专题22 平行四边形存在性问题巩固练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、平行四边形存在性问题巩固练习1已知RtOAB的两条直角边在坐标轴上，点A，点B的坐标分别为（0，2），（3，0）（1）写出以点O，A，B为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；（2）直线l的解析式为y2x+2，设点M为直线l上一点，过点M作AB的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M，N，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先由点的坐标求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为（3，2）或（3，2）或（3，2）；（2）根据平行四边形的性质先求得M的横坐标，代入直线的解析式即可求得纵坐标

2、【解答】解：（1）设C点的坐标为（x，y），如图1，以点O，A，B，C顶点的四边形是平行四边形，当BCAO时，O（0，0），B（3，0），A（0，2）AO2，BC2，C点坐标为C2（3，2）或C3（3，2）BOAC时，BO3，AC3，C点坐标为C1（3，2），综上，第四个顶点C的坐标为（3，2）或（3，2）或（3，2）；（2）存在，如图2，过M1作CM1y轴于C，过M1作M1Ex轴于E，B的横坐标是3，M1的横坐标是3，代入直线y2x+2得：y2（3）+28，M1（3，8），过M2作DM2y轴于D，B的横坐标是3，M2的横坐标是3，代入直线y2x+2得：y23+24，M2（3，4），M点的坐标

3、是：（3，8）和（3，4）【点评】本题是一次函数的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论思想的运用是解题的关键2如图，已知抛物线yax2+bx+c过点A（1，0），B（4，0），C（2，3）三点，与y轴相交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使BDP与ABC相似，求出点P的坐标，若不存在，说明理由（3）若点E是题中抛物线对称轴l上的动点，点F是抛物线上的动点，则是否存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（1，0），B（4，0），C（2，3）三点坐标代入抛物线解析式即可得出结

4、论；（2）由三角函数正切值可得出ABCABD，再去分两种情况讨论相似，由相似三角形的性质即可得出结论；（3）设出E点坐标（32，n），分BD为对角线以及BD为边讨论，由平行四边形的性质，用含n的代数式表示出F点坐标，代入抛物线解析式即可得出结论【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c过点A（1，0），B（4，0），C（2，3）三点，有0=a-b+c0=16a+4b+c-3=4a-2b+c，解得a=-12b=32c=2故抛物线的解析式为y=-12x2+32x+2（2）假设存在，且点P坐标为（m，0），令BC与y轴交点为M抛物线的解析式为y=-12x2+32x+2，令x0，则y2，即点D坐标为（

5、0，2）设直线BC的解析式为ykx+b，则有0=4k+b-3=-2k+b，解得k=12b=-2，即直线BC的解析式为y=12x2令x0，则y2，即点M（0，2）tanABC=OMOB=ODOB=tanABD，ABCABD当DPBCAB时，如图1，BPDBAC，BPBA=BDBC，A（1，0），B（4，0），C（2，3），D（0，2），P（m，0），BD25，BC35，BA5，BP4m，4-m5=2535，即3m2，解得m=23此时P点的坐标为（23，0）当BADBCA时，如图2，ABCDBP，BPBC=BDBA，4-m35=255，即4m6，解得m2此时P点的坐标为（2，0）综上知：在x轴上存

6、在点P，使BDP与ABC相似，点P的坐标为（23，0）或（2，0）（3）假设存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，有两种情况，一种BD为对角线，另一种BD为一条边抛物线的解析式为y=-12x2+32x+2，对称轴为x=-322(-12)=32设点E的坐标为（32，n）当BD为对角线时，如图3，四边形DEBF为平行四边形，所以EF和BD互相平分，令中点为QQ点的坐标为（2，1），F点坐标为（52，2n）点F在抛物线上，2n=-12(52)2+3252+2，解得n=-58，即E点坐标为（32，-58）当BD为一条边时，如图4，此时点F在点E的左侧，过E作EGx轴，过F作FGy轴，二者交于点G四边

7、形DEBF为平行四边形，BDEF，且BDEF，EGx轴，DBOFEG在BDO和EFG中，有DBO=FEGBOD=EGFBD=EF，BDOEFG（AAS）F点坐标为（-52，n+2），有n+2=-12(-52)2+32（-52）+2，解得n=-558，即E点的坐标为（32，-558）由抛物线的对称性可知，还存在F点在E的右侧情况，此时F点坐标为（112，n2），有n2=-12(112)2+32112+2，解得n=-238即E点的坐标为（32，-238）综合可得：存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，点E的坐标为（32，-58）、（32，-558）和（32，-238）【点评】本题考查了二次函数综

