专题2-7 二次函数中的最值问题（解析版）.docx

1、 专题27 二次函数中的最值问题一题可破万题山二次函数最值常见模型小结，一题20问题型一 【铅垂高系列】2023四川凉山中考真题2022天津中考真题2022湖北襄阳统考中考真题2023湖南娄底中考真题2023湖南中考真题2023青海西宁中考真题2023四川广安中考真题2023湖南永州中考真题2022四川广元中考真题题型二 【线段和差最值篇】2023湖南张家界中考真题2022山东淄博统考中考真题2022四川遂宁中考真题题型三 【构造二次函数模型求最值】2023山东东营中考真题2023四川巴中中考真题2023湖南张家界中考真题2023山东聊城中考真题2022湖北襄阳中考真题2023湖北荆州中考真题

2、2022江苏连云港中考真题2022湖南岳阳中考真题2023宁夏中考真题2023湖北襄阳中考真题题型四 【加权线段最值】2023四川内江中考真题2023黑龙江绥化中考真题题型五 【几何构造最值篇】2022天津统考中考真题一题可破万题山二次函数最值常见模型小结，一题20问母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（2，0）三点，P是抛物线上一点（1） 求抛物线解析式 【答案】【铅垂高系列】本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来（2） （）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值， 【答案】16 补充二级结论【思路分析】先分离出面积为定值的ABC，ABC面积

3、为12设P，(上面的点减去下面的点)当时，PH取最大值2，此时APB面积为：(AO是PBH，PAH两个三角形高之和)（3） （）若P在直线AB上方，作PFAB，F在线段AB上，求PF最大值【答案】【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上导角可知PFHAOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大（4） （）若P在直线AB上方，作PFAB，交线段AB于F，作PEy轴交AB于E，求PEF周长和面积的最大值【答案】22和1【思路分析】PEF形状固定，（5） 若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求的最大值【答案】【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换（6） （）若P在直线AB上方

4、，连接CP，交AB于D，PDA面积为S1，CDA面积为S2，求的最小值【答案】【思路分析】化斜为自第一步：面积比转换为共线的边之比第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比（7） （）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求PCD面积最大值【答案】12【思路分析】过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H推导过程如下：以PH为底，设PHC的高为h1，PDH的高为【几何构造最值篇】（8） （）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求mn的最大值【答案】2【思路分析】特殊位置时有最小值，大多数题

5、目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况（9） （）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。【答案】【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，（10） （）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a2），求CMN周长的最小值 【答案】【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形，故，接下来就是常规的将军饮马了（11） （）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将BDQ沿BQ折叠得BDQ， 求OD的最小值 连接OD，M是线段OD的中点，求AM的最小值【答案】4；【思路分析】(1)D轨迹为圆（2

6、）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题（12） （）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DEx轴于点E，设ADE的内心为I，试求BI的最小值【答案】【思路分析】易知ADIAOI(SAS)，AIDAIO135，而OA为定线段则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，OFA90，故，【构造二次函数模型求最值】（13） （）P在第一象限，作PQx轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值【答案】【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽设，则，而P和Q点到对称轴的距离为，则，PQGH的周

7、长为：（14） （）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DEBC，求BDE面积的最大值【答案】3【思路分析】易知ADEACB，利用相似比得出高之比设AD3m，则E点到x轴的距离为2m，BDE的面积为：（15） （）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，ADP和BDE的面积分别为S1、S2，求S1S2的最大值【答案】设，则（16） （）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，N(n，0)为x轴上一点，且BMNM 求n的变化范围 当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围【答案】（1），（2）【思路分析】由勾

8、股定理构造出关于n的函数模型，【详解】设M坐标为(1，m)，整理得：，由可知，设平移后：分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点，此时N点坐标为，则继续向上平移，当0，此时只有一个交点综上 【加权线段最值】（17） （） 若y轴上有一动点M，求AMBM的最小值及M点坐标【答案】，M（0，2）【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可作MHBC于H，则，AG即所求【法一：等面积】，再由相似求出M点坐标法二：，再由三角函数求M点坐标法三：求出AG解析式（18） （）若动点 D 从点 A 出发先以V1的速度朝 x 轴负方向运动到 G，再以V2的速度向B 点运动，且V1 2V2，当运动时

