=0,x3=0时不等式等号成立，故欲求的最小值为1.因为x1+3x2+5x3x1+x23+x35=15x1+3x2+5x35x1+5x23+x31514x1+3x2+5x3+5x1+5x23+x32=1206x1+143x2+6x321206x1+6x2+6x32=95.当x1=12,x2=0,x3=12时不等式等号成立，故欲求的最大值为95.4【2017高中数学联赛B卷(第01试)】设不等式2x-a5-2x对所有x1，2成立，求实数a的取值范围.【答案】3a5.【解析】设t=

4、2x，则t2，4，于是|t-a|5-t|对所有t2，4成立.由于|t-a|5-t|(t-a)25-t)2(2t-a-5)(5-a)0.对给定实数a，设f(t)=(2ta5)(5a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数.注意t2，4，因此f(t)0等价于f(2)=(-1-a)(5-a)0f(4)=(3-a)(5-a)0，解得3a5.所以实数a的取值范围是3a0.由条件知x+y2=z,x2+y=z2，故z2-y=x2=z-y22=z2-2y2z+y4.因此，结合平均值不等式可得z=y4+y2y2=142y2+1y+1y14332y21y1y=3432.当2y2=1y，即y=132时，z的最小值

5、为3432(此时相应的x值为324，符合要求).由于c=log2z，故c的最小值为log23432=log23-53.6【2013高中数学联赛(第01试)】给定正数数列xn满足Sn2Sn-1,n=2,3,，这里Sn=x1+xn.证明：存在常数C0，使得xnC2n(n=1,2,).【答案】证明见解析【解析】当n2时Sn2Sn-1，等价于xnx1+xn-1 对常数c=14x1，用数学归纳法证明xnC2n(n=1,2,) n=1时结论显然成立.又x2x1=C22，对n3，假设xkC2k(k=1,2,n-1)，则由式知xnx1+x2+xn-1x1+C22+C2n-1=C22+22+23+2n-1=C2

6、n.所以，由数学归纳法知，式成立.7【2009高中数学联赛(第01试)】求函数y=x+27+13-x+x的最大值和最小值.【答案】y的最小值为33+13；最大值为11.【解析】函数的定义域为0，13.因为y=x+x+27+13-x=x+27+13+2x(13-x)27+13=33+13，当x=0时，等号成立，故y的最小值为33+13，又由柯西不等式得y2=(x+x+27+13-x)212+1+132x+(x+27)+3(13-x)x=121，所以y11，由柯西不等式等号成立的条件，得4x=9(13-x)=x+27，解得x=9.故当x=9时，等号成立.因此y的最大值为11.8【2008高中数学联

7、赛(第01试)】解不等式log2x12+3x10+5x8+3x6+11+log2x4+1.【答案】-1+52,-1+52【解析】解法一由1+log2x4+1=log22x4+2且log2y在(0，+)上为增函数，故原不等式等价于x12+3x10+5x8+3x6+12x4+2，即x12+3x10+5x8+3x6-2x4-10，分组分解x12+x10-x8+2x10+2x8-2x6+4x8+4x6-4x4+x6+x4-x2+x4+x2-10，可得x8+2x6+4x4+x2+1x4+x2-10，所以x4+x2-10，即x2-1-52x2-1+520，所以x2-1+52，即-1+52x-1+52，故原

8、不等式解集为-1+52,-1+52.解法二由1+log2x4+1=log22x4+2，且log2y在(0，+)上为增函数，故原不等式等价于x12+3x10+5x8+3x6+1x6+3x4+3x2+1+2x2+2=x2+13+2x2+1，则1x23+21x2x2+13+2x2+1，令g(t)=t3+2t，则不等式转化为g1x2gx2+1，显然g(t)=t3+2t在R上为增函数，由此原不等式等价于1x2x2+1，即x22+x2-10，解得x25-12，故原不等式解集为(-5-12,5-12).9【2003高中数学联赛(第01试)】设32x5，证明不等式2x+1+2x-3+15-3x219.【答案】

