专题2.1 直线与圆的位置关系（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题2.1 直线与圆的位置关系（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】直线与圆的位置关系 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与O相交 ; 直线l与O相切; 直线l与O相离.【知识点二】切线的判定和性质 （1）.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。

2、【知识点三】切线长定理 （1）.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。（2）.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（3）.圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。(4).三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是ABC的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。【考点目录】【考点1】直线圆的三种位置关系； 【考点2】切线的证明；【考点3】切线的性质定理； 【考点4】 切线的判定定理；【考点5】 切线性质定理

3、与判定定理综合； 【考点6】切线长定理； 【考点7】三角形的内切圆.专题2.1 直线与圆的位置关系（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】直线与圆的位置关系 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与O相交 ; 直线l与O相切; 直线l与O相离.【知识点二】切线的判定和性质 （1）.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）.切线

4、的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。【知识点三】切线长定理 （1）.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。（2）.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（3）.圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。(4).三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是ABC的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。【考点目录】【考点1】直线圆的三种位置关系； 【考点2】切线的证明；【考点3】切

5、线的性质定理； 【考点4】 切线的判定定理；【考点5】 切线性质定理与判定定理综合； 【考点6】切线长定理； 【考点7】三角形的内切圆.【考点一】直线圆的三种位置关系【例1】（2023上九年级课时练习）如图，在中，为边上一点（不与点重合）若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？【答案】当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交【分析】作于点D，根据直角三角形的性质得出，根据直线和圆的位置关系进行解答即可解：作于点D，如图所示：，.，若与直线相离，则有，即，解得，；若与直线相切，则有，即，解得；若与直线相交，则有，即，解得，；综上可知：当时，直线与相离；当时，直线与相

6、切；当时，直线与相交【点拨】本题主要考查了直线和圆的位置关系，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质得出【举一反三】【变式1】（2023上河北廊坊九年级校考期中）如图，是的直径，交于点，于点，要使是的切线，还需补充一个条件嘉嘉说：“这个条件可以是”；淇淇说：“满足条件也可以判定是的切线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（）A嘉嘉正确，淇淇错误B嘉嘉错误，淇淇正确C他们都正确D他们都错误【答案】C【分析】本题考查的是切线的判定；根据，连接，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点是的中点，是的中位线，然后由，得到，可以证明是的切线根据，得到，可以证明是的切线解：当时，如图：

7、连接，是的直径，是的中位线，是的切线当时，是的切线故选：C【变式2】（2023江苏镇江统考中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 【答案】2【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2解：的图像经过第一、二、四象限，随的增大而减小，过定点，当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，r的临界点是2，r的最小值是2，故答案为：2【点拨】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关

8、系解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用【考点二】切线的证明【例2】（2023上贵州六盘水九年级统考期中）如图，在中，延长到O，使，以O 为圆心，长为半径作交延长线于点D，连结（1）求扇形的面积（2）判断所在直线与的位置关系，并说明理由【答案】（1）；（2）所在直线与相切，见分析【分析】（1）求出，得出是等边三角形，求出，利用扇形的面积公式求得即可；（2）由等边三角形的性质得，进而求出，得出，即可证得是的切线解：（1）在中，是等边三角形（2）所在直线与相切理由：是等边三角形，即为的半径，所在直线与相切【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定扇形的面积，切线的判定

9、，证明是等边三角形，掌握切线的判定方法是解答本题的关键【举一反三】【变式1】（2010四川南充中考真题）如图，直线，与和分别相切于点和点点和点分别是和上的动点，沿和平移的半径为，下列结论错误的是（）AB若与相切，则C若，则与相切D和的距离为【答案】B【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断解：A、平移使点与重合，解直角三角形得，正确；B、当与圆相切时，在左侧以及，在，右侧时，或，错误；C、若，连接并延长交于点，则，故，故上的高为，即到的距离等于半径正确；D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确故选：B【点拨】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离

10、，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键【变式2】（2023上九年级课时练习）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于点，连接，有下列结论：；是的切线；其中正确结论的序号是 【答案】【分析】三角形的中位线定理，判断；圆周角定理和中点，得到是的中垂线，得到，判断；根据，得到，判断；等角的余角相等，判断解：为的中点，为的中点，为的中位线，故正确；为的直径，为的中点，为线段的中垂线，故正确；，又为的半径，是的切线；故正确；，故正确；综上：正确的是；故答案为：【点拨】本题考查三角形的中位线定理，中垂线的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键【考

