专题21.16 二次函数与反比例函数章末十六大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题21.16 二次函数与反比例函数章末十六大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】1【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】2【题型3 根据新定义求字母取值范围】3【题型4 利用二次函数的性质求最值】4【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】5【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】5【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】6【题型8 二次函数中的存在性问题】8【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】10【题型10 反比例函数中的动点问题】12【题型11 反比例函数与x=a或y=a】13【题型12 反比例函数中的存在性问题】15【题型13 反比

2、例函数与勾股定理、全等三角形的综合】17【题型14 反比例函数与图形变换】19【题型15 反比例函数与定值、最值】20【题型16 反比例函数的应用】23【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】【例1】（2023秋安徽阜阳九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(mn)是关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)-3=0的两根，且ab，则m,n,a,b的大小关系是（）AmnabBamnbCambnDmab0两实数根分别为，且，则、满足（）A-13B-13 C-13D-13 【变式1-2】（2023秋四川凉山九年级校考期中）若a，b（ab）是关于x的方程2+x-mx-n=0的两根，则mn，则a、

3、b、m， n的大小关系是 【变式1-3】（2023江苏扬州九年级校联考期末）若x1，x2(x1x2)是方程(xm)(x3)1(m3)的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是()Amx1x23Bx1mx23Cx1m3x2Dx1x2m3【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】【例2】（2023春全国九年级期末）已知二次函数ya（x+1）（xm）（a为非零常数，1m2），当x-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）当x2时，y随x的增大而减小；若图象经过点（0，1），则1a0；若（2021，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，则y1y2；若图象上两点（14，y1），（14

4、+n，y2）对一切正数n，总有y1y2，则1m32ABCD【变式2-1】（2023秋北京九年级北京市第十二中学校考期中）已知抛物线y=ax2+bx+ca0 与x轴交于点A(1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论：抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)；点Cx1,y1，Dx2,y2在抛物线上，且满足x1x2y2；常数项c的取值范围是2c3；系数a的取值范围是-1a-23上述结论中，所有正确结论的序号是（）ABCD【变式2-2】（2023春湖南长沙八年级校联考期末）小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如

5、下结论：该二次函数图象的顶点始终在平行于x轴的直线上；该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；当-1x2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m2；点Ax1,y1与点Bx2,y2在函数图象上，若x12m，则y1y2其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【变式2-3】（2023秋山东德州九年级统考期末）如图，抛物线yx22xm1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B抛物线yx22xm1与直线ym2有且只有一个交点；若点M（2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1y2y3；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所

6、得抛物线解析式为y（x1）2m；点A关于直线x1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2其中正确判断有（）ABCD【题型3 根据新定义求字母取值范围】【例3】（2023秋山东济南九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1x4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A-5c4B0c1C-5c1D0cn，例如：12=1-2=-1，43=4+3-3=4下列说法：-79=-16；若1x2-x=-1，则x=-1或2；若-23+4x-5，则x0或x-54；y=-x+1x2-2x

7、+1与直线y=m（m为常数）有1个交点，则-1m-3其中正确的个数是（）A4B3C2D1【变式3-3】（2023秋安徽合肥九年级校联考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：B（3，0）、C（1，3）都是“整点”抛物线yax22ax+a+2（a0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A1a0B2a1C1a-12D2a0【题型4 利用二次函数的性质求最值】【例4】（2023秋九年级统考期中）已知，二次函数y=ax2+bx-1（a，b是常数，a0）的图象经过A(2,1)，

8、B(4,3)，C(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（）A最大值为-1B最小值为-1C最大值为-12D最小值为-12【变式4-1】（2023秋广东汕头九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（）A6B2+322C2+32D32【变式4-2】（2023秋辽宁八年级东北育才双语学校校考期末）在平面直角坐标系中，点A（1，112），B（4，32），若点M（a，a），N

9、（a+3，a4），则四边形MNBA的周长的最小值为（）A10+132 2B10+132 3C5+132D5+133【变式4-3】（2023秋北京海淀九年级人大附中校考期末）已知抛物线 yax2+bx+c（02ab）的顶点为 P（x0，y0），点 A（1，yA），B（0，yB），C（1，yC）在该抛物线上，当 y00 恒成立时，yB-yCyA的最大值为（）A1B12C14D13【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】【例5】（2023秋浙江九年级期中）二次函数y=x2+2mx-3，当0x1时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（）A-1或1B-1或1或3C1或3D-1或3【