8、合运用、全等三角形的判定以及性质和平行四边形的性质，解题的关键：（1）将已知点坐标代入解析式；（2）设出P点坐标，利用相似三角形的对应边之比等于相似比，找出含m的方程；（3）设出E点坐标，由平行四边形的性质可得出关于n的方程3如图，在平面直角坐标系中，抛物线W的解析式为y=-12x2x+4，抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在A的右侧），与y轴交于点C，一次函数ykx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），与抛物线的另一个交点为E（1）求B、C两点的坐标及一次函数的解析式；（2）若P为抛物线的对称轴上一动点，当BCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上一动点，过M作MN

9、y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M所有可能的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由抛物线解析式可求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法可求得一次函数的解析式；（2）由A、B关于对称轴对称，则连接AC与对称轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可求得P点坐标；（3）由MNCD可知MN为平行四边形的边，设M（x，-12x2x+4），则可表示出N点坐标，从而可用t表示出MN，利用平行四边形的性质可得MNCD，可得到关于x的方程，可求得M点的坐标【解答】解：（1）在y=-12x2x+4中，令y0可得0=

10、-12x2x+4，解得x2或x4，令x0可得y4，A（4，0），B（2，0），C（0，4），一次函数ykx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），2k+b=0b=3，解得k=-1.5b=3，一次函数解析式为y1.5x+3；（2）y=-12x2x+4=-12（x+1）2+3.5，抛物线对称轴为x1，如图1，连接AC交对称轴于点P，A、B关于对称轴对称，PAPB，A、P、C三点在一条线上，BP+PC最小，此时PCB的周长最小，A（4，0），C（0，4），直线AC解析式为yx+4，当x1时，y1+43，P（1，3）；（3）点M是直线BE上一动点，可设M（x，1.5x+3），MNy轴交抛物线于

11、点N，N（x，-12x2x+4），MN|1.5x+3（-12x2x+4）|0.5x20.5x1|C（0，4），D（0，3），CD1，MNCD，当以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，则有MNCD，|0.5x20.5x1|1，即0.5x20.5x11或0.5x20.5x11，当0.5x20.5x11时，解得x=1172，此时M点的坐标为（1+172，9+3174）或（1-172，9-3174），当0.5x20.5x11时，解得x0（M与D重合，舍去）或x1，此时M点坐标为（1，1.5），综上可知存在满足条件的M点，坐标为（1+172，9-3174）或（1-172，9+3174）或（1，

12、1.5）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的应用、平行四这形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用平行四边形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中4如图所示的平面直角坐标系，在ABC中，A60，边AB在x轴上，AC交y轴于点E，AC、BC的长是关于x的方程x216x+640的两个根，且OA：OB1：3（1）求点C的坐标；（2）求直线EB的解析式；（3）在平面内是否存在点P，使得以E、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写

13、出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）解方程x216x+640，可得到ACBC8，进而证得ABC是等边三角形，得到AB8，再由OA：OB1：3，得到OA、OB的长，从而求得A、B的坐标即可求得C的坐标；（2）应用待定系数法即可求得直线AC的解析式，从而求得E的坐标，然后再根据待定系数法即可求得；（3）分别以E、B、C为顶点的三角形的三条边为对角线作出三个平行四边形，根据四边形的性质即可得到P的坐标【解答】解：（1）解方程x216x+640得x18，x28，ACBC8A60，ABC是等边三角形，AB8，OA：OB1：3，AO=1482，OB=3486，C（2，43）；（2）A（2，0）

14、，C（2，43），直线AC的解析式为y=3x+23，E（0，23），B（6，0），设直线BE的解析式为ykx+b，6k+b=0b=23解得k=-33b=23，直线BE的解析式为y=-33x+23（3）存在如图，P点的坐标分别为：（4，63），（4，23），（8，23）【点评】本题考查了利用待定系数法求直线的解析式：设直线P为：ykx+b，然后把两个点的坐标代入确定k，b也考查了一元二次方程的解和勾股定理以及平行四边形的性质5如图，点A是反比例函数y1=2x（x0）图象上的任意一点，过点A作ABx轴，交另一个反比例函数y2=kx（k0，x0）的图象于B点若不论点A在何处，反比例函数y2=kx（k