11、点三】 切线的性质定理【例3】（2023上陕西西安九年级统考期中）如图，在平行四边形中，过A点作，且经过，三点，而的切线交的延长线于点，若，求的长【答案】1【分析】连接，则，由平行四边形的性质得，则，所以，由切线的性质得，则，所以，则，所以，则解：连接，则，四边形是平行四边形，是等边三角形，与相切于点，的长为1【点拨】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理【举一反三】【变式1】（2023上北京西城九年级北京铁路二中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，的圆心为点，半径为1若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最大值是（）A2BCD【答案】C【分析】本题考查了切

12、线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：由题意可得当与相切时，面积最大，然后连接，由切线的性质，根据勾股定理，可求得的长，易证得，根据相似三角形的对应边成比例，易求得的长，继而求得面积的最大值解：由图可知：当与相切时，面积最大，连接，则，的圆心为点，半径为1，即，故选：C【变式2】（2023上江西赣州九年级统考期中）已知抛物线，M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径作当与x轴相切时，点M的坐标为 【答案】或或【分析】本题考查切线的性质，抛物线的性质，解一元二次方程，根据当的半径是1，与x轴相切，则M的纵坐标是1或即可求解解：与x轴相切，M到x轴的距离为1，当时

13、，解得：，；当时，解得：，点M坐标为或；故答案为：或或【考点四】 切线性质定理与判定定理综合【例4】（2023广东深圳广东省深圳市盐田区外国语学校校考模拟预测）如图，内接于，是的直径，E是长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长【答案】（1）见分析；（2）3【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由各角之间的等量代换得出，利用切线的判定证明即可；（2）根据（1）可知，再由正切函数的定义得出，利用勾股定理求解即可解：（1）证明：是的直径，是的直径，即是半径，是的切线；（2）由（1）知，在和中，在中，解得（负值舍去），即线段的长为【点拨】题目主要考查切线的判定和性质，正切函数的定义，勾

14、股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键【举一反三】【变式1】（2023上河北张家口九年级张北县第三中学校考期中）下列说法正确的是（）A平分弦的直径垂直于弦B相等的圆心角所对的弧相等C经过圆的半径外端的直线是圆的切线D圆的切线垂直于经过切点的半径【答案】D【分析】根据圆的切线、圆心角和垂径定理进行判断即可解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦，是假命题，故本选项不符合题意；B、在等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，是假命题，故本选项不符合题意；C、经过圆的半径的外端的直线不一定是圆的切线，是假命题，故本选项不符合题意；D、圆的切线垂直于过切点的半径，是真命题，故本

15、选项符合题意；故选：D【点拨】本题考查了圆相关知识点，熟练掌握圆的切线、圆心角和垂径定理是解题的关键【变式2】（2023下黑龙江绥化九年级校考阶段练习）如图，为的直径，与相切于点，弦若，则 【答案】/【分析】利用切线的性质得，利用直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质得到，即可得到答案解：与相切于点，故答案为：【点拨】本题考查了切线的性质，平行线的性质，锐角三角函数，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，并且熟练运用两直线平行，同位角相等是解题的关键【考点五】切线长定理【例5】（2023上北京西城九年级北京师大附中校考期中）如图，在，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，（1）求证：

16、；（2）连接，若，求的半径【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理（1）先证明为的切线，则根据切线长定理得到平分，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理可得到的度数；（2）设的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半径解：（1），为的切线，为的切线， 平分，即，；（2）如图，设的半径为r，由（1）知，在中，在中，解得，即的半径为【举一反三】【变式1】（2023上山东聊城九年级统考期中）如图，为半圆的直径，分别切于，两点，切于点，连接，下结论错误的是（）ABCD【答案】D【分

17、析】此题考查了圆的切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的面积计算等知识与方法，连接，由分别切于两点，切于点，根据切线长定理得 ，则 ，可判断 正确；由是的直径得，则，于是有 ，由切线长定理 得，则 ，因此 ，可判断正确；根据“”可分别证明，则 ，可判断正确； 先由， ，证明，根据相似三角形的对应边成比例得到，故错误；正确作出所需要的辅助线是解题的关键解：如图，连接， 分别切于两点，切于点，故正确；是的直径， ， ， ，故正确；是的半径，在和中，在和中， ， ， 故正确；， ，故错误；故选：【变式2】（2023上河南濮阳九年级校考期中）如图，切线、分别与相

