专题2.2 基本不等式（知识解读）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读·专题训练》（人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题2.2 基本不等式（知识解读）【学习目标】1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。【知识点梳理】考点1 基本不等式的概念1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式： ；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平

2、均数不小于它们的几何平均数.2、由公式和引申出的常用结论（同号）；（异号）；或考点2 基本不等式的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2、法二：代数法，当时，；当时，.所以

3、，（当且仅当时取等号“=”）.考点3 基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.考点4 利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.一正：各项均为正数；二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.（2）设x，y为正实数，若xyp(积p为定值),则当x=y时，和xy有最小值

4、,且这个值为2.【解题思路】【典例分析】【考点1 基本不等式求最值】【典例1】（2022春浙江月考）已知x，y0且x+2yxy，则x+y的最小值为（）A3+B4C2D6【变式1-1】（2021六安市裕安区新安中学）已知，则的最大值为（ ）ABCD【变式1-2】已知x，yR，且x4y1，则xy的最大值为_【变式1-3】（2021浙江高一期末）已知x0，y0，且x+2y2，则xy（ ）A有最大值为1B有最小值为1C有最大值为D有最小值为【典例2】（1）（2021北京高一其他模拟）若，则函数的最小值为_（2）（2021云南文山壮族苗族自治州）已知，函数的最小值为（ ）A4B7C2D8【变式2-1】（

5、2022春青羊区校级月考）若x2，则函数的最小值为（）A4B6CD【变式2-2】已知，则的最大值为_【典例3】（1）（2021上海市大同中学）设、为正数，且，则的最小值为_.（2）（2021河北石家庄市）已知，且，则的最小值是（ ）A4B5C6D9【变式3-2】已知，求的最小值；【变式3-3】已知正数a，b满足，求的最小值【变式3-4】（2022春开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q3，则的最小值为（）ABCD【典例4】（2021永丰县永丰中学高一期末）函数（）的最小值为（ ）ABCD【变式4-1】（2021春湖南期中）函数f（x）（x1）的最小值为（）A1B2C2D3【变式4-2】（2

6、022春湖北月考）已知ab，且ab8，则的最小值是（）A6B8C14D16【考点2利用基本不等式求参数】【典例5】（1）（2021北京东直门中学）若对任意的都有，则的取值范围是（ ）ABCD（2）（2021浙江高一期末），且，不等式恒成立，则的范围为_.【变式5-1】（2021广东深圳市）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A13B14C15D16【变式5-2】（2021江苏苏州市）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【变式5-3】（2021临澧县第一中学）已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（ ）A2B3C4D6【考点3 利用基本不等式比较大小】【典例6】2021全国高

7、一课时练习）已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.【变式6-1】（2020秋安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y1（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围【变式6-2】（2021秋雨花区校级月考）解答下列各题（1）设a0，b0，a+b1，求证：；（2）设abc且恒成立，求实数m的取值范围【考点4 对基本不等式的理解】【典例7】若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A B C D【变式7-1】设，下列不等式正确的是（ ）A B C D【变式7-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【变式7-3】已

8、知且，下列各式中最大的是（ ）A B C D【变式7-4】（多选）设a0，b0，则（ ）A B C D【考点5 生活实际中的基本不等式】【典例8】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【变式8-1】（2021安徽淮南市高一期末）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为 （ ）A1120元B1280元C1760元D1960元【变式8-1】（2021秋信阳校级期末）如图，某

9、人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园设菜园的长为xm，宽为ym（）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值【变式8-2】2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m0)满足 x= 4. 已知生产该产品的固定成

10、本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？专题2.2 基本不等式（知识解读）【学习目标】1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。【知识点梳理】考点1 基本不等式的概念1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.常见

11、变形公式： ；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式和引申出的常用结论（同号）；（异号）；或考点2 基本不等式的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方

12、形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2、法二：代数法，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.考点3 基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.考点4 利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.一正：各项均为正数；二定：含变数的各项的和或积必须

13、有一个为定值；三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.（2）设x，y为正实数，若xyp(积p为定值),则当x=y时，和xy有最小值,且这个值为2.【解题思路】【典例分析】【考点1 基本不等式求最值】【典例1】（2022春浙江月考）已知x，y0且x+2yxy，则x+y的最小值为（）A3+B4C2D6【答案】A【解答】解：x0，y0，且x+2yxy，+1，x+y（x+y）（+）3+3+23+2，当且仅当且+1，即y1+，x+2时取等号，故选：A【变式1-1】（2021六安市裕安区新安中

14、学）已知，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解答】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，整理得，即.所以的最大值为.故选：D.【变式1-2】已知x，yR，且x4y1，则xy的最大值为_【答案】【解答】，当且仅当时取等号【变式1-3】（2021浙江高一期末）已知x0，y0，且x+2y2，则xy（ ）A有最大值为1B有最小值为1C有最大值为D有最小值为【答案】C【解答】，且，（1），当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：【典例2】（1）（2021北京高一其他模拟）若，则函数的最小值为_（2）（2021云南文山壮族苗族自治州）已知，函数的最小值为（ ）A4B7C2D8【答案

