专题2.1 指数函数-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修1）.docx

1、第二章 基本初等函数（）2.1 指数函数一、根式1次方根的概念一般地，如果_，那么叫做的次方根，其中，2次方根的性质（1）当是_时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数这时，的次方根用符号表示（2）当是_时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并写成负数没有偶次方根（3）0的任何次方根都为0，记作3根式的概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数4根式的性质根据次方根的意义，可以得到：（1）；（2）当为奇数时，；（3）当为偶数时，二、实数指数幂1分数指数幂（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是于

2、是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：（1）_；（2）_；（3）_3无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数一般地，无理数指数幂是一个确定的实数有理数指数幂的

3、运算性质同样适用于无理数指数幂4分数指数幂与整数指数幂的区别与联系分数指数幂和整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是他们相同的部分整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂不可以理解为个a相乘三、指数函数1指数函数的概念一般地，函数_叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是2指数函数的结构特征（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：ax的系数是_四、指数函数的图象与性质1一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=ax与y=ax的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，单调性在上

4、是_函数在上是_函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时， 2指数函数中的底数对其图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0cd1a0且a1，a4.（2）已知指数函数的图象经过，试求和的值【答案】，【解析】设，函数的图象经过，解得，又，则，则，【技巧点拨】解方程的关键是先把变形为，则5指数函数的图象（1）由于指数函数的图象过定点，因此形如且的函数图象过定点的问题，可令指数为0，即令，即，得，从而图象过定点（2）指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系总结如下： 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上

5、相应的底数由大变小（3）判断底数大小的方法：过点（1，0）作与y轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数例 5（1）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】方法一：相应于曲线C1，C2，C3，C4，设依次是，由指数函数的性质，知，从而排除选项A，B 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，从而，故选D方法二：相应于曲线C1，C2，C3，C4，设依次是，作直线，如图所示，可看出，故选D【知识延伸】一般

6、地，当函数与函数（即函数）的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图象是关于轴对称的（2）已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式0ba；ab0；0ab；bab0时，ab可能成立 当ab0时，ab可能成立当ab0时，ab显然成立当0ab.当ba0时，显然ab.综上可知，不可能成立.6与指数函数相关的定义域和值域问题（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是型还是型，前者的定义域是，后者的定义域与的定义域一致，而求型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）（2）对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是例 6（1）函数的

7、定义域是_，值域是_（2）函数的定义域是_，值域是_【答案】（1） ，（0，1；（2） ，【解析】（1）显然函数的定义域是由于|x1|0，而00，a1)在1,2上的最大值比最小值大，则a的值为_【答案】或【解析】当0a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.(4)函数f (x)4x2x1的值域是_【答案】1，)【解析】设t2x(t0)，则yt22t(t1)21(t0)当t1时，ymin1，无最大值函数f (x)4x2x1的值域为1，)（5）若函数f (x)有最大值3，则a_.【答案】1【解析】令h(x)ax24x3，f (x)h(x)，由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，

8、因此必有解得a1，即当f (x)有最大值3时，a的值为1.【名师点睛】求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断7指数函数单调性的应用（1）比较大小：对指数式比较大小时，要看底数与指数是否相同，若底数相同、指数不同，可直接利用单调性比较；若底数不同、指数相同，可利用指数函数的图象解决；若底数不同、指数也不同，可以采用中间量法，中间量常取1（2）解含指数式的不等式：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解例 7(1)设，则的大小关系是( )AB CD【答案】A【解析

9、】对于函数，在其定义域上是减函数，即在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图象，可知，即从而故A正确【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分与两种情况讨论(2)已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_【答案】cbb1，又c1，cb0的解集为_【答案】x|x4或x2，解得x4或x0.（4）函数f (x)的单调减区间为_【答案】(，1【解析】设ux22x1，yu在R上为减函数，函数f (x)的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，f (x)的减区间为(，18忽略的范围导致式子化简出错例 8化简：【错解】【错因分析】错

