专题20 图形的旋转（共30题）（教师版）（01期）-2023年中考数学真题分类训练.docx

1、专题 20 图形的旋转(30 题)一、单选题1(2023江苏无锡统考中考真题)如图，ABC 中，55BAC，将 ABC 逆时针旋转(055),得到ADEV，DE 交 AC 于 F当40 时，点 D 恰好落在 BC 上，此时AFE等于()A80B85C90D95【答案】B【分析】根据旋转可得BADBADE ，再结合旋转角40 即可求解【详解】解：由旋转性质可得：55BACDAE，ABAD，40，15DAF，70BADBADE ，85AFEDAFADE ，故选：B【点睛】本题考查了几何旋转问题，掌握旋转的性质是关键2(2023天津统考中考真题)如图，把 ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到ADE

2、V，点 B，C 的对应点分别是点 D，E，且点 E 在 BC 的延长线上，连接 BD，则下列结论一定正确的是()ACAEBED B ABAECACEADE DCEBD【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答【详解】根据题意，由旋转的性质，可得 ABAD，ACAE，BCDE，故 B 选项和 D 选项不符合题意，=ABCADE=ACEABCBAC行+?=ACEADEBAC行+?，故 C 选项不符合题意，=ACBAED行=ACBCAECEA行+?=AEDCEABED行+?=CAEBED行，故 A 选项符合题意，故选：A【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键3(2

3、023四川宜宾统考中考真题)如图，ABC 和 ADE 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形，把 ADE以 A 为中心顺时针旋转，点 M 为射线 BD、CE 的交点若3AB，1AD 以下结论：BDCE；BDCE；当点 E 在 BA的延长线上时，332MC；在旋转过程中，当线段MB 最短时，MBC 的面积为 12 其中正确结论有()A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】D【分析】证明 BADCAE即可判断，根据三角形的外角的性质得出，证明DCMECA得出3123MC，即可判断；以 A 为圆心，AD为半径画圆，当CE 在A的下方与A相切时，MB 的值最小，可得四边形 AEMD是正方形，在Rt M

4、BC 中22MCBCMB21，然后根据三角形的面积公式即可判断【详解】解：ABC 和 ADE 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形，,90BACA DAEABACDAE ，BADCAE，BADCAE，ABDACE，BDCE，故正确；设ABDACE，45DBC,454590EMBDBCBCMDBCBCAACE ，BDCE，故正确；当点 E 在 BA的延长线上时，如图所示DCMECA，90DMCEAC ，DCMECA MCCDACEC3AB，1AD 3 1CDACAD，222CEAEAC3123MC332MC，故正确；如图所示，以 A 为圆心，AD为半径画圆，90BMC，当CE 在A的下方与A相

5、切时，MB的值最小，90ADMDAEAEM 四边形 AEMD是矩形，又 AEAD，四边形 AEMD是正方形，1MDAE，222BDECACAE，2 1MBBDMD，在 Rt MBC 中，22MCBCMB PB 取得最小值时，222MCABACMB2332121 1112121222BMCSMB MC故正确，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键4(2023山东聊城统考中考真题)如图，已知等腰直角 ABC，90ACB，2AB，点 C 是矩形 ECGF与 ABC 的公共顶点，且1C

6、E ，3CG；点 D 是CB 延长线上一点，且2CD 连接 BG，DF，在矩形 ECGF绕点 C 按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段 BG 达到最长和最短时，线段 DF 对应的长度分别为 m 和 n，则 mn 的值为()A2B3C 10D 13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得1ACBC，当线段 BG 达到最长时，此时点G 在点C 的下方，且 B，C，G 三点共线，求得4BG，5DG ，根据勾股定理求得26DF，即26m，当线段 BG 达到最短时，此时点G 在点C 的上方，且 B，C，G 三点共线，则2BG ，1DG ，根据勾股定理求得2DF，即2n，即可求得13mn【详解】ABC 为

7、等腰直角三角形，2AB，2sin 45212ACBCAB ，当线段 BG 达到最长时，此时点G 在点C 的下方，且 B，C，G 三点共线，如图：则4BGBCCG，5DGDBBG，在 RtDGF中，22225126DFDGGF，即26m，当线段 BG 达到最短时，此时点G 在点C 的上方，且 B，C，G 三点共线，如图：则2BGCGBC，1DGBGDB，在 RtDGF中，2222112DFDGGF，即2n，故26132mn，故选：D【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段 BG 最长和最短时的位置是解题的关键二、填空题5(2023江苏连云港统考中考真题)以正五边形 ABCDE

8、 的顶点 C 为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形 A B CD E 的顶点 D落在直线 BC 上，则正五边 ABCDE 旋转的度数至少为_【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到DCF的度数，进而得出旋转的角度【详解】解：五边形 ABCDE 是正五边形，53 0726DCF ，新五边形 A B CD E 的顶点 D落在直线 BC 上，则旋转的最小角度是72，故答案为：72【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用6(2023湖南张家界统考中考真题)如图，AO 为BAC的平分线，且50BAC，将四边形 ABOC 绕点A逆时针方向旋转后，得到

9、四边形AB O C ，且100OAC，则四边形 ABOC 旋转的角度是_【答案】75【分析】根据角平分线的性质可得25BAOOAC，根据旋转的性质可得50BACB AC，25B AOO AC，求得75OAO，即可求得旋转的角度【详解】AO 为BAC的平分线，50BAC，25BAOOAC，将四边形 ABOC 绕点 A 逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，50BACB AC，25B AOO AC，1002575OAOOACO AC ，故答案为：75【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键7(2023湖南常德统考中考真题)如图 1，在RtABC中，90ABC

10、，8AB，6BC，D 是 AB 上一点，且2AD，过点 D 作 DEBC交 AC 于 E，将ADEV绕 A 点顺时针旋转到图 2 的位置则图 2 中 BDCE 的值为_【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到2210ACABBC，然后证明出ADEABC，得到 ADAEABAC，进而得到 ADABAEAC，然后证明出 ABDACE，利用相似三角形的性质求解即可【详解】在RtABC中，90ABC，8AB，6BC，2210ACABBC DEBC90ADEABC，AEDACB ADEABC ADAEABAC ADABAEACBACDAE BACCADDAECAD BADCAE ABDACE84105B

11、DABCDAC故答案为：45【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理8(2023江苏无锡统考中考真题)已知曲线12CC、分别是函数2(0),(0,0)kyxykxxx 的图像，边长为6的正 ABC 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，顶点 B、C 在 x 轴上(B 在C 的左侧)，现将 ABC 绕原点O 顺时针旋转，当点 B 在曲线1C 上时，点 A 恰好在曲线2C 上，则k 的值为_【答案】6【分析】画出变换后的图像即可(画 AOB 即可)，当点 A 在 y 轴上，点 B、C 在 x 轴上时，根据 ABC 为等边三角形且 AOBC，可得13OBOA

