专题15 平面向量与复数（学生版）.docx

1、专题15 平面向量与复数（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布平面向量与复数近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（文科），第3题,5分用坐标运算求向量模长2022年全国乙（文科），第2题,5分复数相等，复数的乘法运算2022年全国乙（理科），第3题,5分已知模求向量的数量积2022年全国乙（理科），第1题,5分复数相等，共轭复数的概念及计算2022年全国甲（文科），第13题,5分向量垂直的坐标表示2022年全国甲（文科），第3题,5分复数的模计算，复数的乘法运算，共轭复数的概念及计算2022年全国甲（理科），第13题,5分用定义求向量的数量积，数量积的运算律2022年全国甲

2、（理科），第1题,5分复数的除法运算，共轭复数的概念及计算2023年全国乙（文科），第6题,5分复数的模计算，复数的乘方2023年全国乙（理科），第1题,5分复数的除法运算，共轭复数的概念及计算2023年全国乙（理科），第12题,5分向量的数量积，向量与几何求最值辅助角公式2023年全国甲（文科），第2题,5分复数的除法运算2023年全国甲（文科），第3题,5分向量夹角的计算，数量积的坐标表示，向量模的坐标表示2023年全国甲（理科），第2题,5分复数相等，复数的乘法运算2023年全国甲（理科），第4题,5分向量加法的几何应用，数量积的运算律，夹角的计算二倍角的余弦公式2. 命题规律及备考策略

3、【命题规律】1.本小节为高考必考点，常以选择题，少量的填空题形式出现，题目难度：容易； 2.考查向量求模长，求夹角，向量的数量积，向量的垂直和平行，通过向量数量积求取值范围；3.考查复数的基本概念，复数相等，复数的模长，复数的四则运算，复平面，复数的几何意义【备考策略】1.了解平面向量及相关概念； 2.掌握平面向量的加、减、数乘运算及几何意义； 3.了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量共线的充要条件及应用.4.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.5.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.6.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断垂直关系.7.会用向量方法解决简单

4、的平面几何与力学问题.8.理解复数的相关概念及几何意义.9.掌握复数的四则运算.10.了解复数的三角形式.【命题预测】1.考查向量求模长，求夹角，向量的数量积，向量的垂直和平行，通过向量数量积求取值范围；2.考查复数的基本概念，复数相等，复数的模长，复数的四则运算，复平面，复数的几何意义 知识讲解一、向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量,向量的大小叫作向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量,其方向是任意的记作 单位向量长度等于1个单位长度的向量与非零向量共线的单位向量为平行向量(共线向量)方向 或 的非零向量0与任一向量 或共线相等向量长度 且方向 的向量两向

5、量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量0的相反向量为0二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:；结合律:减法求与的相反向量的和的运算数乘求实数与向量的积的运算当0时，与的方向 ;当0时，与的方向 ;当=0时，；一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+An-1An=A1An(n2).特别地,对于一个封闭图形,首尾连接而成的向量的和为零向量.三、共线向量定理向量与共线的充要条件是存在唯一的实数,使得.有关平面向量概念的注意点:(1)相等向量具有传递性,非零向量

6、的平行也具有传递性.(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.(4)非零向量与的关系:是与方向相同的单位向量,是与方向相反的单位向量.(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(6)两平行向量所在的直线平行或重合.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连时,常选用三角形法则;当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则.1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角

7、形中,运用平行四边形法则,三角形法则及三角形中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向量线性表示.利用向量线性运算求解参数的思路:(1)利用向量的线性运算得到相关向量的线性表示;(2)对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解.四、平面向量基本定理如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使,.若,不共线,我们就把叫作表示这一平面内所有向量的一个基底.1.若与不共线,且,则.2.若G是ABC的重心,则GA+GB+GC=0,AG=(AB+AC).3.三点共线定理若OA,OB是平面内不共线的向量,且存在实数,使得OC=1OA+2

