专题17.24 勾股定理解决含30度和45度的直角三角形（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题17.24 勾股定理解决含30度和45度的直角三角形（巩固篇）（专项练习）; 学生熟悉掌握含30度和45度的直角三角形三边之比求边和角，给我们解题带来很多方便，本专题汇集了部分30度和45度的三角形的题型，供师生选择使用。一、单选题1如图，在直角三角形中，则（） A6BC4D2如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（）ABCD3如图，中，是中线，且，则的面积为（）A30B48C24D184如图，在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD边上的一个动点若点P到AC的距离为，则点P的位置有（）A1处B2处C3处D4处5如图，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯

2、一一个，下列选项不符合题意的是（）ABCD6如图，中，是的平分线，E是上一点，连接若，则的长是（）AB4CD27如图，点在内部，且，若、分别为边、上的动点，则周长的最小值为（）A4BCD88如图，在中，平分，交于点D，于点E，若则的长为（）ABCD69如图，中，是边靠近点的三等分点，则长为（）A2BCD10如图，在ABC中，B22.5，C45，若AC2，则ABC的面积是（）AB1+C2D2+二、填空题11在中，则的长为_12如图，中，平分交于点D，则 的面积为_13如图，中，于，则_14已知在中，则BC的长等于_15如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为 _16如图，在中，在中，连接，

3、则_，_17如图，在中，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为_18如图，纸片中，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是_19在中，则此三角形的面积是_20如图，长方形中，点M是射线BD上一点（不与点B，D重合），连接AM，过点M作交直线BC于点N，若是等腰三角形，则_三、解答题21定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”如图，已知为“准互余三角形”，并且(1) 若，求的度数；(2) 在（1）的条件下，若，求的长22如图，在中， ，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在

4、线段上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边交于点D(1) 当时，判断的形状，并说明理由；(2) 当是等腰三角形时，求出所有满足要求的的长；(3) 记点C关于的对称点为，当时，的长是 _23如图，在中，三角尺中角的顶点D在边上，两边分别与的边，相交于点E，F，且始终与垂直(1) 是_三角形（填特殊三角形的名称）(2) 在平移三角尺的过程中，的值是否变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由(3) 当平移三角尺使时，求的长24如图，点P为中点，平分(1) 求证：平分；(2) 若，则_25如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，连接AE(1) 求证：(

5、2) 若，求的长(3) 如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：26如图1，中，于点，于点，与交于点，连接(1) 求证：(2) 若，求的长(3) 如图2，将沿折叠得到，问与有何位置关系？请说明理由参考答案1A【分析】先利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再利用勾股定理即可得到的长解：，在中，故选：A【点拨】本题考查了30度角所对的直角边等于斜边一半，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键2B【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等

6、腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数解：如图，找出点关于的对称点，连接、，点关于的对称点，是等腰直角三角形，故选：B【点拨】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键3C【分析】延长到，使，连接，利用得出与全等，得到，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，的面积等于的面积，利用三角形的面积公式即可得出结果解：延长到，使，连接，如图所示：为的中点，在与中，又，则；故选：C【点拨】本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理4C【分析】根据勾股定理和含30度角的直角三角

7、形的性质，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决解：解：过点B作于点F，过点D作于点E，CAD=30，CD=2，D=90，AC=4，在RtADC中，斜边AC上的高，AC=4，B=90，BAC=45，AB=BC=，在RtABC中，斜边AC上的高，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为，点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处故选：C【点拨】本题主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是求出满足条件的点P所在的位置5A【分析】由题意可

8、知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可解：由题意可知，当或时，能作出唯一一个，当时，即此时，当时，即时能作出唯一三角形，综上所述：当或时能作出唯一一个故选：A【点拨】本题考查了三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握三角形的三边关系及等腰直角三角形的性质是解题的关键6A【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，根据可得，则,即为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求解即可解： ABAC，AD是ABC的角平分线，为等腰直角三角形，故选A【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键7B【分析】作关于对称点，作关于对称

9、点，连接交于，交于，根据对称性可知， ，从而的周长，根据两点之间线段最短，得到周长的最小值为， 在中，根据勾股定理求，从而确定答案解：作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，如图所示：根据对称性可知， ，的周长，根据两点之间线段最短，周长的最小值为，在中，根据勾股定理得，故选：B【点拨】本题考查动点最值问题，涉及轴对称-最短周长问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握利用对称性解决最短周长问题是解决问题的关键8B【分析】过点D作DHAC于点H，根据角平分线的性质可得DE=DH，进一步可知DHC是等腰直角三角形，根据勾股定理可得CD的长，再根据含30角的直角三角形的性质可

10、得BD的长，即可求出BC的长解：过点D作DHAC于点H，如图所示：AD平分BAC，DEAB，DH=DE，DE=2，DH=2，DHC=90，C=45，HDC=45，C=HDC，HC=DH=2，根据勾股定理，得CD=，B=30，BED=90，BD=2DE=4，BC=4+，故选：B【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键9C【分析】作交AD于点E，求出，再求出，利用勾股定理求解即可解：作交AD于点E，E是AD中点，是边靠近点的三等分点，E是AD中点，故选：C【点拨】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明D，E是三等

11、分点，求出，10D【分析】如图，过点A作ADAC于A，交BC于D，过点A作AEBC于E，先证明ADC是等腰直角三角形，得ADAC2，ADC45，CDAC2，再证明ADBD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答解：如图，过点A作ADAC于A，交BC于D，过点A作AEBC于E，C45，ADC是等腰直角三角形，ADAC2，ADC45，CDAC2，ADCB+BAD，B22.5，DAB22.5，BDAB，ADBD2，ADAC，AECD，DECE，ABC的面积故选：D【点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键11【分析】过点C作于D，

