专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训（解析版）.docx

1、专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训（解析版）类型一 讨论弦上某点或端点的位置 1在半径为10的O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为 思路引领：作OCAB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可解：作OCAB于点C，AC=12AB8，由勾股定理得，OC=OA2AC2=6，PC=OP2OC2=27，当点P在线段AC上时，APACPC827，当点P在线段BC上时，AP8+27，故答案为：827或8+27总结提升：本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角

2、三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键2（2021无棣县模拟）已知O的直径CD10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB8cm，则AC的长为（）A25cmB43cmC25cm或45cmD23cm或43cm思路引领：分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论解：连接AC，AO，O的直径CD10cm，ABCD，AB8cm，AM=12AB=1284（cm），ODOC5（cm），当C点位置如图1所示时，OA5cm，AM4cm，CDAB，OM=OA2AM2=5242=3（cm），CMOC+OM5+38（cm），AC=AM2+CM2=

3、42+82=45（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得：OM3cm，OC5cm，MC532（cm），在RtAMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25（cm）；综上所述，AC的长为45cm或25cm，故选：C总结提升：本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键3（2020黑龙江）在半径为5的O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，ABCD4，则SACP 思路引领：如图1，作OEAB于E，OFCD于F，连接OD、OB，如图，根据垂径定理得到AEBE=12AB2，DFCF=12CD2，根据勾股定理在RtOBE中计算出OE1，同理可得OF1

4、，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PAPC1，根据三角形面积公式求得即可解：作OEAB于E，OFCD于F，连接OD、OB，则AEBE=12AB2，DFCF=12CD2，如图1，在RtOBE中，OB=5，BE2，OE=OB2BE2=1，同理可得OF1，ABCD，四边形OEPF为矩形，PEPF1，PAPC1，SAPC=1211=12；如图2，同理：SAPC=1233=92；如图3，同理：SAPC=1213=32；故答案为：12或32或92总结提升：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理类型二 圆心在两弦之间或者两弦之外4（2021商河县校级模拟

5、）一下水管道的截面如图所示已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？思路引领：分两种情形分别求解即可解决问题解：作半径ODAB交AB于C，连接OB，如图所示，由垂径定理得：BC=12AB30cm，在RtOBC中，OC=502302=40cm，当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，则OC=502402=30cm，水面上升的高度为：403010cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+3070cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm总结提升：本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键

6、5（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 ；（2）在半径为1的O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则BAC的度数是 ；（3）已知圆内接ABC中ABAC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB思路引领：（1）根据垂径定理求得AD的长，再根据三角形函数可得到AOD的度数，再根据圆周角定理得到ACB的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得AEB的度数；（2）连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出OAB和OAC，然后分两种情况求出BAC即可；（3）可根据勾股定理先求得BD的值，再根

7、据勾股定理可求得AB的值注意：圆心在内接三角形内时，AD10cm；圆心在内接三角形外时，AD4cm解：（1）如图1，过O作ODAB，则AD=12AB=123=32OA1，sinAOD=ADOA=32，AOD60AOD=12AOB60，ACB=12AOB，ACBAOD60又四边形AEBC是圆内接四边形，AEB180ACB18060120故这条弦所对的圆周角的度数等于60或120度故答案为：60或120度（2）解：有两种情况：如图2所示：连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，OEAOFA90，由垂径定理得：AEBE=32，AFCF=32，cosOAE=AEOA=32，cosOAF=AFOA=

8、22，OAE30，OAF45，BAC30+4575；如图3所示：连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，OEAOFA90，由垂径定理得：AEBE=32，AFCF=22，cosOAE=AEOA=32，cosOAF=AFOA=22，OAE30，OAF45，BAC453015，故答案为：75或15；（3）分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图4，假若A是锐角，ABC是锐角三角形，连接OB，作ADBC于D，连接OD，ABAC，AD是BC的中垂线，OD也是BC的中垂线，A、O、D三点共线，OD3cm，OB7cm，AD10cm，BD=OB2OD2=210cm，ODBC，BDCD，ABA