8、OB,则当时,A,B,C三点共线.特别地,当时,C是线段AB的中点.五、平面向量的坐标运算1.向量的加法、减法、数乘及向量的模设,则 , , ,=x12+y12.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即向量的坐标.(2)设,则AB=( ),|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.六、平面向量共线的坐标表示若,则 =0.特别地,若,则.平面向量基本定理的实质及解题思路(1)运用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通

9、过向量的运算来解决.提示:在基底未给出的情况下,合理地选取基底能给解题带来方便.另外,要熟练地运用平面几何的一些性质及定理.平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减或数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量始点的坐标.(2)在解题过程中,常利用“若向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.与平面向量共线的坐标表示有关问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的值时,利用“若,则的充要条件是”解题比较

10、方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求一个与已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.七、平面向量的数量积1.定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则数量 叫作与的数量积(或内积),记作,即.规定零向量与任一向量的数量积为0,即.2.向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量和,如右图,作OA=,OB=,则AOB=(0180)叫作与的夹角,记作.(2)当=0时,与 ;当=180时与 ;当=90时,与 .3.投影向量设,是两个非零向量,AB=,CD=,过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分

11、别为A1,B1,得到A1B1,这种变换称为向量向向量投影,A1B1叫作向量在向量上的投影向量.注:|cos称为向量在向量方向上的投影数量.向量,的夹角为锐角且,不共线;向量,的夹角为钝角且,不共线.八、平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量,为向量,的夹角,则(1);(2);(3);(4);(5)(当且仅当时等号成立).九、平面向量数量积的运算律1.(交换律).2.(数乘结合律).3.(分配律).平面向量数量积的运算公式(1);(2);(3).平面向量数量积的三种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若,则.(3)利用数量积的

12、几何意义求解.平面向量垂直问题的类型及求解方法：(1)判断两向量垂直:第一,计算出这两个向量的坐标;第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两向量垂直求参数:根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.求向量夹角问题的方法：(1)当,是非坐标形式时,要求与的夹角,需求出及,或得出它们之间的关系.(2)若已知与,则.提醒:.求平面向量的模的常用方法：1.若向量是以坐标形式出现的,可直接利用公式求向量的模.2.若向量,是以非坐标形式出现的,可运用公式或求向量的模,即先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.利用向量的数量积求最值与范围问题常常

13、有两种思路:(1)基底法:利用一组基底,通过向量的运算,转化为求最值或范围,此时应注意几何特征的应用;(2)坐标法:建立合适的平面直角坐标系,通过向量的坐标运算,转化为关系变量的最值或范围问题,常常利用函数的单调性或基本不等式求解. 平面几何中的向量问题,主要是注意平面图形中的数量关系、角度大小,然后利用向量的相关知识求解即可.用平面向量方法解决物理问题的步骤： 十、复数的基本概念1.虚数单位i:i叫作虚数单位,它的平方等于-1,即i2=-1.2.复数的概念:形如a+bi(a,bR)的数叫作复数,通常用字母z表示,记作z=a+bi(a,bR).其中a叫作复数的 ,b叫作复数的 ,i是虚数单位.

14、全体复数所构成的集合叫作 ,用字母C表示.3.复数的分类对于复数z=a+bi(a,bR),若b=0,则a+bi为实数;若 ,则a+bi为虚数;若 ,则a+bi为纯虚数.分类如下:z=a+bi(a,bR)实数(b=0),虚数(b0)纯虚数(a=0),非纯虚数(a0).十一、复数相等的充要条件两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别对应相等,那么我们就说这两个复数相等.也就是若a,b,c,dR,则a+bi=c+dia=c,b=d.特别地,a+bi=0 .十二、共轭复数当两个复数的实部相等,虚部互为 时,这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.通常记复数z的共轭

15、复数为z.十三、复数的四则运算1.加法、减法运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),我们规定:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z2-z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.对任意z1,z2,z3C,加法运算律满足交换律:;结合律:.2.乘法、除法运算法则设,我们规定:;.对任意,乘法运算律满足交换律:;结合律:;分配律:.十四、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴如图所示,复数z=a+bi(a,bR)可用点 表示,这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,也叫高斯平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.2.复数集与