12、，过点 A、B 分别作 x 轴垂线构造相似，则 BFOOEA，根据相似三角形的性质得出3AOES，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解【详解】当点 A 在 y 轴上，点 B、C 在 x 轴上时，连接 AO，ABC 为等边三角形且 AOBC，则30BAO，tantan30BAO 33OBOA，如图所示，过点,A B 分别作 x 轴的垂线，交 x 轴分别于点,E F，AOBO，90BFOAEOAOB ，90BOFAOEEAO，BFOOEA，213BFOAOESOBSOA，212BFOS，3AOES，6k【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线

13、构造相似三角形是解题关键9(2023辽宁统考中考真题)如图，线段8AB，点C 是线段 AB 上的动点，将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转120 得到线段 BD，连接CD，在 AB 的上方作 Rt DCE，使90,30DCEE，点 F 为 DE 的中点，连接 AF，当 AF 最小时，BCD的面积为_【答案】3【分析】连接CFBF，BF，CD 交于点 P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得 BF 垂直平分CF，60ABF为定角，可得点 F 在射线 BF 上运动，当 AFBF时，AF 最小，由含 30 度角直角三角形的性质即可求解【详解】解：连接CFBF，BF，CD 交于点 P，如图，90DC

14、E，点 F 为 DE 的中点，FCFD，30E，60FDC,FCD 是等边三角形，60DFCFCD；线段 BC 绕点 B 顺时针旋转120 得到线段 BD，BCBD，FCFD，BF 垂直平分CF，60ABF，点 F 在射线 BF 上运动，当 AFBF时，AF 最小，此时9030FABABF，142BFAB；1302BFCDFC，90FCBBFCABF，122BCBF，112PBBC，由勾股定理得223PCBCPB，22 3CDPC，112 3 1322BCDSCD PB；故答案为：3【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含 30 度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾

15、股定理，旋转的性质，确定点 F 的运动路径是关键与难点10(2023江西统考中考真题)如图，在ABCDY中，602BBCAB，将 AB 绕点 A 逆时针旋转角(0360)得到 AP，连接 PC，PD当 PCD 为直角三角形时，旋转角 的度数为_【答案】90或 270或180【分析】连接 AC，根据已知条件可得90BAC，进而分类讨论即可求解【详解】解：连接 AC，取 BC 的中点 E，连接 AE，如图所示，在ABCDY中，602BBCAB，12BECEBCAB，ABE 是等边三角形，60BAEAEB，AEBE，AEEC1302EACECAAEB ，90BAC ACCD，如图所示，当点 P 在

16、AC 上时，此时90BAPBAC，则旋转角 的度数为90，当点 P 在CA 的延长线上时，如图所示，则36090270 当 P 在 BA的延长线上时，则旋转角 的度数为180，如图所示，PAPBCD，PBCD，四边形 PACD 是平行四边形，ACAB四边形 PACD 是矩形，90PDC即PDC是直角三角形，综上所述，旋转角 的度数为90或270或180故答案为：90或270或180【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键11(2023上海统考中考真题)如图，在 ABC 中，35C，将 ABC 绕着点 A 旋转

17、(0180)，旋转后的点 B 落在 BC 上，点 B 的对应点为 D，连接 ADAD，是BAC的角平分线，则 _【答案】1103【分析】如图，ABAD，BAD，根据角平分线的定义可得CADBAD，根据三角形的外角性质可得35ADB，即得35BADB，然后根据三角形的内角和定理求解即可【详解】解：如图，根据题意可得：ABAD，BAD，AD是BAC的角平分线，CADBAD，35ADBCCAD，ABAD，35BADB，则在 ABC 中，180CCABB，35235180，解得：1103；故答案为：1103【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌

18、握相关图形的性质是解题的关键12(2023湖南郴州统考中考真题)如图，在RtABC中，90BAC，3cmAB，=60B将 ABC 绕点 A 逆时针旋转，得到AB C，若点 B 的对应点 B恰好落在线段 BC 上，则点C 的运动路径长是_cm(结果用含 的式子表示)【答案】3【分析】由于 AC 旋转到 AC，故 C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可【详解】以 A 为圆心作圆弧CC，如图所示在直角 ABC 中，=60B，则30C，则22 36 cmBCAB 2222633 3 cmACBCAB由旋转性质可知，ABAB，又=60B，ABB是等边三角形60BAB由旋转性质知，60C

19、AC 故弧CC的长度为：6023 33cm3603AC；故答案为：3【点睛】本题考查了含30角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确 C 点的运动轨迹13(2023内蒙古统考中考真题)如图，在RtABC中，90,3,1ACBACBC，将 ABC 绕点 A 逆时针方向旋转90，得到AB C 连接 BB，交 AC 于点 D，则 ADDC 的值为_【答案】5【分析】过点 D 作 DFAB于点 F，利用勾股定理求得10AB=，根据旋转的性质可证 ABB、DFB是等腰直角三角形，可得 DFBF，再由1122ADBSBCADDFAB，得=10ADDF，证明AFDACB，

20、可得 DFAFBCAC，即3AFDF，再由=10AFDF，求得10=4DF，从而求得52AD，12CD，即可求解【详解】解：过点 D 作 DFAB于点 F，90ACB，3AC，1BC ，223110AB，将 ABC 绕点 A 逆时针方向旋转90得到AB C，=10ABAB，90BAB，ABB是等腰直角三角形，45ABB，又 DFAB，45FDB，DFB是等腰直角三角形，DFBF，1122ADBSBCADDFAB，即=10ADDF，90CAFD，CABFAD，AFDACB，DFAFBCAC，即3AFDF，又=10AFDF，10=4DF，105=10=42AD，51=3=22CD，52=512AD

21、CD，故答案为：5【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键14(2023黑龙江绥化统考中考真题)已知等腰 ABC，120A，2AB 现将 ABC 以点 B 为旋转中心旋转 45，得到A BC，延长C A 交直线 BC 于点 D则 A D的长度为_【答案】42 342 3或【分析】根据题意，先求得2 3BC，当 ABC 以点 B 为旋转中心逆时针旋转45，过点 B 作 BEA B交 A D于点 E，当 ABC 以点 B 为旋转中心顺时针旋转45，过点 D 作 DFBC交 BC于点 F，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转

22、的性质即可求解【详解】解：如图所示，过点 A 作 AMBC于点 M，等腰 ABC，120BAC，2AB 30ABCACB ，112AMAB，223BMCMABAM,2 3BC，如图所示，当 ABC 以点 B 为旋转中心逆时针旋转45，过点 B 作 BEA B交 A D于点 E，120BAC，60DA B，30A EB，在 Rt A BE中，24A EA B，222 3BEA EA B，等腰 ABC，120BAC，2AB 30ABCACB ，ABC 以点 B 为旋转中心逆时针旋转45，45ABA，18090453015DBE，1804530105A BD 在 A BD中，180180601051