10、解中忽略了的奇偶性，从而在化简时出现错误【正解】【名师点睛】对于的化简一定要注意的奇偶性，当为正偶数时，9利用换元法时，遗漏指数函数的值域导致出错例 9求函数的值域【错解】令，则，即当时，则的值域为【错因分析】，错解中忽略了这一点，把的取值范围当成了实数集【正解】令，则因为函数在上单调递增，所以，即函数的值域为【名师点睛】解决与指数函数有关的问题时，经常用到换元法，以达到化繁为简的目的，但换元时，必须考虑原函数的定义域及值域，并由此确定新元的范围，以达到等价转化，避免因考虑不周而失分1的分数指数幂表示为（ ）Aa Ba Ca D都不对【答案】A【解析】故选A2计算：（ ）A6B7C8D【答案】

11、B【解析】2+22+17故选B3计算：（ ）ABCD【答案】A【解析】原式（2）（2）2020（2）（1）2020（2）2，故选A4计算= .【答案】【解析】化简:，原式=.5方程的解是（ ）A2B1C2D1【答案】B【解析】方程，3x132，x12，x1，因此方程的解是x1故选B6若指数函数f（x）（m1）x是R上的单调减函数，则m的取值范围是（ ）Am2C1m2D0m1【答案】C【解析】指数函数f（x）（m1）x是R上的单调减函数，0m11，求得1m0且a1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）A（0，1）B（1，1）C（1，0）D（1，1）【答案】B【解析】已知函数f（x）ax+1（a0

12、，且a1）的图象恒过定点P，因为指数函数yax恒过点（0，1），当x1时，x+10，可得ya01，函数f（x）ax1恒过点（1，1），故选B下列是指数函数的是（）Ay（4）xBCyaxDyx【答案】D【解析】根据指数函数的解析式，A，B，C不满足，故选D函数f（x）（）x在区间2，2上的最小值是（）ABC4D4【答案】B【解析】函数在定义域R上单调递减，f（x）在区间2，2上的最小值为f（2）故选B函数y（a2）ax是指数函数，则Aa1或a3Ba1Ca3Da0且a1【答案】C【解析】若函数y（a2）ax是指数函数，则a21，解得a3，故选C已知a，b，c，则下列关系中正确的是()Acab Bb

13、acCacb Dab，所以，即ba0，b0)_.【答案】【解析】原式.已知实数a1，函数f (x)若f (1a)f (a1)，则a的值为_【答案】【解析】当a1时，代入不成立故a的值为.1函数f（x）ax（a0，且a1）对于任意的实数x、y都有（）Af（xy）f（x）f（y）Bf（x+y）f（x）f（y）Cf（xy）f（x）+f（y）Df（x+y）f（x）+f（y）【答案】B【解析】由函数f（x）ax（a0，且a1），得f（x+y）ax+yaxayf（x）f（y）所以函数f（x）ax（a0，且a1）对于任意的实数x、y都有f（x+y）f（x）f（y）故选B1已知a0.50.8，b0.80.5，

14、c0.80.8，则（）AcbaBcabCabcDacb【答案】D【解析】a0.50.80.50.5，ba，又c0.80.80.50.8，ca，又b0.80.5c0.80.8，ac0，且a1）的图象恒过点（1，4），则m+nA3B1C1D2【答案】C【解析】函数f（x）2ax+mn（a0，且a1）的图象恒过点（1，4），m10，且2am1n4，解得m1，n2，m+n1，故选C1若（）a（）b1（a，bR），则（）AaaabbaBbaaaabCabaabaDbaabaa【答案】B【解析】若（）a（）b1（a，bR），y是定义域R上的减函数，0baaaba，故选B若实数a0，则下列等式成立的是()A

15、(2)24 B2a3C(2)01 D【答案】D【解析】对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，故D正确已知a，b(0,1)(1，)，当x0时，1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1a0时，11.当x0时，bx0时，x1.1，ab，1ba，故选C.要使g（x）3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为At1Bt1Ct3Dt3【答案】C【解析】指数函数y3x过定点（0，1），函数g（x）3x+1+t过定点（0，3+t）且为增函数，要使g（x）3x+1+t的图象不经过第二象限，只须函数g（x）3x+1+t与y轴的交点的纵坐标