9、C，ADBC，AB=AD2+BD2=235cm；如图5，若A是钝角，则ABC是钝角三角形，和图4解法一样，只是AD734cm，AB=AD2+BD2=214cm，综上可得腰长AB235cm或214cm总结提升：本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况类型三 讨论点在优弧上或劣弧上6（2022秋双城区期末）已知O的半径为2，弦AB的长为23，则弦AB的中点到这条弦所对的弧的中点的距离为思路引领：由垂径定理得出AC，再由勾股定理得出OC，从而得出CD和CE的长解：如图，C是弦AB的中点，AB23，OC

10、AB，AC=12AB=3，AD=BD，AE=BE，在RtAOC中，OC=22(3)2=1，CD211cm，CE2+13故答案为：1或3总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键8（2021秋凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与O相切于点B、C，A50，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是 思路引领：此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点（1）当BPC为锐角，也就是BP1C时，根据AB，AC与O相切，结合已知条件，在ABC中，即可得出圆心角CO

11、B的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出BP1C的度数；（2）如果当BPC为钝角，也就是BP2C时，根据O的内接四边形的性质，即可得出BP2C的度数解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点，（1）当BPC为锐角，也就是BP1C时：AB，AC与O相切于点B，C两点OCAC，OBAB，A50，在ABC中，COB130，在O中，BP1C为圆周角，BP1C65，（2）如果当BPC为钝角，也就是BP2C时四边形BP1CP2为O的内接四边形，BP1C65，BP2C115故答案为：65或115总结提升：本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆

12、周角、圆心角的有关性质的综合应用类型四 弦所对的圆周角7（2018秋泗阳县期中）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于 思路引领：圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135解：如图，弦AB将O分成了度数比为1：3两条弧连接OA、OB；则AOB90；当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角ADB=12AOB45；当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角ACB180ADB135故答案为：45，135总结提升

13、：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点9（2020秋溧阳市期末）已知ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC23，则A的度数为（）A30B60C120D60或120思路引领：首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30角的直角三角形的性质，求得答案解：如图，作直径BD，连接CD，则BCD90，ABC是半径为2的圆内接三角形，BC23，BD4，CD=BD2BC2=2，CD=12BD，CBD30，AD60，A180A120，A的度数为：60或120故选：D总结提升：此题考查了圆周角定理与含30角的直角三角形的性质此题难

14、度适中，注意掌握数形结合思想的应用类型五 讨论圆内接三角形的形状10（2019绥化）半径为5的O是锐角三角形ABC的外接圆，ABAC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D若OBD是直角三角形，则弦BC的长为思路引领：如图1，当ODB90时，推出ABC是等边三角形，解直角三角形得到BCAB53，如图2，当DOB90，推出BOC是等腰直角三角形，于是得到BC=2OB52解：如图1，当ODB90时，即CDAB，ADBD，ACBC，ABAC，ABC是等边三角形，DBO30，OB5，BD=32OB=532，BCAB53，如图2，当DOB90，BOC90，BOC是等腰直角三角形，BC=2OB52，综上所

15、述：若OBD是直角三角形，则弦BC的长为53或52，故答案为：53或52 点睛：本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键101已知等腰ABC的三个顶点都在半径为5的O上，如果底边BC的长为8，求BC边上的高思路引领：从圆心向BC引垂线，交点为D，则根据垂径定理和勾股定理可求出，OD的长，再根据圆心在三角形内部和外部两种情况讨论解：连接AO并延长交BC于D点，ABAC，AB=AC，根据垂径定理得ADBC，则BD4，根据勾股定理得OD3圆心在三角形内部时，三角形底边BC上的高5+38；圆心在三角形外部时，三角形底边BC上的高532所以

16、BC边上的高是8或2总结提升：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论类型六 讨论点与圆的位置关系12（2020南通模拟）若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为 思路引领：点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径解：若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为a+b2；当此点在圆外时，圆的直径是ab，因而半径是ab2；故答案为：a+b2

17、或ab2总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识13已知点P到O的最长距离为6cm，最短距离为2cm试求O的半径长思路引领：分两种情况进行讨论：点P在圆内；点P在圆外，进行计算即可解：当P在O外时，如图，P当O的最长距离是为6cm，最短距离为2cm，PB6cm，PA2cm，AB4cm，O的半径为2cm；当P在O内时，此时AB8cm，O的半径为4cm即O的半径长为2cm或4cm解题秘籍：本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键类型七 讨论直线与圆的位置关系14（2021崇明区二模）已知同一平面内有O和点A与点B，如果O的半径为3cm