23、5DDA BA BD,DEBD，2 3EBED，42 3A DA EDE，如图所示，当 ABC 以点 B 为旋转中心顺时针旋转45，过点 D 作 DFBC交 BC于点 F，在BFD中，45BDFCBC，DFBF在 Rt DC F中，30C33DFFC32 3BCBFBF33DFBF262 3DCDF 62 3242 3A DC DA C，综上所述，A D的长度为42 3或42 3，故答案为：42 3或42 3【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键15(2023浙江嘉兴统考中考真题)一副三角板 ABC 和 DEF 中，9

24、0304512CDBEBCEF ，将它们叠合在一起，边 BC 与 EF 重合，CD 与 AB 相交于点 G(如图 1)，此时线段CG 的长是_，现将 DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转(如图 2)，边 EF与 AB 相交于点 H，连结 DH，在旋转0到60的过程中，线段 DH 扫过的面积是_【答案】6 66 2；1218 318【分析】如图 1，过点 G 作GHBC于 H，根据含30直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出3BHGH，GHCH，然后由12BC 可求出GH 的长，进而可得线段CG 的长；如图 2，将 DEF 绕点C 顺时针旋转60得到11D E F，1FE 与 AB 交于

25、1G，连接1D D，1AD，22D E F 是 DEF 旋转0到60的过程中任意位置，作1DNCD于 N，过点 B 作1BMD D交1D D 的延长线于 M，首先证明1CDD 是等边三角形，点1D 在直线 AB 上，然后可得线段 DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积，求出 DN 和BM，然后根据线段 DH 扫过的面积111121D DBCD DD DBD D DCD DSSSSS弓形扇形列式计算即可【详解】解：如图 1，过点 G 作GHBC于 H，3045ABCDEFDFE，90GHBGHC，3BHGH，GHCH，312BCBHCHGHGH，6 36GH ，226

26、 366 66 2CGGH；如图 2，将 DEF 绕点 C 顺时针旋转60得到11D E F，1FE 与 AB 交于1G，连接1D D，由旋转的性质得：1160E CBDCD，1CDCD，1CDD 是等边三角形，30ABC，190CG B，112CGBC，1CEBC，1112CGCE，即 AB 垂直平分1CE，11CD E 是等腰直角三角形，点1D 在直线 AB 上，连接1AD，22D E F 是 DEF 旋转0到60的过程中任意位置，则线段 DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积，12BCEF，26 22DCDBBC，116 2D CD D，作1DNCD于 N，则

27、13 2NDNC，2222116 23 23 6DND DND，过点 B 作1BMD D交1D D 的延长线于 M，则90M，160D DC，90CDB，118030BDMD DCCDB，13 22BMBD，线段 DH 扫过的面积112D DBD D DSS弓形，111CD DD DBCD DSSS扇形，2606 2116 23 66 23 236022，1218 318，故答案为：6 66 2，1218 318【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点1D 在直线 AB 上是

28、本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键三、解答题16(2023北京统考中考真题)在 ABC 中、045BC ，AMBC于点 M，D 是线段 MC 上的动点(不与点 M，C 重合)，将线段 DM 绕点 D 顺时针旋转 2 得到线段 DE(1)如图 1，当点 E 在线段 AC 上时，求证：D 是 MC 的中点；(2)如图 2，若在线段 BM 上存在点 F(不与点 B，M 重合)满足 DFDC，连接 AE，EF，直接写出AEF的大小，并证明【答案】(1)见解析(2)90AEF，证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得 DMDE，2MDE，利用三角形外角的性质求出CDEC，可得DEDC，等量代换得到

29、 DMDC即可；(2)延长 FE到 H 使 FEEH，连接CH，AH，可得 DE 是 FCHV的中位线，然后求出BACH，设DMDEm，CDn，求出2BFmCH，证明SASABFACH，得到 AFAH，再根据等腰三角形三线合一证明 AEFH即可【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DMDE，2MDE，C，DDECM EC，CDEC，DEDC，DMDC，即 D 是 MC 的中点；(2)90AEF；证明：如图 2，延长 FE到 H 使 FEEH，连接CH，AH，DFDC，DE 是 FCHV的中位线，DECH，2CHDE，由旋转的性质得：DMDE，2MDE，2FCH，BC，ACH，ABC 是等腰三角形

30、，BACH，ABAC，设 DMDEm，CDn，则2CHm，CMmn，DFCDn，FMDFDMnm，AMBC，BMCMmn，2BFBMFMmnnmm，CHBF，在ABF和 ACH 中，ABACBACHBFCH，SASABFACH，AFAH，FEEH，AEFH，即90AEF【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键17(2023四川自贡统考中考真题)如图 1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N 分别是斜边DE，AB 的中点，2,4DEAB(1)将 CDE 绕顶点C

31、 旋转一周，请直接写出点 M，N 距离的最大值和最小值；(2)将 CDE 绕顶点C 逆时针旋转120(如图 2)，求 MN 的长【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；(2)过点 N 作 NPMC，交 MC 的延长线于点 P，根据旋转的性质求得120MCN，进而得出60NCP，进而可得1CP ，勾股定理解Rt,RtNCPMCP，即可求解【详解】(1)解：依题意，112CMDE，122CNAB，当 M 在 NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为1 23CMCN，当 M 在线段

32、CN 上时，,M N 的距离最小，最小值为2 1 1CNCN ；(2)解：如图所示，过点 N 作 NPMC，交 MC 的延长线于点 P，CDE 绕顶点C 逆时针旋转120，120BCE，45BCNECM ，120MCNBCMECMBCE ，60NCP，30CNP，112CPCN，在 Rt CNP 中，223NPNCCP，在 RtMNP中，1 12MPMCCP ，22347MNNPMP【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键18(2023四川达州统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的

33、边长均为 1，ABC 的顶点均在小正方形的格点上(1)将 ABC 向下平移 3 个单位长度得到111A B C，画出111A B C；(2)将 ABC 绕点C 顺时针旋转 90 度得到222A B C，画出222A B C；(3)在(2)的运动过程中请计算出 ABC 扫过的面积【答案】(1)见解析(2)见解析(3)552【分析】(1)先作出点 A、B、C 平移后的对应点1A，1B、1C，然后顺次连接即可；(2)先作出点 A、B 绕点C 顺时针旋转 90 度的对应点2A，2B，然后顺次连接即可；(3)证明 ABC 为等腰直角三角形，求出1522ABCSABBC，22901053602CAASpp

