专题23.2 解直角三角形【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题23.2 解直角三角形【十大题型】【沪科版】【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】1【题型2 构造直角三角形解直角三角形】4【题型3 网格中解直角三角形】9【题型4 坐标系中解直角三角形】15【题型5 四边形中解直角三角形】22【题型6 利用解直角三角形求不规则图形的面积】26【题型7 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】31【题型8 解直角三角形的应用之俯角仰角问题】37【题型9 解直角三角形的应用之方向角问题】41【题型10 解直角三角形的应用之实物建模问题】48【知识点 解直角三角形】已知条件图形解法对边邻边斜边ACBb已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一

2、条直角边【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】【例1】（2023秋上海青浦九年级校考期中）如果AD是RtABC的斜边BC上的高，BC=a，B=，那么AD等于（）AasincosBacos2Casin2Dasintan【答案】A【分析】根据题意画出图形，再由锐角三角函数的定义及三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：如图所示，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，BC=a，B=，AC=cos，AB=cos，ADBC，BCAD=ACAB，AD=ACABBC=sincos=sincos，故选：A【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键【变式1-1】（2023秋陕西西

3、安九年级校考期中）如图，在RtABC中，B=90，E是BC边上一点，过点E作EDAC，垂足为D，AB=4，DE=3，C=30，求BE的长【答案】43-6【分析】在RtCDE中，CE=DEsin30=6，在RtABC中，求出BC=ABtan30=43，即可得到BE的长【详解】解：在RtCDE中，sinC=DECE，DE=3，C=30，CE=DEsin30=6，在RtABC中，tanC=ABBCAB=4，BC=ABtan30=43，BE=BC-CE=43-6【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键【变式1-2】（2023福建泉州校联考模拟预测）如图，在ABC

4、中，B=90，A=30D为线段AB上的动点(1)若D运动到某个位置时，CDB=60，CD=10米，求BC的长度(2)若点D运动到某个位置时，CDB=45，AD=6米求BC的长度（结果可保留根号）【答案】(1)53米(2)33+1米【分析】（1）在ABC中，在RtABC中利用正弦函数即可（2）设BC=x，则CB=BD=x，在RtABC中利用三角函数即可；【详解】（1）解：在ABC中，B=90，sinCDB=BCCD，CD=10米，则BC=sinCDBCD=sin6010=3210=53答：此时BC长为53米.（2）解：设BC=x，在RtCBD中，CDB=45则CBD是等腰直角三角形，CB=BD=

5、x在RtABC中，B=90，tanA=BCAB，tan30=xAB，则AB=xtan30=3xAD=AB-BD=3x-x=6x=33+1答：BC的长度为33+1米【点睛】本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是解题的关键【变式1-3】（2023秋广西梧州九年级统考期末）如图，在RtABC中，C=90，AC=8，sinB=45，D为线段BC上一点，并且CD=2，求BD及cosDAC的值【答案】BD=4，cosDAC=41717【分析】根据锐角三角函数关系得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，即可得出BD的长，直接利用勾股定理得出AD的长，再根据锐角三角函数

6、关系得出答案【详解】解：在RtABC中，sinB=ACAB=45，AC=8，AB=10，BC=AB2-AC2=6，又BD=BC-CD，CD=2，BD=6-2=4，在RtACD中，AD=AC2+DC2=64+4=217，cosDAC=ACAD=8217=41717【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确利用锐角三角函数关系求出是解题关键【题型2 构造直角三角形解直角三角形】【例2】（2023秋广西梧州九年级统考期末）已知在ABC中，AB=122，AC=13 ，cosB=22，则BC的长（）A7B8C8或17D7或17【答案】D【分析】过A作ADBC交BC于D，可求 BD122=22，AD=BD，

7、从而可求BD=AD=12，CD=AC2-AD2=5，即可求解；过A作ADBC交BC的延长线于D，由BC=BD-CD即可求解【详解】解：如图，过A作ADBC交BC于D， cosB=22，BDAB=22，B=45， BD122=22，AD=BD，BD=AD=12，CD=AC2-AD2=132-122=5，BC=BD+CD=17；如图，过A作ADBC交BC的延长线于D，BD=AD=12，CD=5，BC=BD-CD=7；综上所述：BC的长为7或17故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键【变式2-1】（2023秋上海静安九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将ABC沿角平分线

8、BE所在直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么EBC的余弦值为 .【答案】31313【分析】设AM与BE交点为D，过M作MFBE交AC于F，证出MF为BCE的中位线，由三角形中位线定理得出MF=12BE，由翻折变换的性质得出：AMBE，AD=MD，同理由三角形中位线定理得出DE=12MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=12AM=2a，利用勾股定理求出BM，根据余弦的定义即可得出结果【详解】解：设AM与BE交点为D，过M作MFBE交AC于F，如图所示：M为BC的中点，F为CE的中点，MF为BCE的中位线，MF=12BE，由翻折变换的性质得：

