专题14 解直角三角形——5年（2018~2022）中考1年模拟数学分项汇编（北京专用）（解析版）.docx

1、专题14 解直角三角形1（2021北京中考真题）如图，在四边形中，点在上，垂足为（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长【答案】（1）见详解；（2），【解析】（1）证明：，ADCE，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，平分，EF=CE=AD，2（2020北京中考真题）如图，AB为O的直径，C为BA延长线上一点，CD是O的切线，D为切点，OFAD于点E，交CD于点F（1）求证：ADC=AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）证明：连接OD，CD是O的切线，ODCD，ADC+ODA=90，OFAD，AOF+

2、DAO=90，OD=OA，ODA=DAO，ADC=AOF；（2）设半径为r，在RtOCD中，OA=r，AC=OC-OA=2r，AB为O的直径，ADB=90，又OFAD，OFBD，OE=4，3（2020北京中考真题）在平面直角坐标系中，O的半径为1，A，B为O外两点，AB=1给出如下定义：平移线段AB，得到O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”（1）如图，平移线段AB到O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到O的“平移距离”为，求的最小值；（3

3、）若点A的坐标为，记线段AB到O的“平移距离”为，直接写出的取值范围【答案】（1）平行，P3；（2）；（3）【解析】解：（1）平行；P3；（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CDAB，过点O作OEAB于点E，交弦CD于点F，OFCD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60，由垂径定理得：，；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为如图，平移距离的最小值即点A到O的最小值：；平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2A1A2且A1B2=

4、1时.B2A2A1=60，则OA2A1=30,OA2=1,OM=, A2M=,MA=3,AA2= ,的取值范围为：1（2022北京朝阳模拟预测）如图，在矩形 ABCD中，AD=10，tanAEB=，点E为BC 上的一点，ED平分AEC，（1）求BE的值；（2）求sinEDC【答案】（1）；（2）【解析】（1） ED平分AEC，四边形是矩形， tanAEB=，设,则，（2）四边形是矩形，2（2022北京中国人民大学附属中学分校一模）如图，点E是中弦AB的中点，过点E作的直径CD，P是 上一点，过点P作的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M（1）求证：FM=F

5、P；（2）若点P是FG的中点，半径长为3，求EM长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）解：连结OPCD为的直径，E为弦AB的中点1=902+C=90.PF是的切线，OPF=903+4=90.OC=OPC=34=22=55=4FM=FP(2)连接DE1=90G+F=906+G=906=F在RtOPG中，OP=3 OG=5PG=4PF=PG=4GF=8.3（2022北京朝阳模拟预测）如图，已知中，（1）求作，使得且点在上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求的长度【答案】（1）作图见解析；（2）【解析】解：（1）如图，即为所求（过点作）（2）如图，由（1）

6、得，在中，在中，4（2022北京十一学校一分校一模）如图，在四边形ABCD中，ABDC，ACBD，垂足为F，过点A作AEAC，交CD的延长线于点E(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC6，cosABD，求BD的长【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)证明：ACBD，ACAE，BDAE，ABDC，ABDE，四边形ABDE是平行四边形(2)解：ABCE，ABD=CDB=E，cosE=，设AE=3k，BC=5k，在RtEAC中，k=AE=，BD=5（2022北京朝阳一模）如图，在矩形中，相交于点O，(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积【答案】(1)见解析(2)【解析】

7、(1)证明：，四边形AEBO是平行四边形又四边形ABCD是矩形， 四边形AEBO是菱形(2)解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形， 又是等边三角形， 四边形AEBO是菱形， 四边形的面积为：6（2022北京朝阳一模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D(1)求证：平分；(2)若，求的长【答案】(1)证明见详解(2)【解析】(1)证明：如图1，连接OC，CD为切线，又，即平分；(2)解：如图2，连接BC，为的直径，即，解得，7（2022北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CEBD交AD的延长线于点E(1)求证：ACD

8、ECD；(2)连接OE，若AB2，tanACD2，求OE的长【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：ADBC，DE为AD的延长线DEBC又CEBD四边形DBCE是平行四边形DE=BC在矩形中，BC=AD， DE=AD又CD=CD (2)解：如图，作OH垂直于AD于H，即有CD点O为矩形对角线的交点，即点O为AC、BD的中点CD=AB=2，OA=OD点H为AD中点，即， 在直角三角形OHE中8（2022北京市燕山教研中心一模）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动如图所示，小冬老师从A处出发，要到A地北偏东方向的C处，他先沿正东方向走了到达B处，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地C处

9、，求A，C两地的距离（结果取整数，参考数据：）【答案】【解析】解：过点C作垂线交延长线于点D，在中，又在中，A，C两地的距离是9（2022北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的值【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：四边形是菱形，四边形是平行四边形(2)解：四边形是平行四边形，10（2022北京丰台一模）如图，在四边形ABCD中，DCB90，ADBC，点E在BC上，ABDE，AE平分BAD(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O若AE6，sinDBE，求CD的长【答案】(1