18、，线段OA5cm，线段OB3cm，那么直线AB与O的位置关系为（）A相离B相交C相切D相交或相切思路引领：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断解：O的半径为3cm，线段OA5cm，线段OB3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，点A在O外点B在O上，直线AB与O的位置关系为相交或相切，故选：D总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键15（2021秋信都区校级月考）在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 思路引领：如

19、图，作CHAB于H利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断解：如图，作CHAB于H在RtABC中，ACB90，BC8，AC6，AB=AC2+BC2=62+82=10，SABC=12ACBC=12ABCH，CH=245，以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，r的取值范围为r245，C与AB边只有一个公共点，r的取值范围为6r8或r=245，故答案为：r245，6r8或r=245总结提升：本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型16（衢州中考）如图，已知直线l的解析式是y=43x4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点一个半径

20、为1.5的C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当C与直线l相切时，则该圆运动的时间为（）A3秒或6秒B6秒C3秒D6秒或16秒思路引领：由y=43x4可以求出与x轴、y轴的交点A（3，0）、B（0，4）坐标，再根据勾股定理可得AB5，当C在B上方，根据直线与圆相切时知道C到AB的距离等于1.5，然后利用三角函数可得到CB，最后即可得到C运动的距离和运动的时间；同理当C在B下方，利用题意的方法也可以求出C运动的距离和运动的时间解：如图，x0时，y4，y0时，x3，A（3，0）、B（0，4），AB5，当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，则C到AB的距离等于

21、1.5，CB1.5sinABC1.553=2.5；C运动的距离为：1.5+（42.5）3，运动的时间为：30.56；同理当C在B下方，直线与圆相切时，连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）8，运动的时间为：80.516故选：D总结提升：此题首先注意分类讨论，利用了切线的性质和三角函数等知识解决问题17（2018浦东新区二模）已知l1l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 cm思路引领：根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题解：如下图所示，设圆的半径为r如图一所示，r13，得r4，如图二所示，r

22、+13，得r2，故答案为：2或4总结提升：本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答18（2021秋新荣区月考）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O点放置在AC的中点上，DE与直角边AC重合，如图1所示，C90，BC6，AC8，OD3，量角器交AB于点G，F，现将量角器DE绕点C旋转，如图2所示（1）点C到边AB的距离为 245（2）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值（3）若半圆O与RtABC的直角边相切，设切点为K，求BK的长思路引领：（1）如图1，过点C作CHAB于点H，利用勾股定理求得A

23、B，再利用ABCHACBC，即可求得答案（2）当CDAB时，点O到AB的距离最小，再由OHCHOC，即可求得答案（3）分两种情况：当半圆O与BC相切时，如图2，设切点为K，连接OK，运用勾股定理即可求得答案；当半圆O与AC相切时，如图3，设切点为K，连接OK，运用勾股定理求得CK，再利用勾股定理即可求得BK解：（1）如图1，过点C作CHAB于点H，ACB90，BC6，AC8，AB=AC2+BC2=62+82=10，CHAB，ABCHACBC，CH=ACBCAB=6810=245，即点C到边AB的距离为245，故答案为：245.（2）O为AC的中点，OC=12AC=1284，当CDAB时，点O到

24、AB的距离最小，OHCHOC=2454=45，点O到AB距离的最小值为45（3）当半圆O与BC相切时，如图2，设切点为K，连接OK，OKC90，在RtOCK中，OK3，OC4，CK=OC2OK2=4232=7，BKBCCK67；当半圆O与AC相切时，如图3，设切点为K，连接OK，OKC90，在RtOCK中，OK3，OC4，CK=OC2OK2=4232=7，在RtBCK中，BK=BC2+CK2=62+(7)2=43；综上所述，BK的长为7或43解题秘籍：本题是几何综合题，考查了圆的性质，切线的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是熟练掌握旋转变换的性质等相关知识，运用分类讨论思想解决问题