专题21.19 实际问题与一元二次方程（直通中考）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docx

1、专题21.19 实际问题与一元二次方程（直通中考）一、单选题1（2023广西统考中考真题）据国家统计局发布的2022年国民经济和社会发展统计公报显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（）ABCD2（2022江苏南通统考中考真题）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A10.5% B10% C20% D21%3（2023黑龙江统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，

2、若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（） A B C或 D4（2022宁夏中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（）ABCD5（2022广西河池统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x则所列方程为()A30（1+x）250B30（1x）250C30（1+x2）50D30（1x2）506（2022黑龙江哈尔滨统考中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过

3、连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（）A BC D7（2022黑龙江统考中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A8 B10 C7 D98（2022重庆统考中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）A BC D9（2022重庆统考中考真题）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意

4、，下列方程正确的是（）A BC D10（2022山东泰安统考中考真题）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A BC D二、填空题11（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是

5、12（2023重庆统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 13（2023江苏无锡统考中考真题）九章算术中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺14（2022四川成都统考中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的

6、两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 15（2023湖北恩施统考中考真题）九章算术被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺 16（2023浙江金华统考中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为现将边增加 （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩

7、形面积为，则的值是 17（2022浙江衢州统考中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简） 18（2022湖南永州统考中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 三、解答题19（2023辽宁大连统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的

8、费用是7200元，求年买书资金的平均增长率20（2023湖南郴州统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？21（2023山东东营统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围

9、成一个面积为640的羊圈？(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由22（2022山东德州统考中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地(1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为求新的矩形绿地面积23（2022四川眉山中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧

10、小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？24（2022湖北宜昌统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每

11、吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了求6月份每吨再生纸的利润是多少元？25（2022贵州毕节统考中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537(1) 网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2) 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元应如何设

12、计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售如果按照原价销售，平均每天可售4件经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？26（2023湖北宜昌统考中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍(1) 求豆沙粽和肉粽的单价；(2) 超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；豆沙粽数量肉粽

13、数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元求m的值参考答案1B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可解：设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率

14、为x，根据题意得，故选：B【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键2B【分析】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论解：设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：3000（1x）23630，解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去）故选：B【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键3A【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的

15、值即可得出结论解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，依题意得：解得：，（不合题意，舍去），小路宽为故选A【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键4A【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可解：依题意，得故选：A【点拨】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键5A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的解：由题意可得，故选：A【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，

16、解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题6C【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格（1-降低的百分率），把相关数值代入即可解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，故选：C【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价7B【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可解：设有x支队伍，根据题意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键8A

17、【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量第一天揽件量（1平均增长率）2，把相关数值代入即可解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，可列方程为：，故选：A【点拨】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般9B【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）棵，再根据题意列出方程即可解：第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）棵，根据题意列出方程：故选：B【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题10A【分析】

18、设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x1）文，利用总价单价数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解解：这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，一株椽的价钱为3（x1）文，依题意得：3（x1）x6210，故选：A【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键11【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可解：设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：解得：，（不符合题意，舍去），故答案为：【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题

19、，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用，减少用，难度一般12【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，故答案为：【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键138【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，解得：或（舍去），故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键14【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形

20、斜边的长是解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，由公式法解一元二次方程可得，根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，故答案为：【点拨】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键158，6，10【分析】设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理求解即可解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据题意可得：，解得：或（舍去），（尺），（尺），即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，故答案为：8，6，10【点拨】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键16 6 /【分析】（1）根据面积的不变性，列

21、式计算即可（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，边减少，得到的矩形面积不变，解得，故答案为：6（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，有且只有一个的值，解得（舍去），故答案为：【点拨】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键17【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程解：由包装盒容积为360cm3可得，故答案为：【点拨】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解

22、题关键183【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，则AE=x-1，在RtAED中，即，解得：x=4（负值已经舍去），x-1=3，故答案为：3【点拨】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键19【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立

23、方程，解方程即可得解：设年买书资金的平均增长率为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：年买书资金的平均增长率为【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键20(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：，解得：（负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平

24、均增长率为；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：，解得：；5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键21(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；(2)不能，理由见分析【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解（1）解：设矩形的边，则边根据题意，得化简，得解得，当时，；当时，答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈（2）解：不能，理由如下

25、：由题意，得化简，得，一元二次方程没有实数根羊圈的面积不能达到【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键22(1)新的矩形绿地的长为，宽为；(2)新的矩形绿地面积为【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论；（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积（1）解

26、：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据题意得：，即，解得：，答：新的矩形绿地面积为【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程与一元一次方程23(1)20%；(2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022

27、年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，经检验，符合本题要求答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得为正整数，最多可以改造18个小区答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式24(1)4月份再生纸的产量为500吨；(2)的值20；(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3

28、月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润数量列出方程求解即可；（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，由题意得：，解得：，答：4月份再生纸的产量为500吨；（2）解：由题意得：，解得：或（不合题意，舍去），的值20；（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，答：6月份每吨再生纸的利润是1500元【点拨】本题主要考查了

29、一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键25(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件；(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元；(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即

30、可求出最大利润；(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，由题意可知： ，解出：，故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，由题意可知：，解出：，设销售利润为元，则，是关于m的一次函数，且30，随着m的增大而增大，当时，销售利润最大，最大为元，故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元（3）

31、解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键26(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；(2)豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解；（2）设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意得，解得；则；所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；（2）解：设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意得，解得，所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；依题意得，解得或，【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键