34、扇形，根据旋转过程中 ABC 扫过的面积等于 ABC 的面积加扇形1CAA 的面积即可得出答案【详解】(1)解：作出点 A、B、C 平移后的对应点1A，1B、1C，顺次连接，则111A B C即为所求，如图所示：(2)解：作出点 A、B 绕点C 顺时针旋转 90 度的对应点2A，2B，顺次连接，则222A B C即为所求，如图所示：(3)解：22125AB，223110AC，22125BC，ABBC，222551010，222ABBCAC，ABC 为等腰直角三角形，1522ABCSABBC，根据旋转可知，290ACA，22901053602CAASpp扇形，在旋转过程中 ABC 扫过的面积为2

35、552ABCCAASSSp扇形【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点19(2023辽宁统考中考真题)在 Rt ABC中，90ACB，CACB，点O 为 AB 的中点，点 D 在直线 AB上(不与点,A B 重合)，连接CD，线段CD绕点C 逆时针旋转90，得到线段CE，过点 B 作直线lBC，过点 E 作 EFl，垂足为点 F，直线 EF 交直线OC 于点G(1)如图，当点 D与点O 重合时，请直接写出线段 AD与线段 EF 的数量关系；(2)如图，当点 D在线段 AB 上时，求证：2CGBDBC；(3)连接 DE，CDE 的面

36、积记为1S，ABC 的面积记为2S，当:1:3EF BC 时，请直接写出12SS 的值【答案】(1)22EFAD(2)见解析(3)59 或179【分析】(1)可先证 BCDBCE，得到 BDBE，根据锐角三角函数，可得到 BE 和 EF 的数量关系，进而得到线段 AD与线段 EF 的数量关系(2)可先证ACDGEC，得到 DACG，进而得到CGBDDABDAB，问题即可得证(3)分两种情况：点 D 在线段 AB 上，过点C 作CN 垂直于 FG，交 FG 于点 N，过点 E 作 EM 垂直于 BC，交 BC 于点 M，设 EFa，利用勾股定理，可用含 a 的代数式表示 EC，根据三角形面积公式

37、，即可得到答案点 D 在线段 BA的延长线上，过点 E 作 EJ 垂直于 BC，交 BC 延长线于点 J,令 EF 交 AC 于点 I,连接BE,设 EFb，可证 CDACEB，进一步证得 EBJ 是等腰直角三角形，EJBJ=，利用勾股定理，可用含b 的代数式表示 EC，根据三角形面积公式，即可得到答案【详解】(1)解：22EFAD理由如下：如图，连接 BE 根据图形旋转的性质可知CDCE由题意可知，ABC 为等腰直角三角形，CD 为等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的中线，45BCD，ADBD又90DCE，45BCE 在BCD和 BCE 中，CDCEBCDBCEBCBC BCDBCE=B

38、D BE，45CBECBD 45EBF2sin2EFBEEBFBE22EFAD(2)解：CO 为等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的中线，AOBO90ACDDCBBCEDCB ，ACDBCEBCl，EFl，BCEF45GOCB ，GECBCE GA ，ACDGEC 在 ACD和 GEC 中，ACDGECAGCDCE ACDGECDACG2CGBDDABDABBC(3)解：当点 D 在线段 AB 延长线上时，不满足条件:1:3EF BC，故分两种情况：点 D 在线段 AB 上，如图，过点C 作CN 垂直于 FG，交 FG 于点 N；过点 E 作 EM 垂直于 BC，交 BC 于点 M 设 E

39、Fa，则3BCACa根据题意可知，四边形 BFEM 和CMEN 为矩形，GCN 为等腰直角三角形EFBMa，2CMNEa由(2)证明可知ACDGEC，3ACGEaNGNCaNCEMa根据勾股定理可知222225CEEMCMaaa，CDE 的面积1S 与 ABC 的面积2S 之比221222115522119322CEaSSBCa点 D 在线段 BA的延长线上，过点 E 作 EJ 垂直于 BC，交 BC 延长线于点 J,令 EF 交 AC 于点 I,连接 BE,由题意知，四边形 FBJE，FBCI 是矩形，90DCEACB DCEACEACBACE 即DCAECB 又CDCE，CACB CDAC

40、EBDACEBC 而18018045135DACCAB?135EBC18045EBJEBC?EBJ 是等腰直角三角形，EJBJ=设 EFb，则3BCIFb=，EJBJCIb=4EIEFIFb=+=Rt CIE 中，2222(4)17CECIEIbbb=+=+=CDE 的面积1S 与 ABC 的面积2S 之比22122211171722119322CEbSSBCb【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键20(2023四川乐山统考中考真题)在学习完图形的旋转后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生

41、回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板 ABC 绕点 A 逆时针旋转 到达AB C 的位置，那么可以得到：ABAB，ACAC，BCB C；BACB AC，ABCAB C，ACBAC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学【问题解决】(1)上述问题情境中“()”处应填理由：_；(2)如图，小王将一个半径为 4cm，圆心角为60的扇形纸板 ABC 绕点O 逆时针旋转90 到达扇形纸板 A B C 的位置请在图中作出点O；如果=6cmBB，则在旋转过程中，点

42、B 经过的路径长为_；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题【答案】问题解决(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)见解析；3 2 cm2问题拓展：2883 cm33【分析】问题解决(1)根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)分别作 BB和 AA的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点 O；根据弧长公式求解即可；问题拓展，连接 PA，交 AC 于 M，连接 P

43、A，PD，AA，由旋转得30PA B ，4PAPA，在Rt PAM和 Rt A DM中求出 A M和 DM 的长，可以求出A DPB DPB A PSSS 阴影部分扇形，再证明 ADPA DP，即可求出最后结果【详解】解：【问题解决】(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)下图中，点 O 为所求连接OB，OB，扇形纸板 ABC 绕点O 逆时针旋转90到达扇形纸板 A B C 的位置，90BOB，OBOB,6cmBB，设cmOBOBx，2226xx，3 2cmOBOB，在旋转过程中，点 B 经过的路径长为以点O 为圆心，圆心角为90，OB 为半径的所对应的弧长，点 B 经过的路径长90

44、3 23 2cm1802；【问题拓展】解：连接 PA，交 AC 于 M，连接 PA，PD，AA如图所示1302PACBAC由旋转得30PA B ，4PAPA在 Rt PAM 中，sin4 sin302A MPMPAPAM 在 Rt A DM中，1302DA MB A C ，243coscos303A MA DDA M，1142332233DMA D11243 432233A DPSDM A P230 44 3603B A PS 扇形44333A DPB DPB A PSSS 阴影部分扇形，在ADP和A DP中，242 33333ADAMDMA D，又30PADPA D，PAPA，ADPADP又

45、PACB A PSS 扇形扇形，B DPCDPSS阴影部分阴影部分，24488=2233 cm3333B DPSS阴影部分阴影部分【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形21(2023浙江绍兴统考中考真题)在平行四边形 ABCD中(顶点,A B C D 按逆时针方向排列)，12,10,ABADB 为锐角，且4sin5B(1)如图 1，求 AB 边上的高CH 的长(2)P 是边 AB 上的一动点，点,C D 同时绕点 P 按逆时针方向旋转90得点,C D如图 2，当点C落在射