9、证明见解析【解析】由于(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)4a2+b2+c2+d2，因此a+b+c+d2a2+b2+c2+d2(当且仅当a=b=c=d时取等号).取a=b=x+1,c=2x-3,d=15-3x，则2x+1+2x-3+15-3x2(x+1)+(x+1)+(2x-3)+(15-3x)=2x+14219，因为x+1,2x-3,15-3x不能同时相等.所以2x+1+2x-3+15-3x219.10【2000高中数学联赛(第01试)】设Sn=1+2+3+n，nN，求f(n)=Sn(n+32)Sn+1的最大值.【答案】50【解析】由题意得S

10、n=n(n+1)2，f(n)=Sn(n+32)Sn+1=n(n+2)(n+32)=nn2+34n+64=1n+64n+34150，f(8)=50，故f(n)的最大值是50.11【1992高中数学联赛(第01试)】求证：16k=1801k17.【答案】证明见解析【解析】由k-1kk+1得k+k-12kk+k+1(kN).故1k+k+112k1k+k-1，即得2(k+1-k)1k2(k-k-1).从而2n+1-mk=mn1k2(n-m-1)(1mn，m为自然数)取n=80，m=1，得16k=1801k，取n=80，m=2，得1+k=2801k2(80-1)+1281-1=17，所以16k=1801

11、k17.12【1991高中数学联赛(第01试)】已知0a1，x2+y=0，求证：logaax+ayloga2+18.【答案】证明见解析【解析】因0a0,ay0，有ax+ay2axay=2ax+y2，从而logaax+ayloga2ax+y2.现有loga2ax+y2=loga2+x+y2=loga2+12x(1-x)loga2+12122=loga2+18.故得所证不等式.13【1988高中数学联赛(第01试)】已知a，b为正数，且1a+1b=1，试证：对每一个nN,(a+b)n-an-bn22n-2n+1.【答案】证明见解析【解析】解法一(1)n=1时，左边=0=右边，命题成立.(2)假设n

12、=k时，不等式成立，即有(a+b)k-ak-bk22k-2k+1.于是，当n=k+1时，左边=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-ak-bk+akb+abk.所以1a+1b=1.故ab=a+b.又(a+b)1a+1b4，故ab=a+b4，akb+abk2akbkab22k+1=2k+2.所以，左边422k-2k+1+2k+2=22k+2-2k+2=右边.由情形(1)及(2)，对一切nN，不等式成立.解法二由条件a+b=ab2ab，ab4.所以(a+b)n-an-bn=k=1n-1Cnkakbn-k=12k=1n-1Cnkakbn-k+Cnn-kan-kbkk=1n-1

13、Cnkakbn-kCnn-kan-kbk=k=1n-1Cnk(ab)n22nk=1n-1Cnk=22n-2n+1.优质模拟题强化训练1设x、y、z是正实数,满足 xy+z=(x+z)(y+z).则xyz的最大值是_.【答案】127【解析】由已知条件得z=z(x+y+z)则x+y+z=1于是, xyz(x+y+z3)3=127.当x=y=z=13时,上式等号成立.故xyz的最大值是127.2已知xyz+y+z=12，则log4x+log2y+log2z的最大值为_ .【答案】3【解析】由已知条件有12=xyz+y+z33xy2z2，xy2z264，则log4x+log2y+log2z=log4(

14、xy2z2)log464=3，当且仅当x=14，y=z=4时取得最大值3.故答案为：33已知x0，y0，且12x+y+1y+1=1，则x+2y的最小值为_ .【答案】3+12【解析】解法一：设x+2y=1(2x+y)+2(y+1)+t，可解得1=12,2=32,t=-32，从而x+2y=12(2x+y)+32(y+1)-32=12(2x+y)+32(y+1)(12x+y+1y+1)-323+12，当且仅当x=12+33,y=33时取等号.故答案为：3+12解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a2x+b2y(a+b)2x+y，1=12x+y+33y+3(1+3)22x+4y