10、变式5-1】（2023秋湖北黄冈九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点已知二次函数y=ax2+bx-94（a,b是常数，a0）的图象上有且只有一个完美点32,32，且当0xm时，函数y=ax2+bx-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（）A-1m0B2m72C2m4Dm2【变式5-2】（2023秋安徽合肥九年级统考期末）已知二次函数yx2+2x+3，截取该函数图象在0x4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与

11、最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A1t0B1t-12C-12t0Dt1或t0【变式5-3】（2023秋浙江九年级统考期末）已知二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，它的图象经过点Aa-4,b，Ba,b，则b的值为（ ）A2B4C6D8【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】【例6】（2023秋浙江温州九年级期末）已知二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象与一次函数y=mx+n(m0)的图象交于(x1，y1)和(x2，y2)两点，（）A若a0，m2hB若a0，m2hC若x1+x22h，则a0，m0D若x1+x20，m0【变式6-1】（2023秋福建龙岩九年级校考期中）已知直

12、线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a0(1)直接写出直线的解析式：_；直接写出b与a之间的关系：_；直接写出抛物线顶点Q的坐标：_；（只用含a的代数式表示）(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若-1a-12，求线段MN长度的最小值并直接写出此时QMN的面积【变式6-2】（2023秋河南许昌九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A-3,0，B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2-2x+c与x轴的正半轴相交于点C(1)求k、c的值；(2)求点C的坐标和抛物线y=-x2-2x+c的顶点

13、坐标；(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围【变式6-3】（2023秋新疆哈密九年级校考期中）已知二次函数yax2bxc的图象C经过(5,0)，0,52，(1,6)三点，直线l的解析式为y2x3.(1)求抛物线C的解析式；(2)判断抛物线C与直线l有无交点；(3)若与直线l平行的直线y2xm与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】【例7】（2023秋河北石家庄九年级校考期中）将抛物线l1：yx2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180，得到一个新抛物线l2，若l

14、1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）【变式7-1】（2023秋湖南长沙九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”（1）已知一次函数y2x+3的图象，求关于直线yx的对称函数的解析式；（2）已知二次函数yax2+4ax+4a1的图象为C1；求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB16时，求a的值；（3）若直线y2x3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值

15、，抛物线ymx2+（m23）x（2m38）都不通过点P，求符合条件的点P坐标【变式7-2】（2023秋重庆江北九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与直线AC交于点A6，0，C0，-6(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四

16、边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程【变式7-3】（2023秋辽宁沈阳九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2+bx+c与y轴交于点A0,-2，与x轴交于点B4,0，连接AB直线y2x8过点B交y轴于点C，点F是线段BC上一动点，过点F作FDx轴，交线段AB于点E，交抛物线于点D(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为m，当EF5ED时，求m的值；(3)若抛物线y1=12x2+bx+c上有一点H，且满足四边形ABFH为矩形直接写出此时线段BF的长；将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形A1B1F1H1（点A、B、

17、F、H的对应点分别为A1、B1、F1、H1），点K为平面内一点，当四边形B1KF1H1是平行四边形时，将抛物线y1=12x2+bx+c沿其对称轴上下平移得到新的抛物线y2，若新的抛物线y2同时经过点K和点H1，直接写出点K的横坐标【题型8 二次函数中的存在性问题】【例8】（2023春山东烟台九年级统考期中）如图，抛物线y=12x2-2x-6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P(m,n)(0my2的x取值范围；(3)M是y轴上的一个动点，作MNy轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为72时，直接写出点N的坐标【变式10

18、-2】（2023春河南周口九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(x0)的图象上，点D的坐标为(8，6)(1)求反比例函数的表达式；(2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标【变式10-3】（2023春四川乐山九年级统考期末）如图，A1，3，B3，1是反比例函数y=3x的图象上的两点，点P是反比例函数y=3x的图象位于线段AB下方的一动点，过点P作PMx轴于M，交线段AB于Q设点M横坐标为x，则OPQ面积的最大值为

19、 ，此时x= 【题型11 反比例函数与x=a或y=a】【例11】（2023春重庆沙坪坝九年级重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A1,0且与y轴平行，直线l2过点B0,2且与x轴平行，直线l1，与直线l2相交于点P，点E为直线l2上一点，反比例函数y=kx(k0)的图象过点E且与直线l1相交于点F（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF，若OEF的面积为PEF的面积的3倍，求点E的坐标；（3）当k0的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DEx轴交反比例函y=kxk0的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB=AC，且BC恰好平行于x轴