15、】（1）5（2）B【解答】（1）因为，则函数，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值5故答案为：5.（2）因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为7.故选：B【变式2-1】（2022春青羊区校级月考）若x2，则函数的最小值为（）A4B6CD【答案】B【解答】解：若x2，则x20，则函数，当且仅当x4时，等号成立；故选：B【变式2-2】已知，则的最大值为_【答案】（1）；（2）1【解答】（1），当且仅当，即时，取等号（2）因为，所以，则,当且仅当，即时，取等号故的最大值为1【典例3】（1）（2021上海市大同中学）设、为正数，且，则的最小值为_.（2）（2021河北石家庄市）已知，且，则的

16、最小值是（ ）A4B5C6D9【答案】（1）4（2）B【解答】（1）因为、为正数，且，所以,当且仅当a=b=1时取等号即的最小值为4.故答案为：4（2）由，得，所以，当且仅当，取等号.故选：B.【变式3-2】已知，求的最小值；【答案】2【解答】，当且仅当时，等号成立当时，的最小值为【变式3-3】已知正数a，b满足，求的最小值【答案】【解答】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值.【变式3-4】（2022春开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q3，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解答】解：因为p，q为正实数且p+q3，所以p+2+q+16，则（）（p+2+q+1）（2+）（

17、2+2），当且仅当且p+q3，即q2，p1时取等号故选：A【典例4】（2021永丰县永丰中学高一期末）函数（）的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值为，故选：B【变式4-1】（2021春湖南期中）函数f（x）（x1）的最小值为（）A1B2C2D3【答案】D【解答】解：x1，x10，f（x）x1+x1+x1+12+13，当且仅当x1，即x2时取等号，函数f（x）的最小值为3故选：D【变式4-2】（2022春湖北月考）已知ab，且ab8，则的最小值是（）A6B8C14D16【答案】A【解答】解：ab，ab0，ab8，则2ab+2226

18、，当且仅当ab，即ab4时等号成立，的最小值是6，故选：A【考点2利用基本不等式求参数】【典例5】（1）（2021北京东直门中学）若对任意的都有，则的取值范围是（ ）ABCD（2）（2021浙江高一期末），且，不等式恒成立，则的范围为_.【答案】（1）A（2）【解答】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，故选：A（2）解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，故答案为：【变式5-1】（2021广东深圳市）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A13B14C15D16【答案】D【解答】因为，所以，所以恒成立，只需因为，所以，当且仅当时，即时取等

19、号.所以.即的最大值为16.故选：D【变式5-2】（2021江苏苏州市）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解答】当时，当且仅当，即时等号成立，.故选：D.【变式5-3】（2021临澧县第一中学）已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（ ）A2B3C4D6【答案】A【解答】因为，恒成立，即所以，即，又，所以所以，所以，所以正实数的最小值为2故选：A【考点3 利用基本不等式比较大小】【典例6】2021全国高一课时练习）已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；（2

20、），当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.【变式6-1】（2020秋安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y1（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围【解答】（1）解：4x+4y1，所以 ，解得 ，当且仅当 取等号，xy 的最大值为 （2）解：，当且仅当 ， 取等号，a2+5a36，解得9a4即a的取值范围是9，4【变式6-2】（2021秋雨花区校级月考）解答下列各题（1）设a0，b0，a+b1，求证：；（2）设abc且恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）证明：a0，b0，a+b1，ab，0ab，（当且仅当时取等号）故8，即+8（2）ac，ac0，恒成立，m+恒

21、成立，即，又abc，ab0，bc0，则当且仅当bcab，即a+c2b时上式等号成立m4，m的取值范围是：（，4【考点4 对基本不等式的理解】【典例7】若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A B C D【答案】C【解答】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.【变式7-1】设，下列不等式正确的是（ ）A B C D【答案】D【解答】对于A，由均值不等式，当且仅当，即时取“”，A错误；对于B，所以，B错误；对于C，C错误；对于D，由，得，当且仅当时，取“”，D正确.故选：D【变式7-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（

22、4）.则不正确的不等式的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】C【解答】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为，所以（3）正确；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确故选：C【变式7-3】已知且，下列各式中最大的是（ ）A B C D【答案】D【解答】因为，所以，所以，由均值不等式可知，所以，由上可知：，所以四个式子中最大，故选：D.【变式7-4】（多选）设a0，b0，则（ ）A B C D【答案】ACD【解答】A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；B. 因为，正负不定，故错误；C. ，当且仅当，时，等号成立，故正确；D. ，故正确；故选：ACD【考点5 生活实际中

23、的基本不等式】【典例8】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m【解答】设每个区域的长为，宽为，由题意得，则彩带总长=，当且仅当，即且等号成立，所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.【变式8-1】（2021安徽淮南市高一期末）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为 （ ）A1120元B12

24、80元C1760元D1960元【答案】C【解答】容积是，深，底面积为，设长，则宽，无盖长方体水池有一个底面和四个侧面侧面面积为造价，当且仅当：，即时取等号故选：C【变式8-1】（2021秋信阳校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园设菜园的长为xm，宽为ym（）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值【解答】解：（）由已知可得xy72，而篱笆总长为x+2y又x+2y224，当且仅当x2y，即x12，y6时等号成立菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小（）由已知得x+2y30，又

25、（+）（x+2y）5+5+29，+，当且仅当xy，即x10，y10时等号成立+的最小值是【变式8-2】2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m0)满足 x= 4. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解答】（1）由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4则2022年的利润（2）当时，（当且仅当时等号成立） ，当且仅当万元时，（万元）故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元