专题15平面解析几何A辑（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题15平面解析几何A辑历年联赛真题汇编1【2007高中数学联赛(第01试)】设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( )ABCD【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1,r2，且O1O2=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1，O2，且离心率分别是2cr1+r2和2cr1-r2的圆锥曲线.(当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部分，当c=0时，轨迹是两个同心圆).当r1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当02cr1-r2时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1r

2、2且r1+r2，所以02-23-2cos3-2，即sin2sin3，又022,230,cos30，方程表示的曲线是椭圆因为(sin2-sin3)-(cos2-cos3)=22sin2-32sin2+32+4 而-22-320，所以sin2-320,22+3234，故342+32+40.于是式小于0.即sin2-sin3cos2-cos3.所以曲线表示焦点在y轴上的椭圆.故选C3【2003高中数学联赛(第01试)】设a，bR，ab0，那么，直线axy+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是( )ABCD【答案】B【解析】题设方程可变形为y=ax+b和x2a+y2b=1，则观察可知应选B4【20

3、03高中数学联赛(第01试)】过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于( )A163B83C1633D83【答案】.A【解析】易知此抛物线焦点F与坐标原点重合，故直线AB的方程为y=3x，因此，A，B两点的横坐标满足方程3x2-8x-16=0，由此求得弦AB中点的横坐标x0=43，纵坐标y0=43，进而求得其中垂线方程为y-43=-13x-43，令y=0，得点P的横坐标x=4+43=163，即PF=163.故选A.5【2002高中数学联赛(第01试)】实数x，y满足(x+5)2+(y12)2=142

4、，则x2+y2的最小值为( )A2B1C3D2【答案】B【解析】解法一(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(5，12)为圆心，半径为14的圆.设P为圆上任一点，则|OP|CP|-|OC|=14-13=1，当点C，O，P共线时，等号成立，所以点P到点O的最小值为1，故选B.解法二x=-5+14cosy=12+14sin，此时x2+y2=142+122+52+28(-5cos+12sin)142+132-2852+122=1.第2题答案图6【2002高中数学联赛(第01试)】直线x4+y3=1与椭圆x216+y29=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3，这样的点P共有(

5、)A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】设P1(4cos,3sin)02，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB面积S，有S=SOAP1+SOBP1=124(3sin)+123(4cos)=6(sin+cos)=62sin+4.所以Smax=62，此时=4，因为SOAB=1243=6为定值，所以SP1AB的最大值为62-6.因为62-63，所以点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B.另解考虑到椭圆是圆压缩得来，而相应面积按比例得到.所以，我们可以在圆中考虑这个问题.如果存在点P，题目要求，那么相应圆中三角形面积是334=4，若点P在AB上，PAB

6、最大面积(4-22)4224，所以P不能在AB上面.在AB下方，显然可以存在两个点满足题意.7【2000高中数学联赛(第01试)】已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是( )A33B332C33D63【答案】C【解析】不妨设点B在x轴上方，因为ABC是等边三角形，故可知直线AB的斜率k=33，又直线过点A(1，0)，故方程是y=33x+33，将其代入双曲线方程x2-y2=1，得点B的坐标是(2,3).同理，可知点C的坐标是(2,-3).故ABC的面积是2-(-1)3=33.8【2000高中数学联赛(第01试)】平面上整点(纵、

7、横坐标都是整数的点)到直线y=53x+45的距离中的最小值是( )A34170B3485C120D130【答案】B【解析】由题意，不妨设整点为x0,y0，可知它到直线25x-15y+12=0的距离是d=125x0-15y0+121252+(-15)2=125x0-15y0+121534，又因为x0,y0Z，有25x0-15y0是5的倍数，所以125x0-15y0+1212，仅当x0=-1,y0=-1时125x0-15y0+121=2，故所求最小值是3485.9【1999高中数学联赛(第01试)】平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2

8、2的整点(x，y)的个数是( )A16B17C18D25【答案】A【解析】由(|x|-1)2+(|y|-1)22可知(|x|-1,|y|-1)是(0，0)，(0，1)，(0，1)，(1，0)或(1，0).所以(x，y)的取值共16个.10【1997高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为( )A(0,1)B(1,+)C(0,5)D(5,+)【答案】D【解析】由已知得x2+(y+1)2x-2y+312+(-2)2=5m，这说明(x，y)到定点(0，1)与到定直线x-2y+3=0的距离之比为常数5m，由椭圆定