16、复平面内点或向量的对应关系按照复数的几何表示法,每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应;反过来,在复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.复数集C和在复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的,即这是复数的一种几何意义.复数集C与在复平面内所有以原点O为起点的向量所构成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即这是复数的另一种几何意义.3.复数的模向量OZ的模r叫作复数z=a+bi(a,bR)的模,记作|z|或|a+bi|,则|z|=|a+bi|=r=a2+b2(r0,rR),即复数a+bi(a,bR)的模表示点Z(a,b)与原点O的距离.特别地,当b=0时,z=a+bi(a,bR

17、)是实数a,此时|z|=|a|.解决复数概念问题的方法及注意事项:(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可;(2)解题时,一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.复数代数形式的乘除运算问题的解题策略(1)复数的乘法:复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含有i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.复数的几何意义及应用:(1)复数z与复平面上

18、的点Z及向量OZ相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b)OZ=(a,b);(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 1.实系数一元二次方程在复数范围内求根(1)求根公式:0:一对实根x1,2=-bb2-4ac2a.=0:一对相等的实根x1,2=-b2a.0:一对共轭虚根x1,2=-b-(b2-4ac)i2a.(2)韦达定理:2.虚系数一元二次方程在复数范围内求根时,只能设出复数的代数形式或是三角形式,利用复数相等求解.在如图所示的复平面中,.任何一个复数都可以表示成的形式.我们把叫作复数

19、的三角形式.复数乘、除运算的三角表示:已知复数,则;.考点一、平面向量基本定理类型一：（线性运算）1（2022年全国新高考I卷数学试题）在中，点D在边AB上，记，则（）ABCD2（2020年新高考全国卷数学考试题（海南卷）在中，D是AB边上的中点，则=（）A B C D3（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABC D4（2003年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（）A外心B内心C重心D垂心类型二：坐标运算1（2017年全国普通高等学校招

20、生统一考试理科数学（新课标3卷）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若= +，则+的最大值为A3B2CD22（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点若，则（）A9B6C4D31（2020年山东省春季高考数学真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，则等于（）ABCD2（2021年山东省春季高考数学真题）如下图，是线段的中点，设向量，那么能够表示为（）ABCD3已知非零向量和满足，且，则为（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D三边均不相等的三角形考点二、平面向量的模长问题类型一：线性运

21、算1（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量满足，则（）ABC1D22（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设非零向量，满足，则（ ）ABCD类型二：坐标运算1（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，则（）A2B3C4D52（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量满足，则 .1（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷II）已知向量，满足，则（）A1BCD2（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知向量，则（ ）AB2C5D503（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A

22、-3B-2C2D3考点三、平面向量的夹角问题类型一：线性运算1（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知向量 ，满足， ，则（ ）ABCD2（2023年福建省联考数学试题）若向量，满足，且，则与的夹角为（）ABCD向量夹角为钝角3（2023年广东省联考数学试题）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（）ABCD类型二：坐标运算1（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（）ABCD2（2022年全国新高考II卷数学试题）已知向量，若，则（）ABC5D6向量夹角为锐角3（2023年河南省名校联考数学试题）已知平面向量，.(1)当实数m为何值时，与垂直；(2)

23、若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围.1（2023年安徽省教学质量统测数学试题）已知向量满足，且，则与的夹角为（）ABCD2（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知为单位向量，且=0，若 ，则 .3（2023年天津市联考数学试题）已知.求：(1)与的夹角；(2)；(3)若与夹角为钝角，求的取值范围.4（2023年河北省联考数学试题）已知向量，则下列说法正确的是（）A当时，B当时，C与夹角为钝角时，则的取值范围为D当时，在上的投影向量为5（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知向量，则 .考点四、平面向量中的共线问题1（2023年四川省模拟数学（文科）试题）已知向量