15、+32x+4y+34+23，所以x+2y3+12，当且仅当x=12+33,y=33时取等号.故答案为：3+124设x,y,zR+，且xyzx+y+z=1.则x+yx+z的最小值是_.【答案】2【解析】由于x+yx+z=x2+xy+xz+yz=xx+y+z+yz，由于xyzx+y+z=1，故xx+y+z=1yz，则原式=1yz+yz21yzyz=2，即x+yx+z的最小值是2.5设x、y为正实数,且x+y=1.则x2x+2+y2y+1的最小值为_.【答案】14【解析】由柯西不等式得x2x+2+y2y+1x+y2x+2+y+1=14，当且仅当x2x+2x+2=y2y+1y+1x=2y，即y=13,

16、x=23时,等号成立.6在ABC中，cosB=14，则1tanA+1tanC的最小值为_.【答案】2155【解析】由cosB=14，知sinB=1-cos2B=154.于是1tanA+1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinBsinAsinC.注意到00,a0，则1|a|+2|a|b的最小值为_.【答案】22-1 【解析】1|a|+2|a|b=a+b|a|+2|a|b=a|a|+(b|a|+2|a|b)a|a|+2b|a|2|a|b=22+a|a|，其中等号成立的条件是b|a|=2|a|b，即b2=2a2.当a0时，1|a|+2|a|b22+1，当a=2-1，b=2a=2-2时达

17、到最小值.当a2x，则y2-2xy+x2xy-2x2的最小值是_【答案】4【解析】y2x得yx2，设t=yx(t2)，则y2-2xy+x2xy-2x2=(yx)2-2yx+1yx-2=t2-2+1t-2=(t-2)+1t-2+22(t-2)1t-2+2=4，当且仅当t=3时等号成立，故y2-2xy+x2xy-2x2的最小值是414设正实数x、y满足x2+y2+1x+1y=274，则P=15x-34y的最小值为_.【答案】6 【解析】由三元均值不等式，可得x2+1x=(x2+8x+8x)-15x33x28x8x-15x=12-15x, y2+1y=(y2+18y+18y)+34y33y218y1

18、8y=34+34y. 当且仅当x=2时，中等号成立；当且仅当y=12时，中等号成立.+，得x2+y2+1x+1y514+(34y-15x).又已知x2+y2+1x+1y=274，故514+(34y-15x)274，整理得15x-34y6.当且仅当x=2,y=12时等号成立.所以，P=15x-34y的最小值为6.15设函数f(x)=1-4x2x-x，则不等式f(1-x2)+f(5x-7)0的解集为_.【答案】(2,3)【解析】因为f(-x)=1-4-x2-x+x=4x-12x+x=-f(x)，所以f(x)是奇函数。f(x)=1-4x2x-x=(12)x-2x-x，由于y=(12)x,y=-2x,

19、y=-x都是定义域上的减函数，所以函数f(x)是R上的减函数，(减函数+减函数=减函数).由f(1-x2)+f(5x-7)0，得f(5x-7)x2-1.即x2-5x+60，解之得：2xb0，则a3+1b(a-b)的最小值为_【答案】535144【解析】a3+1b(a-b)a3+4a2=2a32+343a2 55(12)2(43)3=535144当且仅当b=a-b,a32=43a2,即a=583,b=12583时等号成立17设实数a满足a9a3-11aa.则a的取值范围是_.【答案】a-233,-103【解析】由aaa0.则由原不等式得:-19a2-111a2109,43.又a0，b0)和函数y

20、=cx+2+2(c0,c1)的图象均恒过同一个定点，则1a+1b的最小值为_.【答案】52+6【解析】因为y=cx+2+2过定点P(2，3)，所以直线ax-by+2=0也过定点P(2，3)，于是2a3b+2=0，即2a+3b=2.因为(1a+1b)(2a+3b)(2+3)2=5+26，所以1a+1b52+6，当a=6-2,b=23(3-6)时等号成立.故最小值为52+6.故答案为：52+620已知x，y0，+)，则x3+y35xy的最小值为_.【答案】-12527【解析】因为x3+y3-5xy=x3+y3+(53)3-5xy-1252733x3y3(53)3-5xy-12527=-12527，当x=y=53时等号成立故最小值为-12527.故答案为：-12527