46、线CA 上时，求 BP的长当AC D 是直角三角形时，求 BP的长【答案】(1)8(2)347BP；6BP 或82【分析】(1)利用正弦的定义即可求得答案；(2)先证明PQCCHP，再证明AQCAHC，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；分三种情况讨论完成，第一种：C为直角顶点；第二种：A 为直角顶点；第三种，D为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案【详解】(1)在ABCDY中，10BCAD，在 Rt BCH 中，4sin1085CHBCB(2)如图 1，作CHBA于点 H，由(1)得，226BHBCCH，则1266AH，作C QBA交 BA延长线于点Q，则90CHPPQC，9

47、0C PQPC Q 90C PQCPH PC QCPH 由旋转知 PCPC，PQCCHP设 BPx，则8,6,4PQCHC QPHx QAPQPAx,C QAB CHAB，C QCH，AQCAHC，C QQACHHA，即 6486xx，347x，347BP 由旋转得,PCDPCD CDCD，CDC D ，又因为 ABCD，所以C DAB 情况一：当以C为直角顶点时，如图 2C DAB ，C落在线段 BA延长线上 PCPC，PCAB，由(1)知，8PC ，6BP 情况二：当以 A 为直角顶点时，如图 3设C D与射线 BA的交点为T，作CHAB于点 H PCPC，90CPHTPC，C DAT ，

48、90PC TTPC ，CPHPC T 又90,CHPPTCPCCP，CPHPC T，,8CTPH PTCH 设C TPHt，则6APt，2ATPTPAt90,CADCDAB ，ATDC TA，ATC TTDTA，2ATC T TD，2(2)12tt，化简得2420tt，解得22t，82BPBHHP情况三：当以 D为直角顶点时，点 P 落在 BA的延长线上，不符合题意综上所述，6BP 或82【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键22(2023四川南充统考中考真题)如图，正方形 ABCD中，点 M 在边 BC 上

49、，点 E 是 AM 的中点，连接 ED，EC(1)求证：EDEC；(2)将 BE 绕点 E 逆时针旋转，使点 B 的对应点 B落在 AC 上，连接 MB当点 M 在边 BC 上运动时(点 M 不与 B，C 重合)，判断 CMB 的形状，并说明理由(3)在(2)的条件下，已知1AB ，当45DEB 时，求 BM 的长【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)23BM【分析】(1)根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出 EADEBC，即可证得结论；(2)由旋转的性质得 EBEBAEEM，从而利用等腰三角形的性质推出90MB C，再结合正方形对角线的性质推出 B MB C，即可

50、证得结论；(3)结合已知信息推出 CMEAMC，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可【详解】(1)证：四边形 ABCD为正方形，90BADABC，ADBC，点 E 是 AM 的中点，EAEB，EABEBA，BADEABABCEBA，即：EADEBC，在 EAD与 EBC 中，EAEBEADEBCADBC SASEADEBC，EDEC；(2)解：CMB 为等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质得：EBEB，EBAEEM，EABEB A，EMBEB M，180EABEB AEMBEB M，90EB AEB M，即：90AB M，90MB C，9045B MCACB，45B MCAC

51、B，B MB C，CMB 为等腰直角三角形；(3)解：如图所示，延长 BE 交 AD于点 F，EABEBA，EABEB A，2MEBEAB，2MEBEAB，22290BEBMEBMEBEABEABBAB ，45DEB，45DEFB EFDEB ，EADEBC，AEDBEC，AEFBEM，45DEFCEM，45ACM，CEMACM，CMEAMC，CMEAMC，CMEMAMCM，2CMAM EM，12EMAM，2212CMAM，设 BMx，则1CMx，22221AMABBMx，221112xx，解得：123x，223x(不合题意，舍去)，23BM【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形

52、和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键23(2023江苏扬州统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作 ADB 和,90,30ADCADBADCBC ，设2AB【操作探究】如图 1，先将 ADB 和 ADC的边 AD、A D 重合，再将 ADC绕着点 A 按顺时针方向旋转，旋转角为0360 ，旋转过程中 ADB 保持不动，连接 BC(1)当60 时，BC _；当2 2BC 时，_；(2)当90 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(

53、3)如图 2，取 BC 的中点 F，将 ADC绕着点 A 旋转一周，点 F 的运动路径长为_【答案】(1)2；30 或 210(2)画图见解析；313(3)2【分析】(1)当60 时，A C与 AD重合，证明 ABC 为等边三角形，得出2BCAB；当2 2BC 时，根据勾股定理逆定理得出90BAC，两种情况讨论：当 AC 在 AB 下方时，当 AC 在 AB 上方时，分别画出图形，求出结果即可；(2)证明四边形 ADED 是正方形，得出1ADDEDE，求出3 1BEBDDE，得出33tan3 1133EFBEABD，求出33tan133DGADDAG，根据ABDBEFADGAGEFSSSS四边

54、形求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；(3)根据等腰三角形的性质，得出 AFBC，即90AFB，确定将 ADC绕着点 A 旋转一周，点 F 在以 AB为直径的圆上运动，求出圆的周长即可【详解】(1)解：ADB 和 ADC中90,30ADBA D CBC ，903060BADCA D ，当60 时，A C与 AD重合，如图所示：连接 BC，2ABAC，60BAC，ABC 为等边三角形，2BCAB；当2 2BC 时，2222222282 2ABACBC，当2 2BC 时，ABC 为直角三角形，90BAC，ABAC，当 AC 在 AB 下方时，如图所示：906030DACBACBAD ，此时603

55、030DADCADDACa ；当 AC 在 AB 上方时，如图所示：60DABD AC，此时210DABBACD ACa；综上分析可知，当2 2BC 时，30 或 210；故答案为：2；30 或 210(2)解：当90 时，如图所示：2ABAC，112ADADAB，22213BDCD，90DADa，又90ADBAD C，四边形 ADED 是矩形，ADAD，四边形 ADED 是正方形，1ADDEDE，3 1BEBDDE，33tan3 1133EFBEABD，906030DAGDADCAD ，33tan133DGADDAG，ABDBEFADGAGEFSSSS四边形1131313131122323

56、313，即两块三角板重叠部分图形的面积为313(3)解：ABAC，F 为 BC 的中点，AFBC，90AFB，将 ADC绕着点 A 旋转一周，点 F 在以 AB 为直径的圆上运动，2AB 点 F 运动的路径长为2 故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论24(2023湖南统考中考真题)(1)问题探究如图 1，在正方形 ABCD中，对角线 ACBD、相交于点 O在线段 AO 上任取一点 P(端点除外)，连接 PDPB、求证：PDPB；将线段 DP绕点