9、AMBE，AD=MD，同理：DE是AMF的中位线，DE=12MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，BD=3a，MD=12AM=2a，BDM=90，BM=BD2+DM2=13a，cosEBC=BDBM=3a13a=31313故答案为：31313【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=12BE，DE=12MF是解决问题的关键【变式2-2】（2023江苏统考中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到ABC，则tanACB的值是 【答案】2

10、33【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为120，设正六边形的边长为1，求得CD,AD，根据正切的定义，即可求解【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，正六边形对边互相平行，且内角为120，EDF=30,ADB=90过点E作EGFD于G，FD=2FG=2EFcos30=3设正六边形的边长为1，则CD=3，AD=2FD=23，tanACB=ADCD=233故答案为：233【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键【变式2-3】（2023秋上海静安九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，ABC中，AB=AC=5，BC

11、=6，BDAC于点D，将BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么EFD的正切值是 【答案】12【分析】由题意画图如下，过A作AQBC于Q，过D作DPBC于P，DHBF于H，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得CBA=BCA，BQ=CQ=3，AQ=4，利用三角形的面积公式求得BD=245，进而利用勾股定理和锐角三角函数求得CD=185，DP=7225，CP=5425，则BP=9625，由旋转性质和矩形的判定与性质证明四边形BPDH是矩形得到BH=DP=7225，DH=BP=9625，则FH=4825，利用平行线性质证得EFD=FDH，求解t

12、anFDH=FHDH=12即可求解【详解】解：由题意画图如下，过A作AQBC于Q，过D作DPBC于P，DHBF于H，AB=AC=5，BC=6，CBA=BCA，BQ=CQ=3，则AQ=AB2-BQ2=52-32=4，由SABC=12BCAQ=12ACBD得BD=BCAQAC=645=245，CD=BC2-BD2=62-2452=185，sinC=AQAC=DPCD，cosC=CQAC=CPCD，DP=41855=7225，CP=31855=5425，则BP=BC-CP=9625，由旋转性质得BF=BD=245，BFE=BDC=90，DBF=CBA，FBC=DBF+CBD=CBA+CBD=C+CB

13、D=90，FBC=BPD=BHD=90，四边形BPDH是矩形，BH=DP=7225，DH=BP=9625，FH=BF-BH=245-7225=4825，BFE=BHD=90，EFDH，EFD=FDH，在RtFHD中，tanFDH=FHDH=12，tanEFD=12，故答案为：12【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用锐角三角函数寻求边角关系是解答的关键【题型3 网格中解直角三角形】【例3】（2023湖北武汉统考三模）如图是由小正方形组成的88网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C两个点是格点仅

14、用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；(2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；(3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tanACG=47【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据网格特点先作线段AB的中点D，然后作AC的垂线，交AC于点E，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出AD=DE；（2）连接BC，利用正方形网格确定BC中点，然后连接点A与中点，延长，利用网格及矩形的对角线即可确定点F；（3）根据网格的特点将线段AC绕点A逆时针旋转90

15、，然后利用网格使得两个相似三角形的比为4:3，连接点C与交点交AB于点G，则点G即为所求【详解】（1）解：解：如图所示，点D,E即为所求； （2）如图所示：CF即为所求；（3）如图所示：点G即为所求；【点睛】本题考查了正切的定义，无刻度直尺作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键【变式3-1】（2023秋江苏苏州九年级统考期中）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则APD的正切值为 【答案】3【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CMAB，从而 可得APDNCD，然后先利用勾股定理的

16、 逆定理证明CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN，由题意得：CMAB，APDNCD，由题意得：CN2=12+12=2，DN2=32+32=18，CD2=22+42=20，CN2+DN2=CD2，CDN是直角三角形，tanDCN=DNCN=322=3，APD的正切值为：3故答案为：3【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键【变式3-2】（2023秋福建泉州九年级统考期末）如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AB、CD交于点O，则cosBOD的值为 【答案】55【分析】连

17、接AE、BE，利用正方形的性质证明CDAE、AEB=90，这样把求BOD的余弦值转化为求BAE的余弦值，在RtABE中，利用勾股定理和直角三角形的边角关系求解；【详解】解：如图，连接AE、BE，根据勾股定理，得AE=2，AB=10，AE、BE、CD都是正方形的对角线，BCD=CBD=45，CDB=90，同理AEB=90，CDAE，BODBAE，在RtABE中，cosBAE=AEAB=210=55；故答案为：55【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型【变式3-3】（2023湖北武汉统考模拟预测）如图是由