24、 为平面向量的一组基底，且，若三点共线，则实数应该满足的条件为（）ABCD2 （2020年江苏省高考数学试题）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 3（2023年四川省模拟数学（文科）试题）已知向量，若三点共线，则实数（ ）ABC4D51（2023年黑龙江省模拟数学试题）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A0BC1D22（2023年江西省水平测试数学试题）已知，如图，在中，点，满足，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，三点共线(1)用，来表示；(2)求的最小值考点五、平面向量的平行与垂直类型一：线性运算1（2020年全国统一高考

25、数学试卷（文科）（新课标）已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（）ABC D2（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD3（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标）设向量，不平行，向量与平行，则实数 类型二：坐标运算1（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知向量若，则 2（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则 3（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量若，则 1是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（）A BCD2（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新

26、课标）已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k= .3（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量，若，则 4（2018年全国卷理数高考试题）已知向量，若，则 5是所在平面上一点，若，则是的（）A外心B内心C重心D垂心考点六、平面向量的数量积1（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（）AB3CD52（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设向量，的夹角的余弦值为，且，则 3（2021年全国新高考II卷数学试题）已知向量， 1如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ） A BC D2（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学

27、（天津卷）在如图的平面图形中，已知,则的值为（ ）ABCD03已知四边形ABCD是边长为2的菱形，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q(1)若，求x，y的值；(2)求最小值考点七、投影及投影向量1（2023年贵州省教学质量监测试题）已知向量，则向量在向量上的投影向量（）ABCD2（2021年浙江省高考数学试题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .1（2023年安徽省教学质量统测数学试题）向量，则在上的投影向量为 2（2023年广西联合调研测试数学试题）已知点是直角斜边的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（）ABCD考点八、平面向量在

28、物理上的应用1在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）A的最小值为 B的范围为C当时， D当时，2长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（）A BB CD1如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（

29、）A船头方向与水流方向垂直BCD该船到达对岸所需时间为分钟2（2023年江苏省模拟数学试题）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（）ABCD考点九、平面向量的综合应用1（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）ABCD2（2022年北京市高考数学试题）在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD3（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A圆B椭圆

30、C抛物线D直线4（2023年吉林省阶段性考试数学试题）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，点P满足，则ACO与CBP面积比为（）A5:6B3:4C2:3D1:25（2023年河北省联考数学试题）设向量与的夹角为，定义已知向量为单位向量，则（）AB1CD1（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD2平行四边形中，点在边上，则的取值范围是（）ABCD3（2020年天津市高考数学试题）如图，在四边形中，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 4已知为所在平面内一点，若，则（）A1：3B

31、1：4C1：5D1：65设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（）A2BCD1考点十、复数的基本概念1下列三个命题：若且，则是纯虚数；复数的充要条件是；若，则；正确个数为（）A0个B1个C2个D3个共轭复数2（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（）ABCD复数为实数3（2020年浙江省高考数学试卷）已知aR，若a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A1B1C2D2复数为纯虚数4下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A(1+i)2Bi2(1-i)Ci(1+i)2Di(1+i)复数的虚部5（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）复数的虚部

32、是（）ABCD复数的实部6（2020年江苏省高考数学试题）已知是虚数单位，则复数的实部是 .关于虚轴对称7在复平面内，复数对应的点与对应的点关于虚轴对称，则等于（）ABCD1已知（，是虚数单位），定义：，给出下列命题：对任意，都有；若是复数的共轭复数，则恒成立；，则；对任意，结论恒成立；则其中真命题是（）ABCD2（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设z=i(2+i)，则=（ ）A1+2i B1+2i C12i D12i3（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 4（2023年云南省模拟数学试题）若复数满足，则关于复数的说法正