57、 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA的延长线上的点 Q 处当点 P 在线段 AO 上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；探究 AQ 与OP 的数量关系，并说明理由(2)迁移探究如图 2，将正方形 ABCD换成菱形 ABCD，且60ABC，其他条件不变试探究 AQ 与CP 的数量关系，并说明理由【答案】(1)见解析；不变化，90DPQ，理由见解析；2AQOP，理由见解析(2)AQCP，理由见解析【分析】(1)根据正方形的性质证明 DCPBCP，即可得到结论；作,PMAB PNAD，垂足分别为点 M、N，如图，可得 PMPN，证明四边形 AMPN 是矩形，推出90MPN，证明

58、RtRtHLDPNQPM，得出DPNQPM，进而可得结论；作 PEAO交 AB 于点 E，作 EFOB于点 F，如图，证明 AQBE，2BEEF即可得出结论；(2)先证明 PQPB，作PEBC 交 AB 于点 E，EGAC交 BC 于点 G，如图，则四边形 PEGC 是平行四边形，可得 EGPC，,APEBEG 都是等边三角形，进一步即可证得结论【详解】(1)证明：四边形 ABCD是正方形，,45CDCBDCABCA，CPCP，DCPBCP，PDPB；DPQ的大小不发生变化，90DPQ；证明：作,PMAB PNAD，垂足分别为点 M、N，如图，四边形 ABCD是正方形，45DACBAC ，90

59、DAB，四边形 AMPN 是矩形，PMPN，90MPN，,PDPQ PMPN，RtRtHLDPNQPM，DPNQPM，90QPNQPM，90QPNDPN，即90DPQ；2AQOP；证明：作 PEAO交 AB 于点 E，作 EFOB于点 F，如图，四边形 ABCD是正方形，45BAC，90AOB，45AEP，四边形OPEF 是矩形，45,PAEPEAEFOP，PAPE，PDPB，PDPQ，PQPB，作 PMAE于点 M，则,QMBM AMEM，AQBE，90,45EFBEBF ，2sin 45EFBEEF，2AQOP；(2)AQCP；证明：四边形 ABCD是菱形，60ABC，,ABBC ACBD

60、 DOBO，ABC 是等边三角形，AC 垂直平分 BD，60,BACPDPB，PDPQ，PQPB，作PEBC 交 AB 于点 E，EGAC交 BC 于点 G，如图，则四边形 PEGC 是平行四边形，60GEBBAC，60AEPABC，EGPC，,APEBEG都是等边三角形，BEEGPC，作 PMAB于点 M，则,QMMB AMEM，QABE，AQCP【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键25(2023湖北随州统考中考真题)1643

61、年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点 A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中处从“直角”和“等边”中选择填空，处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，处填写角度数，处填写该三角形的某个顶点)当 ABC 的三个内角均小于120时，如图 1，将APC绕，点 C 顺时针旋转60得到 A P C，连接 PP，由60PCP CPCP，可知PCP

62、为 三角形，故 PPPC，又 P APA ，故PAPBPCPAPBPPA B，由 可知，当 B，P，P，A 在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，如图 2，最小值为 A B，此时的 P 点为该三角形的“费马点”，且有APCBPCAPB ；已知当 ABC 有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点如图 3，若120BAC，则该三角形的“费马点”为 点(2)如图 4，在 ABC 中，三个内角均小于120，且3430ACBCACB，已知点 P 为 ABC 的“费马点”，求 PAPBPC的值；(3)如图 5，设村庄 A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知4km2 3km60ACB

63、CACB，现欲建一中转站 P 沿直线向 A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站 P 到村庄 A，B，C 的铺设成本分别为 a元/km，a 元/km，2a元/km，选取合适的 P 的位置，可以使总的铺设成本最低为_元(结果用含 a 的式子表示)【答案】(1)等边；两点之间线段最短；120；A(2)5(3)2 13a【分析】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；(2)根据(1)的方法将APC绕，点 C 顺时针旋转60得到 A P C，即可得出可知当 B，P，P，A 在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，最小值为 A B，在根据30ACB可证明90ACAA CPBCP

64、PCP ，由勾股定理求 A B 即可，(3)由总的铺设成本(2)a PAPBPC，通过将APC绕，点 C 顺时针旋转90得到 A P C，得到等腰直角 PP C，得到 2PCPP，即可得出当 B，P，P，A 在同一条直线上时，P APBPP 取最小值，即2PAPBPC取最小值为 A B，然后根据已知和旋转性质求出 A B 即可【详解】(1)解：60PCP CPCP，PCP为等边三角形；PPPC，60P PCPP C，又 P APA ，故 PAPBPCPAPBPPA B，由两点之间线段最短可知，当 B，P，P，A 在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，最小值为 A B，此时的 P 点为该三角形

65、的“费马点”，180BPCP PC，180A P CPP C ，120BPC，120A P C，又A P CAPC ，120APCAP C ，360120APBAPCBPC，120APCBPCAPB ；120BAC，BCAC，BCAB，BCABACAB，BCACABAC，三个顶点中，顶点 A 到另外两个顶点的距离和最小又已知当 ABC 有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点该三角形的“费马点”为点 A，故答案为：等边；两点之间线段最短；120；A(2)将APC绕，点 C 顺时针旋转60得到 A P C，连接 PP，由(1)可知当 B，P，P，A 在同一条直线上时，PAPB

66、PC取最小值，最小值为 A B，ACPA CP，30ACPBCPA CPBCPACB ，又60PCP90BCAA CPBCPPCP ，由旋转性质可知：3ACA C，2222435A BBCA C，PAPBPC最小值为5，(3)总的铺设成本2(2)PA aPB aPCaa PAPBPC当2PAPBPC最小时，总的铺设成本最低，将APC绕，点 C 顺时针旋转90得到 A P C，连接 PP，A B由旋转性质可知：P CPC，90PCPACA ，P APA ，4kmA CAC，2PPPC，2PAPBPCP APBPP，当 B，P，P，A 在同一条直线上时，P APBPP 取最小值，即2PAPBPC取

67、最小值为 A B，过点 A作 A HBC，垂足为 H，60ACB，90ACA，30A CH，12km2A HA C，2222422 3(km)HCACAH，2 32 3=4 3(km)BHBCCH，2222(4 3)22 13(km)A BAHBH2PAPBPC的最小值为2 13km总的铺设成本2(2)=2 13PA aPB aPCaa PAPBPCa(元)故答案为：2 13a【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键26(2023四川统考中考真题)如图 1，已