9、间最短时，求点 G 的坐标（V1为定值） 【答案】【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和【简析】设运动总时间为t，以A为顶点，在x轴下方构造一个30的角，作垂线即可进行代换，当时取到最小值（19） （）将线段CO绕O点进行旋转，得线段CO，在旋转过程中，求的最小值【答案】【思路分析】通过构造子母型相似代换，阿氏圆模型取点，通过SAS可知，相似比为2，故，（20） （）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GDAG的最小值【答案】【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角如图，作于E，易知，当G，D，E三点共线时取到最小值，此时，题型一 【铅垂高系列】2023四川凉山中考真题1 如

10、图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点，取得最大值时，求的值和的最大值【答案】(1)(2)当时，有最大值，最大值为；或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案【详解】（1）解：抛物线与轴交于和两点，抛物线对称轴为直线，在中，当时，抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，抛物线解析式为（2）解：抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，设直线的解析式为，直线的解析式为，直线与抛物线交于点，与直线交于点， ，当时，有最大值，

11、最大值为；2022广东统考中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，点P为线段上的动点，过P作/交于点Q(1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可【详解】（1）解：点A（1，0），AB=4，点B的坐标为（-3，0），将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：，解得：b=2，c=-3

12、，抛物线的解析式为；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点式为：，则C点坐标为：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，PQBC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，由解得：，P在线段AB上，n的取值范围为-6n2，则当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为22022天津中考真题2 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B(1)若，求点P的坐标；直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的

13、坐标【答案】(1)；点M的坐标为，点G的坐标为；【分析】（1）将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；【详解】（1）抛物线与x轴相交于点，又，得抛物线的解析式为，点P的坐标为当时，由，解得点B

14、的坐标为设经过B，P两点的直线的解析式为，有解得直线的解析式为直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：点M的坐标为，点G的坐标为当时，有最大值1此时，点M的坐标为，点G的坐标为2022湖北襄阳统考中考真题3 在平面直角坐标系中，直线ymx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C(1)如图，当m2时，点P是抛物线CD段上的一个动点求A，B，C，D四点的坐标；当PAB面积最大时，求点P的坐标；【答案】（1）直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，A（2，0），B（0，-2m），抛物线的顶点坐标是D（m，2）令x=0，则，当m=

15、2时，-2m=-4，则，点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，如图，过点P作轴交直线AB于点E设点P的横坐标为t，PAB的面积=，-10，当t=1时，PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）2023湖南娄底中考真题4 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C(1)求b，c的值(2)点是抛物线上的动点,当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值.【答案】(1)，(2)当时，的面积由最大值，最大值为【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；（2）由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即

16、可求解；【详解】（1）解：将、代入抛物线中，可得：，解得：，即：，；（2）由（1）可知：，当时，即，设的解析式为：，将，代入中，可得，解得：，的解析式为：，过点P作轴，交于点E，交轴于点，则，点E的横坐标也为，则纵坐标为，的面积，当时，的面积有最大值，最大值为2023湖南中考真题5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为(1)求抛物线的解析式(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点若，求面积的最大值【答案】(1)，(2)【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根

17、据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；【详解】（1）解：抛物线经过点和点，解得：，抛物线解析式为：；（2）解：抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）联立，解得：或，点为直线上的一动点，设点的横坐标为则，当时，取得最大值为，当取得最大值时，最大，面积的最大值2023青海西宁中考真题6 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M求的最大值及此时P点的坐标【答案】(1)(2)(3)的最大值是，此时的P

