专题21 图形的相似（共20道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练.docx

1、专题21 图形的相似(20道)一、单选题1(2023黑龙江哈尔滨统考中考真题)如图，相交于点，是的中点，交于点若，则的长为()A2B4C6D8【答案】B【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解【详解】解：， ，是的中点，故选：B【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键2(2023山东泰安统考中考真题)如图，是等腰三角形，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两

2、点，作直线MN交AB于点E，连接DE下列四个结论：；当时，其中正确结论的个数是()A1B2C3D4【答案】C【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，正确；根据等角对等边得到，根据三角形外角性质得到，得到，推出，正确；根据，得到，推出，错误；根据时， ，得到,推出，正确【详解】中，由作图知，平分，垂直平分，正确；，正确；设，则，即，错误；当时，,，正确正确的有，共3个故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的

3、性质二、填空题3(2023辽宁盘锦统考中考真题)如图，四边形是矩形，点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 【答案】/【分析】设交与点G，过点E作，则四边形为矩形，由折叠可知，由平行线的性质可得，利用勾股定理求得，即可证明，利用相似三角形的性质求得，于是，则代入计算即可【详解】解：设交与点G，过点E作，如图，则，点E为边的中点，四边形是矩形，四边形为矩形，由折叠可知，即，在中，即，故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、 等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题

4、关键4(2023辽宁盘锦统考中考真题)如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G，连接若，则 【答案】【分析】由作图得平分，垂直平分，再根据三角形面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解【详解】解：由作图得平分，垂直平分，在中，设，则，故答案为：【点睛】本题考查了基本作图，掌握三角形的面积公式和相似三角形的性质是关键5(2023辽宁鞍山统考中考真题)如图，中，在，上分别截取，使，分别以

5、，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，则的长为 【答案】【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到，因此，由角平分线定义推出，又，推出，得到，代入有关数据，即可求出的长【详解】由题中作图可知：平分， ，故答案为：【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，得到 ，从而求出的长，6(2023湖南益阳统考中考真题)如图，在中，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点则的长为 【答案】【分析】由尺规作图可

6、知，射线是的角平分线，由于，结合等腰三角形“三线合一”得是边中点，再由，根据平行线分线段成比例定理得到是边中点，利用梯形中位线的判定与性质得到即可得到答案【详解】解：由题意可知，射线是的角平分线，由等腰三角形“三线合一”得是边中点，由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点，是梯形的中位线，在中，则，故答案为：【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键7(2023江苏南通统考中考真题)在ABC中(如图)，点D、E分别为AB、AC的中点，则

7、SADE：SABC 【答案】1：4/0.25【分析】根据题意得出DE是ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得出DEBC， DE=BC，证出ADEABC，相似比为12，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到答案【详解】点D、E分别为AB、AC的中点DE是ABC的中位线DEBC， DE=BCADEABC，相似比为：DEBC=12SADESABC=1222=14故答案为：14【点睛】本题的解题关键在于利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半这一性质，证出三角形相似，以及相似比为12，在利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解出本题8(2023辽宁鞍山统考中考真题

8、)如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H若，则的长为_【答案】/【分析】根据题干条件可得，所以，得到，又证明得，所以，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据，即可求出答案【详解】解：由题意可得，,，、是等腰直角三角形，；连接、,，连接，又，连接、，设，得，解得(舍)，又，故答案是【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键9(2023四川绵阳统考中考真题)如图，过锐角ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF

9、平分EAC交BC的延长线于点F在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H若AC=2，AMH的面积是，则的值是 【答案】/【详解】解：过点H作HGAC于点G，AF平分CAE，DEBF，HAF=AFC=CAF，AC=CF=2，DECF，AHMFCM，AH=1，设AHM中，AH边上的高为m，FCM中CF边上的高为n，AMH的面积为：，设AHC的面积为S，=3，由勾股定理可知：AG=，CG=ACAG=2，故答案为:10(2023辽宁统考中考真题)如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为 【答案】【分析】根据平行四边形推

10、出平行四边形，根据和相似，进而求出各个三角形的面积比，设，表示出其他三角形面积，进而作答【详解】解：四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形，同理，设，则，故答案为【点睛】本题考查平行四边形及三角形的相似，相似比和面积比，解题的关键是根据三角形的相似比表示出三角形的面积11(2023辽宁统考中考真题)如图，在矩形中，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F当最大时，点到的距离是 【答案】【分析】如图，由题意可得：在上，过作于，由点B关于直线的对称点，可得，当与切于点时，最大，此时，证明，重合，可得，求解，证明，可得，从而可得答案【详解】解：如图，由题意可得

11、：在上，过作于，点B关于直线的对称点，当与切于点时，最大，此时，重合，矩形，点到的距离是故答案为：【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键12(2023山东泰安统考中考真题)如图，在中，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 【答案】【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则【详解】解：，由折叠的性质可得，又，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明是解题的关键13(2

12、023黑龙江牡丹江统考中考真题)如图，在正方形中，E在边上，交对角线于点F，于M，的平分线所在直线分别交，于点N，P，连接下列结论：；若，则，其中正确的是 【答案】【分析】如图，记到的距离为，可得，证明，可得，证明，可得，可得，故正确；证明四点共圆，可得，证明，故不正确；求解，可得，(负根舍去)，证明，证明，求解，可得，故正确；证明，可得，求解，则，故不正确【详解】解：如图，记到的距离为，正方形，平分，同理可得：，故符合题意；，四点共圆，故不正确；，则，正方形，(负根舍去)，同理可得：，即，故正确；同理可得：，则，故不正确综上：正确的有；故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，角平分线的定