68、知线段 AB，AC，线段 AC 绕点 A 在直线 AB 上方旋转，连接 BC，以 BC 为边在 BC 上方作Rt BDC，且30DBC(1)若=90BDC，以 AB 为边在 AB 上方作RtBAE，且90AEB，30EBA，连接 DE，用等式表示线段 AC 与 DE 的数量关系是 ；(2)如图 2，在(1)的条件下，若 DEAB，4AB，2AC，求 BC 的长；(3)如图 3，若90BCD，4AB，2AC，当 AD的值最大时，求此时 tan CBA的值【答案】(1)233ACDE(2)2 7BC(3)35【分析】(1)在Rt BDC 中，30DBC，RtBAE，且90AEB，30EBA，可得A

69、BECBD，根据相似三角形的性质得出 ABBEBCBD，DBECBA，进而证明ABCEBD，根据相似三角形的性质即可求解；(2)延长 DE 交 AB 于点 F，如图所示，在 Rt AEF 中，求得,EF AF，进而求得 BF 的长，根据(1)的结论，得出3DE，在Rt BFD中，勾股定理求得 BD，进而根据ABCEBD，即可求解(3)如图所示，以 AB 为边在 AB 上方作RtBAE，且90EAB，30EBA，连接 BE，EA，,ED EC，同(1)可得 BDEBCA，进而得出 D 在以 E 为圆心，4 33为半径的圆上运动，当点,A E D 三点共线时，AD的值最大，进而求得2 7cos7B

70、DA，21sin7BDA，根据ABCEBD得出BDEBCA，过点A作 AFBC，于点 F，分别求得,AF CF,然后求得 BF，最后根据正切的定义即可求解【详解】(1)解：在Rt BDC 中，30DBC，RtBAE，且90AEB，30EBA，ABECBD，DBEEBCABCEBC，3cos2BEABABEAB ABBEBCBD，DBECBA，ABCEBD2 3332ACABABDEBEAB233ACDE，故答案为：233ACDE(2)RtBAE，且90AEB，30EBA，4AB 1sin22AEABEBAAB，60BAE，延长 DE 交 AB 于点 F，如图所示，DEAB，90BFDDFA ，

71、在 Rt AEF 中，3sin232EFAEBAE，112AFAE，4 13BFABAF，由(1)可得233ACDE，332DEAC，2 3DFDEEF，在 Rt BFD中，222232 321BDBFDF，ABCEBD，2 33BCACBDDE，2 3212 73BC，2 7BC；(3)解：如图所示，以 AB 为边在 AB 上方作RtBAE，且90EAB，30EBA，连接 BE，EA，,ED EC，同(1)可得 BDEBCA则2 33DEBDACBC，2AC，则4 33DE，在 Rt AEB 中，4AB，34 3tan433AEABEBA，D 在以 E 为圆心，4 33为半径的圆上运动，当点

72、,A E D 三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则8 33ADAEDE，在 RtABD 中，22228 34 21433BDABAD8 32 73cos74 213ADBDABD,421sin74 213ABBDABD，ABCEBD，BDEBCA，过点 A 作 AFBC，于点 F，2 74 7cos277CFACACB，2 21sin7AFACACB，30DBC，334 212 7223BCBD，4 710 72 777BFBCCF，Rt AFB 中，3tan52 21710 77AFCBAFB【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的

73、距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键27(2023湖北黄冈统考中考真题)【问题呈现】CAB和 CDE 都是直角三角形，90,ACBDCECBmCA CEmCD，连接 AD，BE，探究 AD，BE 的位置关系(1)如图 1，当1m 时，直接写出 AD，BE 的位置关系：_；(2)如图 2，当1m 时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由【拓展应用】(3)当3,4 7,4mABDE时，将 CDE 绕点 C 旋转，使,A D E 三点恰好在同一直线上，求 BE 的长【答案】(1)BEAD(2)成立；理由见解析(3)6 3BE 或 4 3【分析】(1)根据

74、1m ，得出 ACBC，DCEC，证明 DCAECB，得出DACCBE，根据GABABGDACCABABG，求出90GABABG，即可证明结论；(2)证明DCAECB，得出DACCBE，根据GABABGDACCABABG，求出90GABABG，即可证明结论；(3)分两种情况，当点 E 在线段 AD上时，当点 D 在线段 AE 上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可【详解】(1)解：1m ，ACBC，DCEC，90DCEACB，90DCAACEACEECB，DCAECB，DCAECB，DACCBE，GABABGDACCABABG，CBECABABG CABCBA 180ACB90，1809

75、090AGB ，BEAD；故答案为：BEAD(2)解：成立；理由如下：90DCEACB，90DCAACEACEECB，DCAECB，1DCACCEBCm，DCAECB，DACCBE，GABABGDACCABABG，CBECABABG CABCBA 180ACB90，1809090AGB ，BEAD；(3)解：当点 E 在线段 AD上时，连接 BE，如图所示：设 AEx，则4ADAEDEx，根据解析(2)可知，DCAECB，3BEBCmADAC，33434 3BEADxx，根据解析(2)可知，BEAD，90AEB，根据勾股定理得：222AEBEAB，即22234 34 7xx，解得：2x 或8x

76、 (舍去)，此时34 36 3BEx；当点 D 在线段 AE 上时，连接 BE，如图所示：设 ADy，则4AEADDEy，根据解析(2)可知，DCAECB，3BEBCmADAC，33BEADy，根据解析(2)可知，BEAD，90AEB，根据勾股定理得：222AEBEAB，即222434 7yy，解得：4y 或 y 6(舍去)，此时34 3BEy；综上分析可知，6 3BE 或4 3【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论28(2023内蒙古赤峰统考中考真题)数学兴

77、趣小组探究了以下几何图形如图，把一个含有45角的三角尺放在正方形 ABCD中，使45角的顶点始终与正方形的顶点C 重合，绕点C 旋转三角尺时，45角的两边CM，CN 始终与正方形的边 AD，AB 所在直线分别相交于点 M，N，连接 MN，可得 CMN【探究一】如图，把 CDMV绕点 C 逆时针旋转90得到 CBH，同时得到点 H 在直线 AB 上求证：CNMCNH；【探究二】在图中，连接 BD，分别交CM，CN 于点 E，F 求证：CEFCNM；【探究三】把三角尺旋转到如图所示位置，直线 BD与三角尺45角两边CM，CN 分别交于点 E，F 连接 AC 交 BD于点O，求 EFNM 的值【答案

78、】探究一见解析；探究二见解析；探究三 22EFNM【分析】探究一证明 CNMCNH，即可得证；探究二根据正方形的性质证明CEFFNB，根据三角形内角和得出CEFFNB，加上公共角ECFNCM，进而即可证明探究三先证明 ECDNCA，得出CEDCNA，12ECCDNCAC，将 DMC 绕点C 顺时针旋转90 得到 BGC，则点G 在直线 AB 上得出 NCGNCM，根据全等三角形的性质得出MNCGNC，进而可得CNMCEF，证明 ECFNCM，根据相似三角形的性质得出 EFNM12ECCDNCAC，即可得出结论【详解】探究一 把 CDMV绕点 C 逆时针旋转90得到 CBH，同时得到点 H 在直