9、义得5m5.引申同一个事物可以从不同的角度看，在解析几何里面，这主要是指对几何对象可以通过方程去加深“代数”的认识，也可以通过其几何特性去把握它.当然，通常要结合这两种观点一起看，才会对问题的认识更全面.对本题，条件给的是“代数”的，我们从几何观点来看的话，就会知道左右两边实际上都是某个距离的平方再乘上某个系数.根据椭圆的第二定义(几何特性)，很快就能知道答案.11【1996高中数学联赛(第01试)】把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段联结起来所得到的图形为( ).A线段B不等边三角形C等边三角形D四边形【答案】C【解析】解方程x2+(y+1)29=x2+(y

10、-1)2得到y=2或y=12.然后把相应值带入圆方程解得x=0或x=32.于是我们得到这两个图形的三个交点A1(0,2),A232,12,A3-32,12，考虑到选项有不等边三角形和等边三角形，我们来判断这三个交点是否构成等边三角形.易得A1A2=A1A3=A2A3，于是所得图形是等边三角形.12【1994高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系中，方程|x+y|2a+|x-y|2b=1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是( )A三角形B正方形C非正方形的长方形D非正方形的菱形【答案】D【解析】将直角坐标系xOy绕原点逆时针旋转45，得到新坐标系xOy，点P在坐标系xOy中的坐标为(x

11、，y)，在坐标系xOy中的坐标为(x，y)，则x=12(x+y)y=12(-x+y)，题中方程|x+y|2a+|x-y|2b=1 化成xa+yb=2 显然，式代表的曲线关于x轴、y轴对称，在xOy的第1象限内，式成为xa+yb=2.即为线段AB，其中A(2a,0),B(0,2b).据对称性，在第象限内，方程是线段BC，其中C(-2a,0)；在第象限内，方程是线段CD，其中D(0,-2b)；在第象限内，方程是线段AD.由对称性知又由于ab，故ACBD.所以ABCD是非正方形的菱形.13【1993高中数学联赛(第01试)】若M=x,y|tany+sin2x=0，N=(x,y)|x2+y22，则MN

12、的元素个数是( )A4B5C8D9【答案】D【解析】由tany=0得y=k(kZ)，sinx=0.得x=kkZ，又x2+y22，所以k=-1,0,1，k=-1,0,1.如图共有9个点，因此答案是D14【1993高中数学联赛(第01试)】若直线x=4被曲线C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截得的弦长为d，当a变化时，d的最小值是( )A.4B.3C.2D.【答案】C【解析】由题设知，曲线C是以P1arcsina,arcsina,P2arccosa,-arccosa两点为直径端点的圆，其圆心的横坐标为x0=arcsina+arcco

13、sa2=4，故直线x=4过圆心，d就是该圆的直径.而d2=2(arcsina)2+(arccosa)2(arcsina+arccosa)2=24.所以d2，又当arcsina=arccosa时，相应的d=2.故答案是C15【1993高中数学联赛(第01试)】设m，n为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n 与|z+ni|-|z-mi|=-m 在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )ABCD【答案】B【解析】由题意(1)表示以F1(0,-n),F2(0,m)为焦点的椭圆；(2)表示以F1(0,-n),F2(0,m)为焦点的双曲线的一支.从情形(1)知n0，以及

14、n=|z+ni|+|z-mi|n+m|，故m0，再从情形(2)即得|z+ni|+|z-mi|-m，且-mb0通过点(2，1)，则这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )ABCD【答案】C【解析】因为点(2，1)在椭圆上，所以4a2+1b2=1，即b2=a2a2-4 因为a2b2，所以a2a2a2-4，a25.将式代人椭圆方程，得a2=4y2-x2y2-1，于是4y2-x2y2-15 当|y|1，式可化为x2+y21的点的集合为(x,y)x2-y21.21【1988高中数学联赛(第01试)】已知原点在椭圆k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0的内部，那么参数k的取值范围