15、0，x0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值【分析】假设y2=kx上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，过D作DEAB，过A作ACx轴，由四边形AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用AAS得到三角形AOC与三角形DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BEOC，DEAC，设A（a，2a）（a0），即OCa，AC=2a，得出D与B纵坐标，进而表示出D与B横坐标，两横坐标之差的绝对值即为BE的长，利用等式，即可求出k的值【解答】解：假设y2=kx上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，过D作DEAB，过A作ACx轴，四边形AOBD为平行四边形，B

16、DOA，BDOA，DBAOABAOC，在AOC和DBE中，DBE=AOCDEB=ACO=90DB=AO，AOCDBE（AAS），设A（a，2a）（a0），即OCa，AC=2a，BEOCa，DEAC=2a，D纵坐标为4a，B纵坐标为2a，D横坐标为ak4，B横坐标为ak2，BE|ak4-ak2|a，即-ak4=a，k4【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键6如图，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、

17、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y0，解出A、B的坐标再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标E点坐标可根据已知的抛物线求得因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp

18、yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；（3）此题要分两种情况：以AC为边，以AC为对角线确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标【解答】解：（1）令y0，解得x11或x23，A（1，0）B（3，0），将C点的横坐标x2代入yx22x3得y3，C（2，3），直线AC的函数解析式是yx1；（2）设P点的横坐标为x（1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，x1），E（x，x22x3），P点在E点的上方，PE（x1）（x22x3）x2+x+2（x-12）2+94，当x=12时，PE的最大值=94，则ACE的面积的最大值是：12【2（1）】94=278；（3）存在4个这样的点

19、F，分别是F1（1，0），F2（3，0），F3（4+7，0），F4（4-7，0），如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CGx轴，此时AFCG2，因此F点的坐标是（3，0）；如图，AFCG2，A点的坐标为（1，0），因此F点的坐标为（1，0）；如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为yx+h，将G点代入后可得出直线的解析式为yx+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；如图，同可求出F的坐标为（4-7，0）总之，符合条件的F点共有4个【点评】本题

20、是二次函数和一次函数以及平行四边形个的判定的综合应用，重点考查了数形结合以及分类讨论的思想方法7如图，已知抛物线E：yx24的图象与直线l：y2交于A、C两点，B为抛物线yx24的顶点，抛物线F与E关于x轴对称（1）求抛物线F的关系式；（2）x轴下方的F上是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将抛物线E的关系式改为yax2+c（a0，c0），直线l的关系式改为y=-c2，试探索问题（2）【分析】（1）利用关于x轴对称的两点横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可；（2）先由抛物线E的解析式为yx24，求出A，C，B三点的坐标

21、，得到AC22，再根据平行四边形的性质，得出当D点在x轴下方时，D点坐标为（22，4）或（22，4），再把这两个点代入抛物线F的解析式中，发现这两个点满足F的解析式，从而得出所求点D的坐标；（3）把E的解析式系数用a代替，借助参数a来求证这两个点方法跟前面一样【解答】解：（1）抛物线F与E关于x轴对称，抛物线E的解析式为yx24，抛物线F的解析式为yx24，即yx2+4；（2）存在点D，而且还是两个将y2代入yx24，得x242，解得x2，所以A点坐标为（-2，2），C点坐标为（2，2），抛物线yx24的顶点B的坐标为（0，4），所以AC22，所以在x轴下方，当D点坐标为（22，4）或（22，

22、4）时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形将（22，4）代入抛物线F的解析式yx2+4，得左边4，右边（22）2+44，左边右边，点（22，4）在抛物线F上，同理，将（22，4）代入抛物线F的解析式yx2+4，得左边4，右边（22）2+44，左边右边，点（22，4）在抛物线F上综上所述，所求点D的坐标为（22，4）或（22，4）；（3）不存在点D，理由如下：如图，将y=-c2代入yax2+c，得ax2+c=-c2，整理，得x2=-3c2a，a0，c0，c0时原方程无解，点D不存在；c0时，解得x-6ac2a，此时A点坐标为（-6ac2a，-c2），C点坐标为（-6ac2a，-c2），A