79、线 AB 上，,90CMCHMCH，904545NCHMCHMCN ，MCNHCN，在 CNM 与CNH中CMCHMCNHCNCNCN CNMCNHCNMCNH 探究二证明：如图所示，四边形 ABCD是正方形，45DBA，又45MCN，45FBNFCE，EFCBFN，CEFFNB，又CNMCNH，CEFCNM，又公共角ECFNCM，CEFCNM；探究三 证明：,AC BD 是正方形的对角线，135CDECDAEDM，180135CANBAC，CDECAN，45MCNDCA，MCNDCNDCADCN，即ECDNCA，ECDNCA，CEDCNA，12ECCDNCAC，如图所示，将 DMC 绕点C

80、顺时针旋转90得到 BGC，则点G 在直线 AB 上 MCGC，90MCG，45NCGNCM，又CNCN，NCGNCM，MNCGNC，CNACEF，CNMCEF，又ECFNCM，ECFNCM，EFNM12ECCDNCAC，即22EFNM【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键29(2023湖南统考中考真题)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形 ABCD的边 BC 上任意取一点 G，以 BG 为边长向外作正方形 BEFG，将正方形 BEFG绕点 B 顺时针旋转特例感

81、知：(1)当 BG 在 BC 上时，连接 DFAC，相交于点 P，小红发现点 P 恰为 DF 的中点，如图针对小红发现的结论，请给出证明；(2)小红继续连接 EG，并延长与 DF 相交，发现交点恰好也是 DF 中点 P，如图，根据小红发现的结论，请判断APEV的形状，并说明理由；规律探究：(3)如图，将正方形 BEFG绕点 B 顺时针旋转，连接 DF，点 P 是 DF 中点，连接 AP，EP，AE，APEV的形状是否发生改变？请说明理由【答案】(1)见解析；(2)APEV是等腰直角三角形，理由见解析；(3)APEV的形状不改变，见解析【分析】(1)连接 BD，BF，BP，根据正方形的性质求出9

82、0DBF，证明APDAPB，推出 BPDP，再利用余角的性质求出PBFPFB，推出 PBPF即可；(2)根据正方形的性质直接得到45CAEPEA ，推出,90APEPAPE，得到APEV是等腰直角三角形；(3)延长 EP至点 M，使 PM EP，连接,MA MD，证明SASEMPDPF，得到,DMEFDMPPEF，推出 BGDM，设 DF 交 BC 于点 H，交 BG 于点 N，得到MDNDNB，由 AD BC得到ADNBHN，推出180ADMBHNBNHHBN，进而得到ADMABE，再证明SASAADMBE，得到 AMAE，DAMBAE，证得90APE，再由90MAE，根据等腰三角形的三线合

83、一的性质求出45MAPPAE，即可证得APEV是等腰直角三角形【详解】(1)证明：连接 BD，BF，BP，如图，四边形 ABCD，BEFG都是正方形，45CBDFBG ，90DBF，四边形 ABCD是正方形，45DACBAC ，又 APAP，SASAPDAPB，BPDP，PDBPBD，90PDBPFBPBDPBF ，PBFPFB，PBPF，PDPF，即点 P 恰为 DF 的中点；(2)APEV是等腰直角三角形，理由如下：四边形 ABCD，BEFG都是正方形，45CAEPEA,90APEPAPE，APEV是等腰直角三角形；(3)APEV的形状不改变，延长 EP至点 M，使 PMEP，连接,MA

84、MD，四边形 ABCD、四边形 BEFG都是正方形，90ABADBADABCEBGBEEF ，BGEF，点 P 为 DF 的中点，PDPF，DPMEPF，SASEMPDPF，,DMEFDMPPEF，BEDM，DMEF，BGDM，设 DF 交 BC 于点 H，交 BG 于点 N，MDNDNB，ADBC，ADNBHN，180BHNBNHHBN，180ADMADNMDNBHNBNHHBN ，360180ABEABCEBGHBNHBN，ADMABE，又 ADAB，SASAADMBE，AMAE，DAMBAE，PMEP，APME，即90APE，90DAMMAB，90BAEMAB，即90MAE，45MAPP

85、AE，45PEAPAE ，APEP，APEV是等腰直角三角形【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，(3)中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键30(2023贵州统考中考真题)如图，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形 ABC 中，,90CACBC，过点 B 作射线 BDAB，垂足为 B，点 P 在CB 上(1)【动手操作】如图，若点 P 在线段CB 上，画出射线 PA，并将射线 PA绕点 P 逆时针旋转90 与 BD交于点 E，根据题意在图中画出图形，

86、图中PBE的度数为_度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段 PA与 PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图，若点 P 在射线CB 上移动，将射线 PA绕点 P 逆时针旋转90与 BD交于点 E，探究线段,BA BP BE 之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)作图见解析；135(2)PAPE；理由见解析(3)2BABEBP或2BEBABP；理由见解析【分析】(1)根据题意画图即可；先求出190452ABCBAC ，根据90ABD?，求出4590135CBEABCABE ；(2)根据90APE，90ABE，证明 A、P、B、E 四点共圆，得出45AEPABP，求出AEP

87、EAP，根据等腰三角形的判定即可得出结论；(3)分两种情况，当点 P 在线段 BC 上时，当点 P 在线段 BC 延长线上时，分别画出图形，求出,BA BP BE 之间的数量关系即可【详解】(1)解：如图所示：,90CACBC，190452ABCBAC ，BDAB，90ABD?，4590135CBEABCABE ；故答案为：135(2)解：PAPE；理由如下：连接 AE，如图所示：根据旋转可知，90APE，90ABE，A、P、B、E 四点共圆，45AEPABP，904545EAP，AEPEAP，PAPE(3)解：当点 P 在线段 BC 上时，连接 AE，延长CB，作 EFCB于点 F，如图所示

88、：根据解析(2)可知，PAPE，90EFPAPE，90EPFPEFEPFAPC ，PEFAPC，90EFPACP，PEFAPC，EFPC，18045EBFCBE，90EFB，EBF为等腰直角三角形，2BEEF，ABC 为等腰直角三角形，2222222BABCBPPCBPPCBPEFBPBE，即2BABEBP；当点 P 在线段 BC 延长线上时，连接 AE，作 EFCB于点 F，如图所示：根据旋转可知，90APE，90ABE，A、B、P、E 四点共圆，45EAPEBP，904545AEP，AEPEAP，PAPE，90EFPAPE，90EPFPEFEPFAPC ，PEFAPC，90EFPACP，PEFAPC，PFAC，BCAC，PFBC，45EBF，90EFB，EBF为等腰直角三角形，222BEBFPFBPBCBP，即2BEBABP；综上分析可知，2BABEBP或2BEBABP【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论