10、)见解析(2)【解析】(1)证明：ADBC，ABDE，四边形ABED为平行四边形，AE平分BAD，BAE=DAEADBC，DAE=AEB，BAE=AEB，AB=BE，ABED是菱形；(2)解：如图，连接BD，四边形ABED是菱形，AEBD，AO=OE=3，OB=OD，sinDBE=，BE=5，BD=2OB=8，DCB90，11（2022北京大兴一模）如图，A是上一点，BC是的直径，BA的延长线与的切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P(1)求证：AP是的切线；(2)若，求CD的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：连接，；如图所示：是的直径，是的中点，

11、是的切线，是上一点，是的切线；(2)解：由（1）知在中，即，；，是等边三角形，在中，又在中，12（2022北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形中，于点，点是延长线上一点，于点(1)求证：四边形是菱形；(2)若平分，求和的长【答案】(1)证明见解析(2)的长为，的长为【解析】(1)证明：，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形(2)解：四边形是菱形，平分，平分，和都是直角三角形，在中，在中，的长为，的长为13（2022北京清华附中一模）如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，求半圆的半径【答案】（1）见

12、解析；(2)【解析】详解：（1）证明：如图，连接CO.AB是半圆的直径，ACB=90. DCB=180-ACB=90.DCE+BCE=90.OC=OB,OCB=B.，OCB=DCE. OCE=DCB=90.OCCE.OC是半径，CE是半圆的切线. （2）解：设AC=2x，在RtACB中，,BC=3x. ODAB,AOD=ACB=90.A=A，AODACB.，AD=2x+10,.解得 x=8.则半圆的半径为.14（2022北京模拟预测）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34，再沿AC方向前进21m

13、到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60，求炎帝塑像DE的高度（精确到1m参考数据：，）【答案】51【解析】解：，在中，答：炎帝塑像DE的高度约为51m15（2022北京北理工附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，连接EF、FG、EG(1)求证：为直角三角形(2)连接ED，当，时，求ED的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)解：如图，分别连接AC、BD，四边形ABCD是菱形，ACBD，E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，EGAC，EFBD，ACBD，EGEF，GEF=90，EGF为直角三角形；(2)解：如图，设EG与BD的交点为H，AC与BD的

14、交点为O，则点O也在EF上，连接ED和EO，由题意可得：点E、F、G、O分别是AB、AD、BC、BD的中点EFBD，GOCD，EGAC且，EFG=BOG，BOG=BDC，又BDC=ADB，ADB=EFG，ACBD，AOD=90，在RtAOD中，设，由勾股定理得：,即：，解得：，易证四边形EBGO是菱形，在RtEHD中，由勾股定理得：，即：16（2022北京海淀一模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E(1)求证：；(2)连接BD交AC于点P，若，求DE和BP的长【答案】(1)见解析(2)，【解析】(1)连接OD，点D是的中点，ODAC，DE是O切线，DEO

15、D，DEAC(2)设OD与AC交点为F，连接AD，则CAD=CBD，DEAC，E=OCA，OA=OC，OAC=OCA，OAC=E，AB是O的直径，ACB=90，ACB=EDO=90，ABCEOD，AC=8，AB=10，OD=5，DF=OD-OF=5-3=2，17（2022北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点P在线段AD上，由点D向点A运动，当点P与点A重合时，停止运动以点P为圆心，PD为半径作P，P与AD交于点M点Q在P上且在矩形ABCD外，QPD120(1)当时PC ，扇形QPD的面积 ，点C到P的最短距离 ；(2)P与AC相切时求PC的长？(3)如图P与AC交于

16、点E、F当EF6.4时，求PD的长？(4)请从下面两问中，任选一道进行作答当P与ABC有两个公共点时，直接写出PD的取值范围；直接写出点Q的运动路径长以及BQ的最短距离【答案】(1)，；(2)；(3)4；(4)PD的范围为：3PD6或；点Q的运动路径长是，BQ的最短距离是【解析】(1)解：如图1，连接PC，QP，PC交P于T，矩形ABCDADC90，CDAB6，ADBC8，在RtCDP中，由勾股定理得：，QPD120，故答案为：，；(2)解如图2，P与AC相切时，设切点为点H，连接PH，则PHAC，四边形ABCD是矩形，ADC90，在RtABC中，AB6，BC8，AC10，在RtADC中，设P

17、半径为x，则PHPDx，AP8x，在RtAHP中，x3，在RtPDC中，CD6，PD3，；(3)解如图3，过点P作PHAC，连接PF；则PHAADC90，PAHDAC，AHPADC，设P半径为x，则PFPDx，AP8x，在P中，FHAC，EF6.4，HF3.2，在RtPHF中，x4或x13（舍去），PD4；(4)解如图4，作于M，作于N，当时，与AC相切，只有1个公共点，由（2）知，此时PD3，当时，与ABC有3个公共点；当6PNPB时，P与ABC有3个公共点；，解得：综上所述，PD的范围为：3PD6或；如图5，QPD120，当点P与点A重合时，AQAD点Q的运动路径是线段DQ，DAQ120，ADQAQD30，BQ的最短距离是点B到直线CQ的距离；过点B作BKCQ于K，BK交AD于S，过A作ALCQ于L，连接BD，AQ，ALCQ，ALDALQ90，AQAD，ALALRtADLRtAQLDLQL，DALQAL60，即在RtBCD中，设SDm，则，ASBDSK90ADQ903060，ABS30，即8m6tan30，解得：，故点Q的运动路径长是，BQ的最短距离是