13、义，相似三角形的判定与性质，四点共圆，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键，本题的难度大，是填空压轴题14(2023辽宁营口统考中考真题)如图，在中，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 【答案】【分析】连接，证明是等边三角形，则，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案【详解】解：连接，将绕着点C按顺时针旋转得到，是等边三角形，设，则，取的中点H，连接，设，则，解得，即，故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键三、解答题15

14、(2023陕西统考中考真题)(1)如图，在中，若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值；(2)如图所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽已知：，根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内(含边界)修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点连接，点在上，连接其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长【答案】(1)；(2)【分析】(1)连接，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案；(2)分别在，上作，连接，、证出四边形是平行四边形由平行四边形的性质得

15、出当点在上时，取得最小值作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点证明，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案【详解】解：(1)如图，连接，过点作，垂足为，则半径为4，线段的最小值为；(2)如图，分别在，上作，连接，、，四边形是平行四边形，当点在上时，取得最小值作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点，在矩形区域内(含边界)，当与相切时，最短，即此时，也最短，也最短，此时环道的圆心到的距离的长为【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键16(2023江苏统考中考真题)如图1，

16、小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上()，且点、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点(点、不重合)，射线与射线相交于点(点、不重合)，观测、的长度(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，_；(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点她发现对于任意的总成立请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立小丽的猜想是否正确？请说明理由【答案】(1)(2)见解析(3)小丽的猜想正确，理由见解析【分析】(1)证，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；(2)证得，同理可得，(3)由，得，

17、进而有，再根据矩形的性质即可得证；当时，取的中点，连接、，由，恰为边的中点，得，进而证，得，于是有，由平行线分线段成比例得，同理可证：，于是有，从而即可得解【详解】(1)解：四边形和四边形都是矩形，是的中点，即，故答案为：；(2)证明：如下图，解：小丽滑动矩形，使得恰为边的中点，四边形和四边形都是矩形，同理可得，；(3)解：小丽的猜想正确，当时，总成立，理由如下：如下图，取的中点，连接、，四边形和四边形都是矩形，恰为边的中点，是的中点，同理可证：，小丽的猜想正确【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解

18、题的关键17(2023江苏南通统考中考真题)正方形中，点在边，上运动(不与正方形顶点重合)作射线，将射线绕点逆时针旋转45，交射线于点(1)如图，点在边上，则图中与线段相等的线段是_；(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；(3)在(2)的条件下，当点在边延长线上且时，求的值【答案】(1)(2)的度数为或(3)【分析】(1)根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案；(2)当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案；当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案；(3)由平行的性质得到分线段成比例

19、【详解】(1)正方形，(2)解：当点在边上时(如图)，过点作，垂足为，延长交于点，四边形是矩形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，当点在边上时(如图)，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理，为等腰直角三角形，综上，的度数为45或135(3)解：当点在边延长线上时，点在边上(如图)，设，则，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键18(2023辽宁鞍山统考中考真题)如图，在中，点D是射线上的动点(不与点B，C重合)，连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，(1)如图1，点D

20、在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是_，_(2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：(3)当，时，直线与直线交于点N若，请直接写出线段的长【答案】(1)垂直，(2)见解析(3)或【分析】(1)连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果；(2)作于，作，交的延长线于点，连接，同(1)推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；(3)分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解【详解】(

21、1)解：连接并延长交于，同理：，四点共圆，与垂直；是的中点，是的中点，又，；故答案为：垂直，；(2)作于，作，交的延长线于点，连接，为等边三角形，四点共圆，是的中点，是的中点，是梯形的中位线，；(3)当点在上时，作于，作，交的延长线于点，作，交的延长线与点，由(2)知：为等边三角形，在中，即：，；当点D在的延长线上时，作于，作于点，作，交的延长线与点，同可知：，在中，即：，；综上：或【点睛】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊

22、图形19(2023辽宁锦州统考中考真题)【问题情境】如图，在中，点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段(旋转角小于)，连接，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接【尝试探究】(1)如图1，当时，易知；如图2，当时，则与的数量关系为 ；(2)如图3，写出与的数量关系(用含的三角函数表示)并说明理由；【拓展应用】(3)如图4，当，且点B，E，F三点共线时若，请直接写出的长【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】(1)先证明，可得，再证得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中，利用余弦定义可求，即可得出，然后把代入计算即可；(2)仿照(1)的思路即可解答；(3)方法一：如图，过点D作于点

23、M，过点C作，交延长线于点H，可求，得出，设，则，利用平行线分线段成比例得出，则可求，在中，利用勾股定理构建方程，求出证明，利用相似三角形的性质即可求解；方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质与判断，平行线的性质可证明，证明，可得出设，则，设，则，利用平行线分线段成比例得出，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解【详解】(1)如图，过点A作于点H，是以为底边的等腰三角形，H为的中点，在中，又，；(2)解：；如图，过点A作于点H，是以为底边的等腰三角形，H为的中点，在中，(3)方法一：如图，过点D作于点M

24、，过点C作，交延长线于点H，线段绕点D顺时针旋转得到线段，是以为底边的等腰三角形，设，则，在中，解得，方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，线段绕点D顺时针旋转得到线段，是以为底边的等腰三角形，设，则，在中，在中，解得，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判断与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形20(2023湖南娄底统考中考真题)鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究延长正五边

25、形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M(1)求证：(2)若，求的长(3)求的值【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】(1)根据正多边形的性质可以得到，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到，再根据，可得到，进而得到结论；(2)根据等角对等边可以得到，再由(1)得结论得到，解方程可以求出结果；(3)设，连接，根据正多边形可以推导出，则可表示出，然后求出比值【详解】(1)证明：是正五边形，又的平分线交于点M，又，即；(2)解：，解得：或(舍去)，；(3)设，连接，则根据(2)中计算可得，是正五边形，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键