18、点坐标是【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出设点P的坐标为，则，从而可求出再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解【详解】（1）解：设直线l的解析式为，把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：，直线l的解析式为；（2）解：设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，把A，B两点坐标代入解析式，得，解得：，抛物线的解析式为；（3）解：，在中，轴，在中，在中，设点P的坐标为，则，当时，有最大值是，此时最大，当时，的最大值是，此时的P点坐标是2023四川广安中考真题7 如

19、图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点(1)求这个二次函数的解析式(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标【答案】(1)(2)最大值为，此时【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；（2）先求出，则，求出直线的解析式为，设，则，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，二次函数经过点，即，二次函数解析式为；（2）解：二次函数经过点，且对称轴为直线，二次函数与y轴交于点C，；设直线的解析式

20、为，直线的解析式为，设，则，；， ，当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为2023湖南永州中考真题8 如图，抛物线（，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线交于点，求的最大值；【答案】(1),(2),(3)【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，值，即可求出抛物线解析式（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值【详解】（1）解：抛

21、物线（，为常数）经过点，顶点坐标为，抛物线的解析式为：故答案为：（2）解：过点作轴于点，如图所示，抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，设直线的解析式为：，则，直线的解析式为：在直线上，在直线上，的解析式为：，当时， 有最大值，且最大值为： 故答案为：2022四川广元中考真题9 在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C (1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求PAB周长的最小值；(3)当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D

22、，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)PAB的周长最小值是2+2；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出PAB最小值；（3）过点Q作QFx轴交于F点，交直线AB于点E，得到QED=EQD=45，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解【详解】

23、（1）解：直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，2a=b+1，c=-2；（2）解：当a=时，则b=-，抛物线的解析式为y=x2-x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，点A的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(4，0) ，PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，当PB+PA最小时，PAB的周长最小，点A、C关于直线x=1对称，连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，AP=CP，PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），OA=

24、2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，PAB的周长最小值是：2+2（3）解：当a=1时，b=1，抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QFx轴交于F点，交直线AB于点E， A（-2，0），B（0，-2），OA=OB，OAB=45，QDAB，AEF=QED=EQD=45，QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）10 已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动(1)如图1，连

25、接，若，求点P的坐标(2)如图2，过点P作轴交于点Q，交于点H，求周长的最大值【答案】(1)或；(2)最大值为；【分析】（1）如图，作轴，交直线于点D，由，得，待定系数法确定直线解析式为，设，则，得，解得或3，于是或（2）如图，可证得是等腰直角三角形，周长，同（1），设，周长，得当时，最大值为【详解】（1）解：如图，作轴，交直线于点D，由，时，得，则，解得或，得,设直线解析式为，则，解得设，则，解得，或3，或或（2）解：如图，轴周长同（1），设，则，周长当时，点P在线段下方的抛物线上，此时周长有最大值，最大值为题型二 【线段和差最值篇】2023湖南张家界中考真题11 如图，在平面直角坐标系中，

26、已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点点D为线段上的一动点(1)求二次函数的表达式；(2)如图，求周长的最小值；【答案】(1),(2)【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，所以抛物线的表达式为；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，O、E关于直线对称，四边形为正方形， 连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，的周长为，的最小值为10

27、，的周长的最小值为；2022四川遂宁中考真题12 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值【答案】(1)(2)周长的最小值为【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，连接、，由对称的性质可知当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度，再证明为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；【详解】（1），在上，抛物线的解析式为（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直

28、线BC的对称点，连接、，由对称的性质可知，的周长为，当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度令，则，解得，B的坐标为，为等腰直角三角形BC垂直平分，且D的坐标为，又D、关于x轴对称，周长的最小值为2022山东淄博统考中考真题13 如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：yx+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PMx轴于点M，PNl于点N，当1m3时，求PM+PN的最大值【答案】(1)y =x+2x+3(2)最大值【分析】（1）利用顶点式可得结论；（2）如图，设直线l

