专题17 相似三角形（10个高频考点）（举一反三）（全国版）（原卷版）.docx

1、专题17 相似三角形（10个高频考点）（举一反三） 【考点1 比例的性质】1【考点2 比例线段】2【考点3 黄金分割】3【考点4 平行线分线段成比例】6【考点5 相似多边形】7【考点6 相似三角形的判定与性质】9【考点7 网格中的相似三角形】12【考点8 相似三角形中的动点问题】13【考点9 相似三角形的应用】15【考点10 位似变换】17【要点1 比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【考点1 比例的性质】【例1】（2022浙江杭州模拟预测）一组不为零的数a，b，c，

2、d，满足ab=cd，则以下等式不一定成立的是（）AacbdBa+bbc+ddCa9bc9dDa9ba+9bc9dc+9d【变式1-1】（2022江苏镇江统考中考真题）九章算术中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_倍【变式1-2】（2022广东茂名统考一模）若x,y,z都是正整数，且3x=4y=5z，则x+y+z的最小值是_【变式1-3】（2022四川成

3、都统考二模）已知a、b、c、满足ba+c=ac+b=ca+b=k，从下列四点： (1,12)；(2，1)； (1,12)；(1，1)，中任意取一点恰好在正比例函数ykx图象上的概率是_【要点2 成比例线段的概念】1比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足2成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段【考点2 比例线段】【例2】（2022江苏泰州统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（）A1，2，2，4B1，2，3，4C3，5，9，

4、13D1，2，2，3【变式2-1】（2022湖北武汉校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离为（）A600000kmB6000kmC600kmD60km【变式2-2】（2022河北石家庄石家庄二十三中校考模拟预测）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中项，那么b:c等于（）A4:3B3:2C2:3D3:4【变式2-3】（2022山西校联考二模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和BN，若MN2=AMBN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N是线段AB的中段分点(1)已知点M、N是线段AB的中段分点若AM=2，MN

5、=3，则BN=；在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长(2)如图2，在ABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且FGAB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K探究PK是否为线段FG的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由.【要点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，AC与AB的比叫做黄金比（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个）【考点3 黄金分割】【例3】（2022四川成都成都市树德实验中学校考

6、模拟预测）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且ARRB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为_【变式3-1】（2022陕西西安校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感如图所示的五角星中，ADBC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD1，则AB的长是_【变式3-2】（2022湖南娄底统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE0.618

7、AD延长HF与AD相交于点G，则EG_DE.（精确到0.001）【变式3-3】（2022贵州遵义统考三模）（1）数学活动一宽与长的比是512的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；第二步，如图，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；第三步，如图，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；第四步，如图，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC若AD=2，请证明矩形BN

8、MC是黄金矩形（2）数学活动二如图，点C在线段AB上，且满足AC:BC=BC:AB，即BC2=ACAB，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得BCAB=512小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若AD=2，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点【要点4 平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理如图：如果，则， 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象

9、的表示为，【要点5 平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例如图：如果EF/BC，则， 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF/BC【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可【考点4 平行线分线段成比例】【例4】（2022四川巴中统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，

10、过C作CDOB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（）A4B5C6D7【变式4-2】（2022宁夏银川校考二模）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OEAB交AD于点E若OE=3，BC=8，则OB的长为_【变式4-3】（2022广西统考中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作DEAB，垂足为E，延长BA交O于点F(1)求证：DE是O的切线(2)若AEDE=23,AF=10，求O的半径【考点5 相似多边形】【例5】（2022河南统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要

11、使小长方形与原长方形相似，则ba的值为（）A22B12C24D14【变式5-1】（2022河北模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是()A甲与乙B乙与丙C甲与丙D以上都不对【变式5-2】（2022广东广州广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则A1B1AB的值为（）A12B22C14D24【变式5-3】（2022河北模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似

12、对于两人的观点，下列说法正确的是（）A 两人都对B两人都不对C甲对，乙不对D甲不对，乙对【要点6 相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 简称为两角对应相等，两个三角形相似如图，如果，则判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 简称为三边对应成比例，两个三角形相似如图，如果，则判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似如图，如果，则【要点7 相似三角形的性质】相似三角形的对应角相等如图，则有相似三角形的对

13、应边成比例如图，则有（为相似比）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有相似三角形周长的比等于相似比如图，则有相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，则有【考点6 相似三角形的判定与性质】【例6】（2022四川攀枝花统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EHCD，交BF于点H，则线段GH的长度是（）A56B1C54D53【变式6-1】（2022江苏淮安统考中考真题）如图，在RtABC中，C=90，AC=3，