12、先判断，然后根据勾股定理求出，最后根据含角的直角三角形的性质即可求解：如图，过点C作于D， ，在中，故答案为：【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键12【分析】过点D作于点H，根据角平分线的定义和性质求得， ，再由直角三角形中所对的边等于斜边的一半以及勾股定理求得，最后求得的面积解：如图，过点D作于点H，平分， ， ，故答案为：【点拨】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，还考查了角平分线的定义和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质定理并能灵活运用13【分析】过点作，由等腰三角形三线合一可得，然后根据角所对的直角边等于斜边的一

13、半以及勾股定理求解即可；解：如图，过点作，；在中，设，则，由勾股定理得：，即：，解得：，在中，设，由勾股定理得：，即：，解得：，故答案为：【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、含角的直角三角形性质、勾股定理等知识点；熟练运用角所对的直角边等于斜边的一半转化线段是解题的关键146【分析】过A作交于E，根据，得到，由可得，再根据勾股定理求出，即可得到，即可得到答案解：过A作交于E，在中，故答案为6，【点拨】本题考查等腰三角形性质，含角的直角三角形性质及勾股定理，解题的关键是求出15【分析】由角平分线的性质，得出，再计算的长，进而求出的长即可解：作，交的延长线与点F，平分交于点D，在中，在中，

14、设，则，或（舍去），故答案为：【点拨】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质16 #60度 #【分析】作于E，于F，通过证明得到，则平分，所以，然后根据三角形内角和计算的度数；根据含直角三角形的性质求出，然后在等腰直角中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，进而可得的长解：如图，作于E，于F， ，为等腰直角三角形，在和中，平分，是等腰直角三角形，在等腰直角中，在中，即，故答案为：，【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形内角和定理以及勾股定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键

15、172【分析】取中点，连接，由“”可证，可得，则当时，有最小值，利用含度角的直角三角形可求解解：如图，取中点，连接，点是中点，点是中点，在和中，有最小值，也有最小值，当时，有最小值，线段的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键18或【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可解：纸片中，以为折痕，折叠得到，当时，如图1所示，；当时，如图2所示， C与点E重合，设，则，在中，解得：，综上所述，的长为或，故答案为：或【点拨】本题考查了翻折的性质、勾股

16、定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键19或【分析】过点A作于点D，分在的内部和外部两种情况计算即可解：如图，点A作于点D，当在的内部时，；当在的外部时，；故答案为：或【点拨】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，含30角的直角三角形的性质是解题的关键20【分析】连接，先确定是等腰三角形，只存在一种情况，再证明，得，再证明是等边三角形，求出，得，然后由勾股定理求解即可解：连接AN，四边形ABCD是长方形，是等腰三角形，只存在一种情况，在和中，是等边三角形，且，故答案为：【点拨】此题重点考查了长方形的四个角都是

17、直角、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键21(1) (2) 【分析】（1）分为，为，为，求解（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，利用勾股定理，三角形外角性质计算即可解：（1）当为时，则，故不成立；当为时，故不成立；当为，故不成立；故，解得，（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，【点拨】本题考查了新定义问题，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键22(1) 等腰三角形，见分析(2) 或2(3) 【分析】（1）为等腰三角形，理由为：由，得到一对内错角相等，根据等边对等角得出，推出，即可

18、得证；（2）过点C作于点H，点P在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；，分别求解即可；（3）过点C作于点H，证明是等腰直角三角形，可得结论解：（1）解：结论：是直角三角形，理由：当时，又，是等腰三角形；（2）如图，过点C作于点H，设则，当时，是等腰三角形，此时，当时，是等腰三角形，即，此时，；当时，是等腰三角形，即，此时点P与点B重合（不符合题意）综合所述，的值为或2；（3）解：如图，过点C作于点H， 故答案为：【点拨】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键23(1) 等边(

19、2) 不变，2(3) 【分析】（1）根据互余关系，求出，即可得到是等边三角形（2）根据所对的直角边是斜边的一半，求出，进而求出，利用等边三角形三边相等，得到，再利用即可得解；（3）设，利用所对的直角边是斜边的一半，分别表示出，利用，进行计算即可得解解：（1）是等边三角形，证明如下：，是等边三角形；故答案为：等边（2）解：，是等边三角形，；，即的值不变，的值为2；（3）解：，设，；，解得：，【点拨】本题考查含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键24(1) 见分析(2) 6【分析】（1）过点P作于E，由角平分线性质易得，进而可得，根据

20、角平分线的判定定理即可得出结论；（2）首先根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，可得，再由平分及平行线的性质，可得，据此即可解答解：（1）证明：过点P作于E，即，平分，点P是的中点，又，平分；（2）解：，点P是的中点，平分， ，由（1）知平分，在中，故答案为：6【点拨】本题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键25(1) 证明见详解；(2) ；(3) 证明见详解；【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，结合已有条件可证（），则；（2）由（1）得，则，由此可推出，进而可得，根据，结合勾股定理可知，则；（3）

21、连接，如图所示：根据，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得，由此根据勾股定理可证（1）解：和都是等腰直角三角形，（），；（2）解：由（1）得，又，；（3）解：连接，如图所示：，由（1）得，由（2）得，在中，即【点拨】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键26(1) 见分析(2) (3) ，见分析【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解（3）先求出，由，得到，求出，进而求出的度数为，即可得到结论解：（1）证明：，是等腰直角三角形，在和中，；（2），在中，；（3），理由如下：证明：，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键