20、若SDCE=1，则k的值为 【变式11-2】（2023春浙江舟山九年级统考期末）已知：一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图像在第一象限内交于点Am,2，B3,n两点，且m，n满足2m-3n2+n-1=0，直线l经过点A且与y轴平行，点C是直线l上一点，过点C作CDy轴于点D，交反比例函数图像于点E(1)求一次函数与反比例函数的函数表达式(2)如图1，当点C在点A上方时，连接OC，OA，且OC平分AOD，求CDDE的值(3)如图2，当点C在点A下方时，点H是DC的中点，点G在x轴上，若四边形ABGH是平行四边形求出点 G的坐标【变式11-3】（2023春浙江九年级专题练习）如图1，一次函

21、数y=kx-2k0的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=-3xx0的图像交于点B-3,b，连接OB(1)b=_，k=_(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC，OD，BD若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标【题型12 反比例函数中的存在性问题】【例12】（2023春江苏盐城九年级景山中学校考期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体(1

22、)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？_（填“存在”或“不存在”）【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？小鸣和小棋分别有以下思路：【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=10，xy=12，联立x+y=10xy=12得x2-10x+12=0，再探究根的情况；【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2：y=12x与一次函数l1：y=-x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体(2)那么长为4宽为3的矩形C是否存在完全12倍体？请利用上述其中一种思路说明原因(3)如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请求出k的取值范围【变式12-

23、1】（2023春山西长治九年级统考期末）（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=kxx0)的图像上，顶点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作一个正方形DFEG，顶点G在反比例函数y=4x(x0)的图像上，顶点E在x轴的正半轴上，则点D的坐标为 ，点G的坐标为 【变式13-1】（2023春河南周口九年级统考期末）正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，点C在反比例函数y=2xx0的图象上，点D在第二象限内，若AO=3BO，则正方形ABCD的边长为（）A10B3C7D5【变式13-2】（2023春浙江衢州九年级统考期末）【思路点拨】：如图1，点A是点A关于直线y=

24、x的对称点，分别过点A，A作y轴，x轴的垂线，垂足为M，N，连结OA，OA，AA可以利用轴对称图形的性质证明AMOANO，从而由点A的坐标可求点A的坐标【应用拓展】：如图2，若点A横坐标为12，且在函数y=1x的图象上(1)求点A关于直线y=x的对称点A的坐标(2)若点B的坐标为-1,1，点P是直线y=x上的任意一点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值【变式13-3】（2023春浙江宁波九年级统考期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形(1)矩形_勾股四边形（填“是”或“不是”）(2)如图在直角坐标系xOy中，直线y=-x+1与双曲线y=-6x相交于A，B两点

25、，点P-3,0在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点分别求出A、B两点的坐标当四边形APQB是平行四边形时，如图，请证明APQB是勾股四边形(3)在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标【题型14 反比例函数与图形变换】【例14】（2023春江苏淮安九年级统考期中）如图，将反比例函数y=5x(x0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12x与旋转后的图象相交于B，则OAB的面积为 【变式14-1】（2023春江苏泰州九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的

26、周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点A(3，6)，因为C=(3+6)2=18，S=36=18，所以A是“等值点”(1)若点E为双曲线y=4x (x0)上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”；(2)在第一象限内，若一次函数y= - x+b的图象上有两个“等值点”，求b的取值范围【变式14-2】（2023春九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，RtABC的直角边AB在x轴上，ABC=90点A的坐标为1，0，点C的坐标为3，4，M是BC边的中点，函数y=kxx0 的图象经过点M（1）求k的值；（2）将ABC绕某个点旋转

27、180后得到DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF在y轴上，点D在函数y=kxx0的图象上，求直线DF的表达式【变式14-3】（2023春江苏淮安九年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A1,1，点C3,3，反比例函数y=kx(x0)的图象经过点D(1)试说明反比例函数y=kx的图象也经过点B；(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y=kx的图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F求MEF的面积；在x轴上是否存在一点G，使得GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由【题型15 反比例函数与

28、定值、最值】【例15】（2023山东济宁校考二模）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k0)的图像交于点Am,8，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(0n0时，不等式2x+6-kx0的解集；(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，BMN的面积最大？最大值是多少？【变式15-1】（2023河北石家庄统考一模）如图，已知点A1,4,B7,1，点P在线段AB上，并且点P的横、纵坐标均为整数，经过点P的双曲线为L:y=kx(x0)(1)当点P与点B重合时，求L的表达式；(2)求线段AB所在直线的函数表达式；(3)直接写出k的最小值和最大值【变式15-2】（2023春江苏无锡九年级统考期末）如图，动点M在函数y1=4x（x0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 y2=1x （x0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y kxb(1)若点M的坐标为（1，4）直线BC的函数表达式为_；当 y-2时，y随x的增大而增大D.当x-2时，y随x的增大而减小应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越_（填“高”或“低”），但不会突破_元