14、BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DFAB，交BC于点F，作BAC的平分线交DF于点E，连接BE若ABE的面积是2，则DEEF的值是_【变式6-2】（2022贵州安顺统考中考真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DGAF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN若SDCGSFCE=19，则MC+MN的最小值为_【变式6-3】（2022湖北襄阳统考中考真题）矩形ABCD中，ABBCk2（k1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F(1)【特例证明

15、】如图（1），当k2时，求证：AEEF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整证明：如图，在BA上截取BHBE，连接EHk2，ABBCB90，BHBE，1245，AHE180-1135CF平分DCG，DCG90，312DCG45ECF3+4135（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）(2)【类比探究】如图（2），当k2时，求AEEF的值（用含k的式子表示）；(3)【拓展运用】如图（3），当k3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，PAE45，PF=5，求BC的长【考点7 网格中的相似三角形】【例7】（2022湖北武汉校联考二模）如图是由小正方形组成的87网格，每个小正方形的顶点叫做格点，

16、ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使BCFBDA；(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DGBC，再在边BC上画点H，使AHDH值最小【变式7-1】（2022湖北省直辖县级单位校联考一模）如图，在610的方格纸ABCD中有一个格点EFG，请按要求画线段(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连

17、结MN，使EMN和EFG的相似比为2：5（保留作图痕迹）【变式7-2】（2022江苏无锡统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不需证明）（1）如图，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使APQ和ABC相似； （2）如图，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的M与AB相切，并直接写出此时M的半径为 【变式7-3】（2022江西宜春校联考模拟预测）如图，在55的正方形网格中，ABC的顶点都是格点（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）

18、（1）如图1，在AC边上找点E，使ADE与ABC相似；（2）如图2，在BC边上找点F，使DBF与ABC相似【考点8 相似三角形中的动点问题】【例8】（2022江苏宿迁统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H在这一运动过程中，点H所经过的路径长是_【变式8-1】（2022四川绵阳统考中考真题）如图，平行四边形ABC

19、D中，DB23，AB4，AD2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EMHM并说明理由【

20、变式8-2】（2022山东青岛统考中考真题）如图，在RtABC中，ACB=90,AB=5cm,BC=3cm，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ADE，连接CD点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/sPQ交AC于点F，连接CP,EQ设运动时间为t(s)(0t5)解答下列问题：(1)当EQAD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使PQCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【变式8-3】（2022吉林长春统考中考真题）如图，在ABCD中，AB=

21、4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线ADDB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM作点A关于直线PM的对称点A，连结AP、AM设点P的运动时间为t秒(1)点D到边AB的距离为_；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段AD最短时，求DPA的面积；(4)当M、A、C三点共线时，直接写出t的值【考点9 相似三角形的应用】【例9】（2022浙江金华一模）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H恰为C

22、D中点（1）收纳盒的长BC=_；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有_本书可与边BC有公共点【变式9-1】（2022广西统考中考真题）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是_米【变式9-2】（2022上海统考中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为，求灯杆AB的高度（用含a，b，的代

23、数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度【变式9-3】（2022湖南株洲统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A，A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm设AFMN(1)求A的半径长

24、；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，sinCAF=910求此时拉杆BC的伸长距离【要点8 位似图形】1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法： 确定位似中心；确定原图形中的关键点关于中心的对应点；描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的

25、相似比为【考点10 位似变换】【例10】（2022广西梧州统考中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形ABCD已知OAOA=13，若四边形ABCD的面积是2，则四边形ABCD的面积是（）A4B6C16D18【变式10-1】（2022重庆统考中考真题）如图，ABC与DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比为12，则ABC与DEF的周长之比是（）A12B14C13D19【变式10-2】（2022山东青岛统考二模）如图，在平面直角坐标系中，ABC位于第二象限，点A的坐标是2,3，先将ABC绕点1,0顺时针旋转90度得到A1B1C1，再以原点为位似中心作A1B1C1的位似图形A2B2C2，若A1B1C1与A2B2C2的相似比为12，则点A的对应点A2的坐标是（）A4,2B6,4C6,4或6,4D4,2或4,2【变式10-3】（2022四川成都四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）如图，在811网格图中，ABC与A1B1C1是位似图形 (1)直接写出：tanC= _ ；(2)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A(1,5)，点C1(2,2) 以点C为位似中心，在网格中作出A2B2C，使A2B2C和ABC位似，且位似比为1：2；在图上标出ABC与A1B1C1的位似中心P，位似中心点P的坐标为_