29、交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设，推出最大时，的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；【详解】（1）解：抛物线的顶点为D（1，4），根据顶点式，抛物线的解析式为；（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设，点，在直线l：上，直线DT的解析式为，令，得到，最大时，的值最大，直线BD的解析式为，二次项系数，时，最大，最大值为11，的最大值题型三 【构造二次函数模型求最值】2023山东东营中考真题14 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩

30、形的周长有最大值？最大值是多少？【答案】(1)(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为当时，点C的坐标为将点C坐标代入表达式，得，解得抛物线的函数表达式为（2）解：由抛物线的对称性得：，当时，矩形的周长为，当时，矩形的周长有最大值，最大值为2023四川巴中中考真题15 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为(1)求抛物线的表达式(2)若

31、直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值【答案】(1)(2)当时，有最大值为【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，即可求得最大值；【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为对称轴为与x轴另一交点为设抛物线为抛物线的表达式为（2）在抛物线上设在第一象限当时，有最大值为2023湖南张家界中考真题16 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点点D为线段上的一动点如图，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的

32、坐标，并求出此时S的最大值【答案】，【分析】由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可【详解】由已知点，设直线的表达式为，将，代入中，解得，直线的表达式为，同理可得：直线的表达式为，设直线表达式为，由（1）设，代入直线的表达式得：，直线的表达式为：，由，得，P，D都在第一象限，当时，此时P点为.2023山东聊城中考真题17 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点(1)求抛物线的表达式；(2)如图，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D当m为何值时，

33、面积最大，并求出最大值【答案】(1)(2)时，有最大值，最大值为【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；（2）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，则，运用解直角三角形，中，中，可得，；中，可得，于是，从而确定时，最大值为【详解】（1）将，代入，得，解得抛物线解析式为：（2）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，同理可得设直线的解析式为：则，解得直线：同理由点，可求得直线 ：设点，则，中，中，解得，；中，解得，即，时，有最大值，最大值为2022湖北襄阳中考真题18 在平面直角坐标系中，直线ymx-2m与x轴，y轴分别交于A，

34、B两点，顶点为D的抛物线y-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，求m的取值范围；求线段BC长度的最大值【答案】(2)或；13【分析】对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出的答案即可；对于，根据中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可【详解】知B（0，-2m），C（0，-m2+2），y轴上有一点，点C在线段MB上，需分两种情况讨论：当时，解得：，当时，解得：，m的取值范围是或；当时，当m=1时，BC的最大值为3；当时，当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，BC的最大值是13

35、2023湖北荆州中考真题19 已知：关于的函数(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是_；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，并与动直线交于点，连接，其中交轴于点，交于点设的面积为，的面积为当点为抛物线顶点时，求的面积；探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由【答案】(1)0或2或(2)6，存在，【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值（2）根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线

36、解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，当函数为一次函数时，当函数为二次函数时，若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，综上所述，或0故答案为：0或2或（2）解：如图所示，设直线与交于点，直线与交于点 依题意得：，解得：抛物线的解析式为：点为抛物线顶点时，由，得直线的解析

37、式为，在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，故答案为：6存在最大值，理由如下：如图，设直线交轴于由得：，即，当时，有最大值，最大值为2022江苏连云港中考真题20 已知二次函数，其中(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；(2)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值【答案】(1)(2)见解析(3)最大值为【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3

38、）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解【详解】（1）解：将代入，解得由，则符合题意，（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为，二次函数的顶点在第三象限（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为当时，将代入，解得在轴的负半轴上，过点作，垂足为，在中，,当时，此时，面积有最大值，最大值为2022湖南岳阳中考真题21 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；(

39、3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）求点和点的坐标；若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值【答案】(1)，(2)，(3)或；16【分析】（1）将点和点代入，即可求解；（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；（3）通过联立方程组，求出点和点坐标即可；求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，则，可求，由，分别求出的最大值4，的最大值4，即可求解【详解】（1）解：将点和点代入，解得，（2），抛物线的顶点，顶点关于原点的对称点为，抛物线的解析式为，（3