15、是( )A|k|1B|k|1C-1k1D0|k|1【答案】D【解析】椭圆外部的点可以离原点很远，它的坐标x，y的绝对值可以很大，使得方程左边大于0，所以内部点的坐标使方程左边小于0，用原点的坐标代入方程左边得k210，又k0(否则方程不表示椭圆)，所以答D.引申判断点P(a，b)在曲线f(x，y)=0的哪一侧(上方或下方，内部或外部)的标准就是看f(a，b)的符号.这是由f(x，y)的连续性决定的：如果有点P1,P2,fP1fP20，则线段P1P2上必有点Q在曲线上.22【1988高中数学联赛(第01试)】平面上有三个点集M，N，P：M=(x，y)|x|+|y|1，N=(x,y)|x-122+

16、y+122+x+122+y-12222，P=x,y|x+y1,x1,y1.则( )AMPNBMNPCPNMDA，B，C都不成立.【答案】A【解析】如图，M是正方形BCEF内部，P是六边形ABCDEF内部，N是以AD为长轴的椭圆内部，易知正方形顶点在椭圆内.23【1988高中数学联赛(第01试)】在坐标平面上，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过一个整点的直线的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合，那么表达式(1)MNP=I；(2)M；(3)N；(4)P中正确的个数是( )A1B2C3D4【答案】D【解析】直线y=12不

17、通过任何整点，所以表达式(3)正确；直线y=2x，恰好通过一个整点(0，0)，所以表达式(2)正确；直线y=x通过多个整点，所以表达式(4)正确.我们来证明，若ax+bx+c=0，通过两个整点x1,y1,x2,y2，则通过无穷多个整点x1+kx2-x1,y1+ky2-y1,kZ.事实上a+x1+kx2-x1+by1+ky2-y1+c=ax1+by1+c+kax2+by2+c-kax1+by1+c=0.24【1987高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系中，纵、横坐标均为有理数的点称为有理点.若a为无理数，则过点(a，0)的所有直线中( )A有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B

18、恰有n(2nS2BS10,n0，因为椭圆的长轴在x轴上，所以0mn，这时抛物线mx+ny2=0，即y2=-mnx开口应向左，显然答案不是C.又因0mn，所以0mn1，这样，抛物线y2=-mnx与直线y=-x当-1x1时表示双曲线，因此本题方程必须满足Cmn1.又由于1nm5，所以可得6个不同的值：C51,C52,C41,C42,C31,C21.28【1983高中数学联赛(第01试)】已知M=(x，y)|yx2，N=(x，y)|x2+(ya)21.那么，使MN=N成立的充要条件是( )Aa114Ba=114Ca1D0a3.1253+34，所以圆的面积最大.32【1981高中数学联赛(第01试)】

19、在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y0，yx和y2x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域，它由不等式txt+1所确定的，t的取值范围是0t1.设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为( ).A-t2+t+12B-2t2+2tC1-12t2D12(t-2)2【答案】A【解析】如图1，区域N:txt+1(0t1)是坐标平面内的带状区域；如图2，区域M:y0，yx和y2x是坐标平面内的三角形区域M和N的公共区域(图3)面积可看作SOEF-SOAB-SDCF.所以f(t)=1-12t2-12(1-t)2=-t2+t+12(0t1).优质模拟题强化训练1平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点

20、叫做整点那么，满足不等式x-12+y-122的整点x,y的个数是( )A16B17C18D25【答案】A【解析】由x-12+y-12b0)的左、右焦点分别为F1,F2，其焦距为2c.点N(3c2,2c2)在椭圆的内部，点M是椭圆C上的动点，且|MF1|+|MN|23|F1F2|恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A(0,33)B(33,1)C(4321,1)D(4321,33)【答案】D【解析】由N(3c2,2c2)在椭圆的内部，得9c24a2+c22b21，即9b2c2+2a2c20，得到9e4-15e2+40，因此(3e2-1)(3e2-4)0.因为0e1，所以3e240，故3e21

21、，得到0e33.又由|MF1|+|MN|23|F1F2|恒成立，即2a+|MN|-|MF2|43c恒成立，等价于(2a+|MN|-|MF2|)max43c，亦即2a+|NF2|43c，等价于2a+(3c2-c)2+c2243c，即2a4321.综上，得4321e0,b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点。若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )。A(1, 3B(1,2C2,3D3,十)【答案】A【解析】|PF1|2|PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+|PF2|+4a24a2+4a=8a.当且仅当4a2|PF2|=|PF2|，

