专题14 几何变换之旋转巩固练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、几何变换之旋转巩固练习1如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（4，2）、B（2，0）、C（0，3），A1B1C是ABC绕点C顺时针旋转90后得到的图形（1）写出A1，B1的坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出A1B1C；（3）若点A2与点A1关于原点对称，写出A1A2B的面积【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应A1、B1，从而得到它们的坐标；（2）由（1）可确定A1B1C；（3）先写出点A2的坐标，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算A1A2B的面积【解答】解：（1）A1（1，1），B1（3，1）；（2）如图，A1B1C为所作；（3）点

2、A2与点A1关于原点对称，A2（1，1），A1A2B的面积23-1211-1222-12312【点评】本题考查了作图平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形2如图，将ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180，得到DEC，过点A作AFBE，交DE的延长线于点F，试问：B与F相等吗？为什么？【分析】根据旋转的性质，可得ABCDEC，根据全等三角形的性质，可得BDEC，根据平行线的性质，可得FDEC，根据等量代换，可得答案【解答】解：B与F相等，理由如下：将ABC以点C为旋转中

3、心，顺时针旋转180，得到DEC，BDEC，AFBE，FDEC，BF【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，属于基础题型3请在平面直角坐标系中，完成下面的问题（1）描出点A（2，3）和它关于y轴的对称点B；（2）描出点C（2，1）和它关于原点的对称点D；（3）求线段AD的长【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标写出B点坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点对称的点的坐标写出D点坐标，然后描点即可；（3）利用AD平行y轴，利用两点的纵坐标之差得到AD的长【解答】解：（1）如图，点B为所作；（2）如图，点D为所作；（3）因为A（2，3），D（2，1），线段AD的长3（1）4【点评】本题

4、考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了轴对称变换4已知菱形ABCD的边长为2，A60，点E、F分别在边AD、AB上，将AEF沿EF折叠，使得点A的对应点A恰好落在边CD上（1）延长CB、AF交于点H，求证：AHAE=ACDE；（2）若A点为CD的中点，求EF的长；（3）AA交EF于点G，再将四边形纸片BCAF折叠，使C点的对应点C恰好落在AF上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接CG，则CG的最小值为32【分析】（1）如图1中，延长CD到T，使

5、得DTDE，连接TE证明AHCEQT，可得结论（2）如图2中，延长CD，过点F作FMCD于点M，交AB于H，连接AB、BD，CF想办法求出EH，FH，再利用勾股定理即可解决问题（3）注意到G为AA的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在AFA的角平分线上，因此作GHAB于H，GPAF于P，则GPGH，根据垂线段最短原理可知GH就是所求最小值【解答】（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DTDE，连接TE四边形ABCD是菱形，DTAB，AC60，TDEA60，DTDE，DET是等边三角形，TC60，EAFA60，TAE+CAH120，CAH+AHC120，TAEAHC，AH

6、CEQT，AHAE=ACET，ETDE，AEAE，AHAE=ACDE（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FMCD于点M，交AB于H，连接AB、BD，CFA60，四边形ABCD是菱形，MDF60，MFD30，设MDx，则DF2x，FM=3x，DG1，MGx+1，（x+1）2+（3x）2（22x）2，解得：x0.3，DF0.6，AF1.4，AH=12AF0.7，FHAFsinA1.432=7310，CDBC，C60，DCB是等边三角形，A是CD的中点，BACD，BC2，AC1，BA=3，设BEy，则AE2y，（3）2+y2（2y）2，解得：y0.25，AE1.75，EHAEAH1.750.71.

7、05，EF=EH2+FH2=1.052+(7310)2=72120（3）解：如图3中，过点G作GHAB于H，过点G作GPAF于P，过点A作AQAB于Q四边形ABCD是菱形，DAABBCCD2，ABCD，AQDR，BAD60，AQ=3A与A关于EF对称，EF垂直平分AA，AGAG，AFEAFE，GPGH，又GHAB，AQABGHAB，GH=12AQ=32，所以GCGP=32，当且仅当C与P重合时，GC取得最小值32故答案为32【点评】本题属于几何变换综合题，考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，学会

8、利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题5如图，半圆O的直径AB10，将半圆O绕点B顺时针旋转45得到半圆O，与AB交于点P，求AP的长【分析】先根据题意判断出OPB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长【解答】解：OBA45，OPOB，OPB是等腰直角三角形，PB=2BO52，APABBP1052【点评】本题考查的是旋转的性质，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质6如图，ABC逆时针旋转一定角度后与ADE重合，且点C在AD上（1）指出旋转中心；（2）若B21，ACB26，求出旋转的度数；（3）若AB5，CD3，则AE的长是多少？为什么？【分析】（1）结合图形找