33、确的是（）A复数的实部为B复数的虚部为C复数的模长为D复数对应的复平面上的点在第一象限5若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 .考点十一、复数相等1（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设，则（）A-1B0C1D22（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知，且，其中a，b为实数，则（）ABCD3（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）设，其中为实数，则（）ABCD4（2021年浙江省高考数学试题）已知，(i为虚数单位)，则（）AB1CD31（2022年浙江省高考数学试题）已知（为虚数单位），则（）ABCD2（2023年广东省模拟数学试题）已知复数为纯虚数（，是虚数单位）

34、，且，则（）A且B且C或D或3（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，则（）ABCD考点十二、复数的模长1（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）（）A1B2CD52（2022年北京市高考数学试题）若复数z满足，则（）A1B5C7D253（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）若则（）ABCD1（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设，则=（ ）A2BCD12（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）设，则ABCD3（2019年浙江省高考数学试题）复数（为虚数单位），则 .考点十三、复平面1（2020年北京市高考数学试题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则

35、（）ABCD2（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限1（2023年福建省模拟数学试题）已知，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（2023年上海市模拟数学试题）在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点十四、复数的四则运算1（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（）AB1 C D2（2023年新高考天津数学高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 3（2021年全国新高考卷数学试题）已知

36、，则（）ABCD4（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（1i）4=（）A4B4C4iD4i1（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）若，则（ ）ABCD2（2018年全国卷文数高考试题）（ ）ABCD3（2022年高考（天津卷）数学真题）已知是虚数单位，化简的结果为 考点十五、复数的几何意义1（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设复数，满足，则= .2复数、满足，则的虚部为（）ABCD1（2023年广西教学质量监测数学试题）若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为 .2（2023年河南省模拟数学试题）如图，向量对应的复数是，则复数

37、的虚部为（）A BC D3（2023年内蒙古模拟数学试题）对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是 .【基础过关】1（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标）已知点，向量，则向量（ ）ABCD2（2023年北京市模拟数学试题）已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（）ABCD3（2020年全国统一高考数学（理科）（新课标）设为单位向量，且，则 .4（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）设向量 =（1,0）， =（1,m）,若，则m= .5（2021年北京市高考数学试题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为1，

38、则 ； .6（2020年北京市高考数学试题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； 7（2008年高考广东卷理科数学试题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，则（ ）ABCD8（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，则（）ABCD9（2021年全国新高考II卷数学试题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）若z=1+i，则|z22z|=（）A0B1CD211（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设复数z满足，z在复平面内对应的

39、点为(x，y)，则（ ）ABCD12复数满足，则下列四个判断中，正确的个数是（ ）有且只有两个解；只有虚数解；的所有解的和等于；的解的模都等于；ABCD13（2021年天津高考数学试题）是虚数单位，复数 14复数的虚部为 “”是虚数单位【能力提升】1已知，|，且，则与的夹角的取值范围是 .2（2023年新高考天津数学高考真题）在中，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 3（2022年高考天津卷数学真题）在中，D是AC中点，试用表示为 ，若，则的最大值为 .4（2023年海南模拟数学试题）如图，在中，是的中点，与交于点，则（）A B C D5（2022年浙江省高考数学试

40、题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 6如图，在中，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，则的最值为 .7（2023年山东省模拟数学试题）若，则共线的三点是 .9一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是 .10（2023年湖北省联考数学试题）若为的垂心，则 ， 11（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知，则（）ABCD12（2023年河北

41、省联考数学试题）已知为实数，（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（）A9B7C5D413（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则ABCD14（2023年广西教学质量监测数学试题）已知复数，其中为虚数单位.(1)当实数取何值时，复数是纯虚数；(2)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.【真题感知】1（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（）ABC0D12（全国甲卷理科数学）已知向量满足，且，则（）ABCD3（2023年新课标全国卷数学真题）已知向量，若，则（）ABCD4（2023年新课标全国卷数学真题）已知向量，满足，则 5（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）ABCD6（2023年新课标全国卷数学真题）已知，则（）ABC0D17（2023年新课标全国卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8（2022年全国新高考II卷数学试题）（）ABCD9（2022年全国新高考I卷数学试题）若，则（）ABC1D210（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）若，则（）ABCD