22、即|PF2|=2a时，上式等号成立，这时|PF1|=4a.又|PF1|+|PF2|PF1PF2|，即4a+2a2c，因此，1n).椭圆方程为x2a12-y2b12=1，双曲线方程为x2a22-y2b22=1两曲线的半焦距为c1、c2，且c1=c2.由圆锥曲线定义得m+n=2a1，m-n=2a2.于是，m=a1+a2，n=a1-a2.又由余弦定理得m2+n2-mn=4c12=4c22(a1+a2)2+(a1-a2)2-(a1+a2)(a1-a2)=4c12=4c22a12+3a22=4c12=4c221e12+3e22=4.由均值不等式得4=1e12+3e2223e12e22e1e232.当e1

23、=22，e2=62时，上式等号成立.从而，该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为32.5点P(0，2)关于直线x+2y-1=0的对称点坐标是A(-2，0)B(-1，0)C(0.-1)D(-65,-25).【答案】D【解析】解一：设点P(0，2)关于直线x+2y-1=0的对称点是P(x0,y0)，则x02+2(y02+1)-1=0,y0-2x0(-12)=-1.即x0+2y0+2=0,2x0-y0+2=0.解之得：x0=-65,y0=-25.P(-65,-25).故选D.解二：设点P(x0,y0)为所求的对称点，利用PP的中点在直线x+2y-1=0上，这样可否定B.x+2y-1=0的斜率为-12，

24、PP的斜率为2.而满足这个条件的点仅是(-65,-25)，故选D.6已知一双曲线的两条渐近线方程为x-3y=0和3x+y=0，则它的离心率是( )A2B3C22D3+1【答案】A【解析】解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=x的双曲线的离心率相同，而以y=x为渐近线的双曲线方程为x2-y2=(0) ，它的离心率为2，故答案为：A7设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，P为该椭圆上一点，满足F1PF2=90.若PF1F2的面积为2，则b的值为( ).A1B2C3D2【答案】B【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n，则m+n=2a, m2+n2=

25、4c2=4(a2-b2), 12mn=2. 由得b2=2,即b=2.故答案为：B8椭圆x24+y23=1的左焦点为F，直线y=3x与椭圆在第一象限的焦点为M，过M作椭圆的切线交x轴于点N.则MNF的面积是( ).A3+155B3+2155C23+155D23+2155【答案】C【解析】如图，由椭圆方程x24+y23=1，可得a2=4,b2=3,c2=1.所以，F(-1,0).设M(x0,y0)，易知过点M的切线方程为x0x4+y0y3=1.令y=0，解得xN=4x0.故|FN|=1+4x0.所以，SMNF=12(1+4x0)y0=12y0+2y0x0.设x0=2cos,y0=3sin.因为y0

26、x0=32tan=3，所以，tan=2.显然，(0,2)，则sin=255,y0=3sin=2155.因此，SMNF=155+23.故答案为：C9如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0,直线l与椭圆切于点P，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B.若PA=b，则PB为( ).AaBabCa2-b2Da2+b2【答案】A【解析】易知，切点Px0,y0在第一象限.则切线l的方程为x0xa2+y0yb2=1.分别令y=0，x=0，得Aa2x0,0、B0,b2y0.由PA=b,得a2x0-x02+y02=b2，即a2x0-x02=b2a2x02.因为a2x0x00，所以，a2x0-x0=bax

27、0x02=a3a+b.则y02=b2a2a2-x02=b2a2a2-a3a+b=b3a+b.故PB=x02+b2y0-y02=x02+b2y02-2b2+y02=a3a+b+ba+b-2b2+b3a+b=a.故答案为：A10顺次联结双曲线xy=20与圆x2+y2=41的交点得到一个凸四边形.则此四边形的面积为( ).A18B20C22D30【答案】A【解析】设Ax0,y0x00,y00.由两曲线既关于原点对称又关于y=x对称知，另外的三个交点坐标为By0,x0、C-x0,-y0、D-y0,-x0.由此知四边形ABCD为矩形，其面积为ABAD=2x0-y022x0+y02=2x02+y02-2x

28、0y0x02+y02+2x0y0=241-22041+220=18.故答案为：A11已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F，P是第一象限内C上的点，Q为双曲线左准线上的点.若OP垂直平分FQ，则双曲线的离心率e的取值范围是( ).A1,+B2,+C3,+D2,+【答案】C【解析】由OF=OQ，可得Q-a2c,bca2+c2，Fc,0.所以，kQF=bca2+c2-0-a2c-c=-ba2+c2.又OPFQ，则kOP=a2+c2b.依题意有a2+c2bba，即a2a2+c2b4=c2-a22.化简得3a23.12抛物线y=-18x2的准线与y轴交于点A.过A作直线交抛物线于点M、N，点