16、小于等于0即可，如图所示，即图象不过第二象限，则3+t0，t3，则t的取值范围为：t3故选C已知函数f (x)|2x1|，abf (c)f (b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2c2【答案】D【解析】作出函数f (x)|2x1|的图象，如图，abf (c)f (b)，结合图象知，0f (a)1，a0，02a1.f (a)|2a1|12a，f (c)1，0c1.12cf (c)，12a2c1，2a2c2，故选D.【名师点睛】对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论已知

17、函数f (x)2|2xm|(m为常数)，若f (x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是_【答案】(，4【解析】令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，42如果45x3，45y5，那么2x+y_【答案】1【解析】由45x3，得（45x）29，45y5，则452x45y954512x+y1故答案为：1若曲线y与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是_【答案】(0,1)【解析】曲线y与直线yb图象如图所示，由图象可得：如果曲线y与直线yb有两个公共点，则b

18、的取值范围是(0,1)若函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】若函数f (x)是R上的减函数，则解得a.当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】(1,2)【解析】原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m0，t22t30，(t1)(t3)0，0t1.2x1.x0.函数f (x)的定义域为(，0令yt22t3(t1)24(0t1)对称轴t1.函数y在(0,1上单调递减0y0，t2t20，即（t2）（t+1）0，又t0，故t2，即2，解得x1，故满足条件的

19、x的值为1已知函数yax（a0且a1）在区间1，2上的最大值与最小值的差为6，求a的值【解析】yax（a0，且a1）在区间1，2上为单调函数，且yax（a0，且a1）在区间1，2上最值差为6，即|aa2|6，所以aa26或aa26，即a2a+60或a2a60，解得a3或a2（不合题意，舍去），所以a32已知函数f（x）bax（a0，a1）的图象经过点A（1，2），B（3，8）（1）求a，b的值；（2）设函数g（x）f（x）+f（x）（x2），求函数g（x）的值域【解析】（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中，得，两式相比得a24，a0，a2，b1，（2）由（1）可知f（x

20、）2x，g（x）f（x）+f（x）2x+2x，设2xt，则2xx2，00且a1），f（2）2（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x2+2x）在区间2，1上的值域【解析】（1）函数f（x）axa（a0且a1），f（2）2，f（2）a2a2，a1（舍去），或a2，函数f（x）2x2（2）令tx2+2x，2x1，t（x+1）21为开口向上的抛物线，对称轴为x1，t在2，1上递减，在11上递增，x1时，t取得最小值1又函数f（t）2t2，当1t3时为递增函数212f（t）232，即f（t）6，故f（x2+2x）在区间2，1上的值域为，6已知函数f (x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象

21、经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f (x)的表达式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)因为f (x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f (x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx在(，1上均为减函数，所以yxx在(，1上也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围是.【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x0时，则的值是 【答案】【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：【名师点睛】本题考查根据奇函

22、数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.【名师点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.【2020届广东省惠州市】已知函数，则满足的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由，知是偶函数，不等式等价为，当时，在区间上单调递增，解得.故选A.【名师点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式

23、，属于中档题.【2020山东省高三期末】函数是上的奇函数，当时，则当时，（）ABCD【答案】C【解析】时，.当时，由于函数是奇函数，因此，当时，故选C.【名师点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出的表达式，再利用奇偶性得出的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.【2019年高考全国卷理数】函数在的图像大致为ABCD【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C；又排除选项D；，排除选项A，故选B【2018年高考全国I卷文数】设函数，则满足的x的取值范围是ABCD【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以

24、满足的x的取值范围是，故选D【名师点睛】该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果【2017年高考北京卷理数】已知函数，则A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A【名师点

25、睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性【2017年高考全国卷】设函数则满足的x的取值范围是_【答案】 【解析】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，即.综上，x的取值范围是(2020长沙模拟)已知函数f (x)4(1x2)(1)若，求函数f (x)的值域；(2)若方程f (x)0有解，求实数的取值范围【解析】(1)f (x)42x2x4(1x2)设tx，得g(t)t22t4.当时，g(t)t23t42.所以g(t)maxg，g(t)ming.所以f (x)max，f (x)min，故函数f (x)的值域为.(2)方程f (x)0有解可转化为22x(1x2)设(x)22x，当2x，即x1时，(x)min2；当2x4，即x2时，(x)max.所以函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.