40、）由题意可得，抛物线的解析式为，联立方程组，解得或，或；设直线的解析式为，解得，过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：设，则，当时，有最大值，当时，有最大值，当最大时，四边形面积的最大值为162023宁夏中考真题22 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标【答案】(1)(2)点，的最小值为(3)【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；（2）根据抛物线的对称性，得到，

41、得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；（3）根据题意，补全图形，设，得到，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，点为；（2）当时，连接，点关于对称轴的对称点为点，当三点共线时，的值最小，为的长，设直线的解析式为：，则：，解得：，点在抛物线的对称轴上，；点，的最小值为；（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，设抛物线的解析式为：，设，则：，由（2）知：直线：，当时，有最大值，此时在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点

42、A（3，0）(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N设S=SPAMSBMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，点的坐标是（1，4），过程见解析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；（2）将抛物线的解析式变形为：y=x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；（3）将S变形为：S

43、=（SPAM+S四边形AONM）（S四边形AONM+SBMN）=S四边形AONPSAOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，m=1，y=-x2+2x+3；（2）证明：y=-x2+m（2x+3），当2x+3=0时，即时，无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；（3）如图，连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，PD的解析式为：y，当x0时，

44、y，点N的坐标是（0，），S=SPAM-SBMN，S=（SPAM+S四边形AONM）（S四边形AONM+SBMN）=S四边形AONP-SAOB，当x0时，y=-x2+2x+33，点B的坐标是（0，3），OB3，当时，当时，点的坐标是（1，4）2023湖北襄阳中考真题23 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；时，的最小值为2，求的值；当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的

45、交点为.若，直接写出的取值范围【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为；的值为或1；取得最大值(2)的取值范围为或【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间

46、，作点关于点的对称点，同理可求得答案【详解】（1）抛物线经过原点，解得：或，抛物线的解析式为，顶点的坐标为；当，即时，随增大而减小，由题意得：，解得：，（舍去），的值为，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，由题意得：，解得：（舍去），的值为1，综上所述，的值为或1；由题意得：当时，则，经过点，可得，由，可得，设点，且，轴，可得：，则，当时，取得最大值；（2），直线：经过点、，解得：，直线的解析式为，令，得，联立方程得：，解得：，当时，当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，则，即，化简得：，令，解得：（舍去），；当时，点在第一象限，点在、之间，作点

47、关于点的对称点，如图，则，即，化简得：，令，解得：，（舍去），；综上所述，的取值范围为或题型四 【加权线段最值】2023四川内江中考真题24 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；【答案】(1)(2)存在，的最大值为，(3)或【分析】（1）将、代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；【详解】（1）解：由题意得 ，解得：，抛物线的解析式为（2）解：设直线的解析式为，则

48、有，解得：，直线的解析式为；设（），解得：，当时，的最大值为，故的最大值为，2023黑龙江绥化中考真题25 如图，抛物线的图象经过，三点，且一次函数的图象经过点(1)求抛物线和一次函数的解析式(2)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）点是抛物线上的一个动点且在直线下方已知点的横坐标为过点作于点求为何值时，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)当时，的最大值为【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解【详解】（1）解：把

49、，代入得，解得把代入得（2）向右平移8个单位长度得到抛物线当，即解得：，过，三点在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形点在抛物线上，且横坐标为当时，的最大值为题型五 【几何构造最值篇】2022天津统考中考真题26 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标【答案】(1)；点M的坐标为，点G的坐标为；(2)点和点；【分析】（1）将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐

50、标即可；先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；【详解】（1）抛物线与x轴相交于点，又，得抛物线的解析式为，点P的坐标为（2）由（1）知，又，抛物线的解析式为，顶点P的坐标为直线与抛物线相交于点N，点N的坐标为作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：得点的坐标为，点的坐标为当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时，延长与直线相交于点H，则在中，解得（舍）点的坐标为，点的坐标为则直线的解析式为点和点