18、切于点、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为，则线段的长为 【答案】【分析】本题考查的是切线长定理，通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于是解题的关键解：都是的切线，同理，的周长，；故答案为：3【考点六】三角形的内切圆【例6】（2023上江苏宿迁九年级统考期中）如图，已知是的平分线，是射线上一点，动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动连接，交于点经过三点作圆，交于点，连接设运动时间为，其中（1）求的值；（2）当时，求出内切圆的半径；（3）求四边形的面积【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据题意分别

19、表示出，用含的式子表示出来相加即可求解；（2）如图，作内切圆，切点分别为，连接，求解，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论；（3）根据圆周角定理可得，是等腰直角三角形进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解（1）解：由题意可得，（2）当时，如图，作内切圆，切点分别为，连接，四边形是正方形，即内切圆的半径为1（3），是圆的直径，是等腰直角三角形，在中，四边形的面积，四边形的面积为【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，求解三角形的内切圆的半径，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用圆的基础知识与切线长定理求解是解本题的关键【举一反三】【变式1】（2023上河北

20、邢台九年级校联考期中）已知是的内心，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（）ABCD【答案】C【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键解：连接，是的内心，点又是的外心，故选：【变式2】（2023上河北廊坊九年级统考期中）如图，点D是的内心，的延长线和的外接圆相交于点E，连接，且；（1）的度数为 ；（2）的度数为 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，三角形内心的定义，圆的基本性质；掌握性质，理解三角

21、形内心的定义：“三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心”是解题的关键解：由图得：四边形有外接圆，；点D是的内心，平分，；故答案：，【考点七】圆的综合题【例7】（2023广东湛江统考一模）如图，已知四边形是矩形，把沿对角线翻折得到，交于点，是的外接圆（1）利用尺规作出的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：；（3）若，试判断与直线的位置关系，并说明理由【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）直线是的切线，理由见分析【分析】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，求出是解本题的关键（1）先作出，的垂直平分线，找出圆心

22、，即可得出结论；（2）先判断出，即可得出结论；（3）先求出，进而依次求出，再判断出，进而求出，判断出是等边三角形，即可得出结论（1）解：如图，为所求作的图形（2）证明：四边形是矩形，由折叠知，（3）解：直线是的切线，如图，连接，四边形是矩形，在中，由折叠知，由折叠知，由（2）知，是等边三角形，点在上，直线是的切线【举一反三】【变式1】（2023上江苏苏州九年级校考阶段练习）如图，点A，B在上，P为外一点，且，连接OP，OP与相交于点C，与AB交于点D，连接，有下列结论：；C为中点；四边形为菱形；O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有（）个A2B3C4D5【答案】C【分析】由P为外一点，且，可

23、得，然后依据可证明，可判断；进而可证明，可判断，根据，得到，可判断，要使得四边形为菱形，即必须成立，即必须成立，即必须成立，显然，只有当时，这些前提才成立，故可判断，由直角三角形的性质可得到，即，可判断解：证明：，在和中，故一定成立；，在和中，即，故一定成立；，故一定成立；要使得四边形为菱形，即，即，显然，只有当时，这些前提才成立，故不一定成立；， O，A，B，P四点共圆，故一定成立；一定成立的有：，故选：C【点拨】此题重点考查圆的有关概念和性质、切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、四点共圆等知识，由切线长定理证明，平分是解题的关键【变式2】（2023上江苏盐城九年

24、级统考期中）如图，直角坐标系中，点在第一象限，半径为的经过原点，与轴交于点，的度数为，点是平面内一动点，且，求线段的最大值为 【答案】【分析】当点B在x轴的上方时，如图，以为边，在上方作等边，以N为圆心，为半径作，连接并延长交于K，反向延长线交于，连接，利用等边三角形的性质、圆周角定理判断点B在上，当点B运动到时，最大，利用线段垂直平分线的判定证明N、M都在的垂直平分线上，利用等腰三角形的性质，含的直角三角形性质和勾股定理等求出，等，即可求解；当点B在x轴的下方时，同理求解即可解：当点B在x轴的上方时，如图，以为边，在上方作等边，以N为圆心，为半径作，连接并延长交于K，反向延长线交于，连接，又，点B在上，的度数为，N、M都在的垂直平分线上，当点B运动到时，取最大值，最大值为；当点B在x轴的下方时，如图，以为边，在上方作等边，以为圆心，为半径作，连接并交于，反向延长线交于，连接，同理可求，当点B运动到时，取最大值，最大值为；综上，的最大值为故答案为：【点拨】本题考查了圆的综合应用，涉及到圆周角定理，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出点B在或上运动是解题的关键