9、到旋转中心即可；（2）根据题意求得BAC的度数即可求得旋转角；（3）利用旋转的性质得到AEAC，ADAB即可求得答案【解答】解：（1）旋转中心为点A；（2）B21，ACB26，BAC1802126133，旋转的度数为133；（3）由旋转性质知：AEAC，ADAB，AEABCD2【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等7如图，将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDC若点A、D、E在同一条直线上，且ACB20，求CAE及B的度数【分析】根据旋转的性质可得ACE是等腰直角三角形，所以CAE45，易知ACD902070，根据

10、三角形外角性质可得EDC度数，又EDCB，则可求【解答】解：根据旋转的性质可知CACE，且ACE90，所以ACE是等腰直角三角形所以CAE45；根据旋转的性质可得BDC90，ACB20ACD902070EDC45+70115所以BEDC115【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段8如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA6，PB8，PC10，若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB求：（1）PP的长度；（2）APB的度数【分析】（1）根据旋转的性质可得PAP60，PAPA，然后判断出APP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PPPA；（2）根据等边三角

11、形的性质可得APP60，利用勾股定理逆定理求出BPP90，然后求解即可【解答】解：（1）PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，PAP60，PAPA6，APP是等边三角形，PPPA6；（2）PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，PBPC10，APP是等边三角形，APP60，PB2+PP282+62100，PB2102100，PB2+PP2PB2，PPB是直角三角形，BPP90，APBAPP+BPP60+90150【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，旋转前后对应边相等，对应角相等9如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30后得到正方形ABCD（1）求证：E

12、DEB；（2）求图中阴影部分的面积【分析】（1）根据HL即可证明ADEABE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；（2）求得EAD的度数，根据三角函数求得ED的长，则ADE的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去ADE和ABE的面积即可求解【解答】解：（1）连接AE在直角ADE和直角ABE中，AB=ADAE=AE，ADEABE，DEEB；（2）ADEABE，DAEDAD，又BAB30，BAD90，DAE30，在直角ADE中，EDADtan30=333=1，则SADE=12ADED=1231=32，SABESADE=32，又S正方形ABCD（3）23，S阴影3232=3-3【点评】本题考查旋转的

13、性质以及全等三角形的判定与性质，正确证明ADEABE是本题的关键10如图，O是等边ABC内一点，OA3，OB4，OC5，将线段BO绕点B逆时针旋转60得到线段BO（1）求点O与O的距离；（2）求AOB的度数【分析】（1）由旋转的性质可得BOBO，OAO60，可证明OBO是等边三角形，从而求解；（2）由SAS可证BOABOC，可得OCOA5，利用勾股定理的逆定理即可证得AOO是直角三角形，即可求解【解答】解：（1）如图，连接OO，等边ABC，ABCB，ABC60线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BOBO，OAO60，OBO是等边三角形OOOB4；（2）OBOABC60，OBA6

14、0ABOOBA在BOA和BOC中，AB=CBOBA=OBABO=BO，BOABOC（SAS）OCOA5，AO2+OO29+1625OA2，AOO是直角三角形AOBAOO+OOB90+60150【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键11如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，求OP的最小值【分析】以OA为对称轴作等边ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F由“SAS”可证AEPADB，可得AEPADB120，进而可

15、得点P在直线EF上运动，根据垂线段最短解答【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，AED60，AO=3OE3，OE=3，ADE和ABP是等边三角形，ABAP，ADAE，BAPDAE60，BADPAE，在ADB和AEP中，AB=APBAD=PAEAD=AE AEPADB（SAS），AEPADB120，OEF60，OF=3OE3，OFE30，点P在直线EF上运动，当OPEF时，OP最小，OP=12OF=32，则OP的最小值为32，【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键12如图，在正方形AB

16、CD中，E、F是对角线BD上两点，且EAF45，将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ，连接EQ（1）求证：EA是QED的平分线；（2）已知BE1，DF3，求EF的长【分析】（1）直接利用旋转的性质得出AQEAFE（SAS），进而得出AEQAEF，即可得出答案；（2）由全等三角形的性质可得QEEF，ADFABQ，再结合勾股定理得出答案【解答】证明：（1）将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ，QBDF，AQAF，BAQDAF，EAF45，DAF+BAE45，QAE45，QAEFAE，在AQE和AFE中，AQ=AFQAE=FAEAE=AE，AQEAFE（SAS），AEQAEF，EA是QED的平分线；（2）由（1）得AQEAFE，QEEF，ADFABQ，四边形ABCD是正方形，ADBABD45，ABQ45，QBEABQ+ABD90，在RtQBE中，QB2+BE2QE2，又QBDF，EF2BE2+DF21+910，EF=10【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明AQEAFE是解题关键