23、，C两点均在x轴上方抛物线E：yax2+c的顶点B的坐标为（0，c），B在x轴下方，抛物线F的解析式为yax2cAC=-6aca，在x轴下方，当D点坐标为（-6aca，c）或（-6aca，c）时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形将（-6aca，c）代入抛物线F的解析式yax2c，得左边c，右边a（-6aca）2c5c，左边右边，点（-6aca，c）不在抛物线F上，同理，将（-6aca，c）代入抛物线F的解析式yax2c，得左边c，右边a（-6aca）2c5c，左边右边，点（-6aca，c）不在抛物线F上综上所述，所求点D的坐标不存在【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点

24、有二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中运用数形结合是解题的关键8如图，已知二次函数y（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求点A、B的坐标；（2）求SAOB；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；（2）根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据y（x+2）2，可得函数图象的对称轴；（4）分类讨论：P点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边，可得答案【解答

25、】解：（1）当x0时，y224，即B点坐标是 （0，4），当y0时，（x+2）20，解得x2，即A点坐标是（2，0）；（2）如图，连接AB，SAOB=12|AO|BO|=12|2|4|4；（3）y（x+2）2的对称轴是x2；（4）对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：当P点坐标是（2，4）时，APOB，APOB，四边形PAOB是平行四边形；当P点坐标是（2，4）时，APOB，AP0B，四边形PABO是平行四边形【点评】本题考查了二次函数综合题，利用了自变量与函数值的关系，平行四边形的判定，分类讨论是解题关键9如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+6与x

26、轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BCAB交x轴于点C，且OA和OC的长分别是方程x2+bx+c0的两个根（1）求b，c的值（2）过点B作另一条直线交x轴于点D，使BD平分ABC，求直线BD的解析式；（3）在直线BD上是否存在一点M，过点M作MNBC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据自变量与函数的对应关系，可得A、B点坐标，根据互相垂直的两直线中一次项系数的乘积为1，可得BC的解析式，根据函数值为零，可得C点坐标，根据根与系数的关系，可得答案；（2）根据角平分线分对边所得的线段与三角形的另外两

27、边成比例，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；（3）分类讨论：M1N1CB是平行四边形，根据平行线的一次项系数相等，可得CN的解析式，MN的解析式，根据M点的坐标满足MN的解析式，可得M点的坐标；当M2N2BC是平行四边形，根据MBy轴，可得M点的横坐标，把M点的横坐标代入BD的解析式，可得答案【解答】解：（1）当y0时，12x+60，解得x12，即A（12，0），当x0时，y6，即B（0，6）过点B作直线BCAB交x轴于点C，得BC的解析式为y2x+6，当y0时，2x+60，解得x3，即C（3，0），OA的长为12，OB的长为3OA和OC的长分别是方程x2+bx+c0的两个根，得b12+

28、3，b15，c12336，b15，c36；（2）设D（a，0），由线段的和差，得AD（a+12），BD（3a），由勾股定理，得AB=(-12)2+62=65，BC=62+32=35，由BD平分ABC，得ADBD=ACBC，即a+123-a=6535=2，解得a2，即D（2，0），设BD的解析式为ykx+b，将B、D点坐标代入解析式，得b=6-2k+b=0，解得k=3b=6，BD的解析式为y3x+6；（3）设M（a，3a+6），如图1：当M1N1CB是平行四边形时，N1CBD，M1N1BC，设CN1的解析式为y3x+b，将C（3，0）代入函数解析式，得33+b0，解得b9，即N1（0，9），M1

29、N1的解析式为y2x9，将M（a，3a+6）代入函数解析式，得2a93a+6，解得a3，3a+63，即M1（3，3）；如图2：当M2N2BC是平行四边形时，M2Cy轴，M2的横坐标与C点的横坐标相等，把x3代入BD的解析式，得y33+615，即M2（3，15）综上所述：在直线BD上存在一点M，过点M作MNBC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形，M1（3，3），M2（3，15）【点评】本题考查了一次函数综合题，利用了函数与自变量的对应关系，得出A、B、C的坐标，利用了根与系数的关系，角平分线的性质，平行线的性质：平行线的一次项的系数相等，运用知识点较多，综合性较强，题目有