29、B在抛物线对称轴上，且(BM+MN2)MN.则|OB|的取值范围是( ).A(3,+)B(4,+)C(5,+)D(6,+)【答案】D【解析】注意到点A(0,2).过A作直线MN，其方程设为y=kx+2.代入抛物线方程得x2+8kx+16=0.而0，则k21,x1+x2=-8k.设点B(0,b),MN中点为C(-4k,-4k2+2).由(BM+MN2)MNBCMNb=-4k2-2|n|0)上一点P与两个焦点F1、F2的连线互相垂直则RtPF1F2的面积是()A|n|BmCn2D不确定【答案】A【解析】n0，曲线为椭圆则|PF1|+|PF2|=2m，PF12+PF22=4(m-n)2-得|PF1|

30、PF2|=2n，SPF1F2=|n|类似地，n0,b0)右支上任意一点，过点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P1、P2，且点P内分线段P1P2，O为坐标原点，c为双曲线的半焦距.则P1OP2面积的最小值是( )AabBacCbcDab2c【答案】A【解析】设点P分P1P2的比为(0)，P(x,y)，P1(x1,ba)，P2(x2,-bax2).则x=x1+x21+,y=bax1-bax21+,则x=x1+x21+,aby=x1-x21+.2-2得x2-a2b2y2=4x1x2(1+)2.因为点P(x,y)在双曲线x2a2-y2b2=1上，所以x2-a2b2y2=a2.从而，x1x2=a2

31、(1+)24.则|OP1|OP2|=x12+(bax1)2x22+(-bax2)2=(1+b2a2)|x1x2|=(a2+b2)(1+)24.又sinP1OP2=2ba1+(ba)2=2aba2+b2.故SP1OP2=12|OP1|OP2|sinP1OP2=ab(1+)24ab.当且仅当=1，即P为线段P1P2的中点时，上式取等号.18设动点M(x,y)到点F(4,0)的距离与到直线x=3的距离之比为2,则M(x,y)的轨迹方程为()Ax212-y24=1Bx24-y212=1C3x2-y2-16x+20=0.D3y2-x2-16y+20=0.【答案】C【解析】因为动点M(x,y)到点F(4,

32、0)的距离与到直线x=3的距离之比为2,所以(x-4)2+y2|x-3|=23x2-y2-16y+20=0，选C.19已知两椭圆C1、C2，且C1在C2的内部，设内椭圆C1的方程为x2m2+y2n2=1(mn0)，外椭圆C2的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，过椭圆C1上的任一点M作C1的切线交椭圆C2于P、Q两点，过P、Q作椭圆C2的切线，则此两切线的交点R的轨迹方程为( )Ax2m2a2+y2n2b2=1Bx2a2m2+y2b2n2=1Cx2m4a2+y2n4b2=1Dx2a4m2+y2b4n2=1【答案】D【解析】设M(x0,y0)，则lpQ:x0xm2+y0yn2=1 又设P(x

33、1,y1)、Q(x2,y2)，R(xR,yR)，则过点P、Q的两切线方程分别为x1xa2+y1yb2=1，x2xa2+y2yb2=1，又此两切线的交点为R，则有x1xRa2+y1yRb2=1，x2xRa2+y2yRb2=1.因此，lPQ又可表示为xRxa2+yRyb2=1，再由式知x0m2=xRa2，y0n2=yRb2.又因为x02m2+y02n2=1，消去x0、y0化简可得xR2a4m2+yR2b4n2=1,选D.20若椭圆的焦距与长轴长的算术平均数等于长轴长与短轴长的几何平均数，则椭圆离心率的值应在区间( )中.A(0,12)B(12,23)C(23,34)D(34,1)【答案】C【解析】依题意有a+c=2ab1+e=2ba=24a2-c2a2=241-e2 (1+e)4=16(1-e2)(1+e)3=16(1-e) (1+e)3+16(e-1)=0.记f(x)=(x+1)3+16(x-1) =(x+1)3+16(x+1)-32.易知，f(x)在R上为增函数.而f(23)0，所以，方程f(x)=0唯一的实根在(23,34)内.故答案为：C