30、一定难度10如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-12x2+32x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C若点N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？【分析】求出求出A、B、C三点坐标，画出图形即可解决问题【解答】解：存在理由如下，对于抛物线y=-12x2+32x+2，令y0得-12x2+32x+20，解得x1或4；令x0，得y2，B（1.0），A（4，0），C（0，2）对称轴x=32如图所示，当以AC为边时，易知点M的横坐标为112或-52，此时M1（112，-398），M2（-52，-398）当以AC为

31、对角线时，易知点M的横坐标为52，此时M3（52，218），综上所述，当点M的坐标为（112，-398）或（-52，-398）或（52，218）时，存在以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形【点评】本题考查二次函数的应用、平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型11如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线yx+m与该二次函数的图象交于A、B两点，与对称轴交于D（m，2），其中B点在y轴上（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个一次函数的图象交于E点，设线段PE的长为

32、h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）若点P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象仍交于E点，在直线AB上是否存在一点P，使得以D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把D（m，2）代入yx+m，得到2m+m，得m1，所以直线解析式为yx+1，得点B坐标（0，1），因为二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），所以可以假设二次函数解析式为ya（x1）2，把B（0，1）代入即可解决问题（2）PE的长实际是直线AB的解析式与抛物线的差由此可得出h，x的

33、函数关系式，自变量的取值范围由图象即可解决（3）先求出D点的坐标和CD的长，由于四边形PDCE是平行四边形，因此CDPE，将CD的长代入（2）的函数关系式中，可得出一个关于x的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的P点，如果有解，那么求出的x就是P的横坐标，进而可根据直线AB的解析式求出P点的坐标【解答】解：（1）把D（m，2）代入yx+m，得到2m+m，m1，直线解析式为yx+1，点B坐标（0，1），二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），可以假设二次函数解析式为ya（x1）2，把B（0，1）代入得a1，抛物线的解析式为y（x1）2即yx22x+1；（2）由y=x+1y=x2-2x+1解得x=

34、0y=1或x=3y=4，点A坐标（3，4）h（x+1）（x22x+1）x2+3x（0x3）；（3）要使四边形DCEP是平行四边形，必须有PEDC，yx+1经过点D，D（1，2），|x2+3x|2，x23x+20或x2+3x2，解得x2或x1或3172，当x1时，y2，P（1，2）与D点重合，故舍去，当点P的坐标为（2，3）或（3+172，5+172）或（3-172，5-172）时，四边形DCEP是平行四边形；【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型12如图，在平面直角坐标系中，A

35、OB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线yx对称，反比例函数y=kx（x0）图象经过点A，点P是直线yx上一动点（1）B点的坐标为（3，1）；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+QF+QB的值最小时，求出Q点坐标【分析】（1）根据点（a，b）关于yx对称的点的坐标为（b，a）直接写出答案即可；（2）首先求得反比例函数的

36、解析式，然后设P（m，m），分若PC为平行四边形的边和若PC为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点C的坐标；（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，利用四边形AOBP是菱形，得到SAOPSAOQ+SAPQ，从而得到12POAD=12AOQE+12APQF，确定QE+QF=POADAO为定值，从而求解【解答】解：（1）B点的坐标为（3，1）；（2）反比例函数y=kx（x0）图象经过点A（1，3），k133，反比例函数的解析式为y=3x，点P在直线yx上，设P（m，m）若PC为平行四边形的边，点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，点C在点P的下方，则点C的坐标为（

37、m+2，m2）如图1，若点C在点P的上方，则点C的坐标为（m2，m+2）如图2，把C（m+2，m2）代入反比例函数的解析式得：m7，m0，m=7，C1（7+2，7-2），同理可得另一点C2（7-2，7+2）；若PC为平行四边形的对角线，如图3，A、B关于yx对称，OPAB此时点C在直线yx上，且为直线yx与双曲线y=3x的交点，由y=xy=3x解得x1=3y1=3，x2=-3y2=-3（舍去）C3（3，3）综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：C1（7+2，7-2），C2（7-2，7+2），C3（3，3）；（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，如图4，四边形AOBP是菱形，AOAPSAOPSAOQ+SAPQ，12POAD=12AOQE+12APQFQE+QF=POADAO为定值，要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，当QBPO时，QB最小，所以D点即为所求的点，A（1，3），B（3，1）D（2，2），当QE+QF+QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）【点评】本题考查了反比例函数的综合知识，本题中涉及了分类讨论的数学思想，难度较大，这也是中考的热点题型之一