18、小正方形组成的86网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示(1)在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点先将点C绕点D旋转180得到点F，画出点F；再在边AB上画点G，使EGBC；(2)在图（2）中，在边AB上找一点P，使PA=PC；再在线段AC上找一点Q，使tanABQ=34【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）点C绕点D旋转180即延长CD即可找到点F，最后构造平行四边形ABCF即可解决问题；（2）先构造正方形，然后找到对角线交点和AC中点，连接两点的直线与AB的交点即为所作点P；点Q就是ABC

19、边AC高的垂足【详解】（1）如图，如图（1），根据网格可知CD=DF,AD=BD，BH=CE，四边形ACBF是平行四边形，ACBF四边形CEHB是平行四边形，EHBC，即有EGBC，如图（1）点F、G即为所求；（2）如图，如图（2），根据网格可知，四边形ABEF为正方形，AQ=CQ，OA=OC=OE=OF，点O在AC垂直平分线上，点S在AC垂直平分线上，MN垂直平分AC，PA=PC，根据网格易得：BAI=90，AB=AI，H是AI的四等分点，连接BH交AC于点Q，AH=34AI=34AB在RtABH中，tanABH=AHAB=34ABAB=34，即tanABQ=34，如图（1）点 P、Q 即为

20、所求；【点睛】本题考查无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握平行四边形，正方形的性质和判定，垂直平分线的性质，锐角三角函数的应用【题型4 坐标系中解直角三角形】【例4】（2023河南洛阳校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，BOC=60，顶点C的坐标为(a,3)，y=kx的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DBx轴时，k的值是（）A-23B-33C-43D-63【答案】C【分析】过点C作CEx轴于点E，由BOC=60，顶点C的坐标为(a,3)，可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且AOB=30，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例

21、函数y=kx的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案【详解】解：过点C作CEx轴于点E，顶点C的坐标为(a,3)，OE=-a，CE=3，OC=CEsin60=23，菱形ABOC中，BOC=60，OB=OC=23，BOD=12BOC=30，DBx轴，DB=OBtan30=2333=2，点D的坐标为：-23,2，反比例函数y=kx的图象与菱形对角线AO交于点D，k=xy=-43故选：C【点睛】此题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征注意准确作出辅助线，求出OC是解本题关键【变式4-1】（2023广东湛江岭师附中校联考一模）如图，在ABO中，ABOB，AB=3，OB=1，把

22、ABO绕点O顺时针旋转120后，得到A1B1O，则点A1的坐标为 【答案】1,-3【分析】首先根据勾股定理得到AO=OB2+AB2=2，然后求出A=30，AOB=60，然后利用旋转的性质得到AOA1=120，OA=OA1，进而得到点A和点A1关于x轴对称，进而求解即可【详解】ABOB，AB=3，OB=1，AO=OB2+AB2=2，A1,3，sinA=OBOA=12，A=30，AOB=60，如图所示，把ABO绕点O顺时针旋转120后，得到A1B1O，AOA1=120，OA=OA1，A1OB=60，点A和点A1关于x轴对称，A1,3，A11,-3故答案为：1,-3【点睛】本题考查了坐标与图形变化-

23、旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标是解题的关键【变式4-2】（2023秋黑龙江哈尔滨九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点BOB=3，tanBAO=12(1)求直线AB的解析式；(2)若点C在x轴上方的直线AB上，AOC的面积为15，求tanBOC【答案】(1)y=12x+3(2)45【分析】（1）利用tanBAO=12求出OA，再利用待定系数法求AB的解析式；（2）过点C作CHx轴于点H，根据AOC的面积求出CH，再根据一次函数的性质求出OH，则tanBOC =tanOCH=OHCH【详解】（1）解

24、： OB=3，点B在y轴正半轴上， B0,3， tanBAO=12， OA=OBtanBAO=312=6，点A在x轴的负半轴上， A-6,0，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A-6,0，B0,3代入，得：-6k+b=0b=3，解得k=12b=3，直线AB的解析式为y=12x+3，（2）解：如图，过点C作CHx轴于点H，则CHOB， SAOC=12OACH， CH=2SAOCOA=2156=5，点C的纵坐标为5，点C在直线y=12x+3上，将y=5代入，得12x+3=5，解得x=4点C的横坐标为4，即OH=4， tanOCH=OHCH=45， CHOB， OCH=BOC， tanBOC =t

25、anOCH=45【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形【变式4-3】（2023秋黑龙江哈尔滨九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+6k交x轴于点B，交y轴于点A，AB=2AO(1)如图1，求k的值；(2)如图2，点H在AB上，点F在OB上，连接FH、OH，且FH=OH，过点F作AB的垂线，垂足为点S，设点H的横坐标为t，-3t-1，线段SH的长为d，求d与t之间的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，将线段OH绕点O顺时针旋转60得到线段OE，连接AE并延长交x轴于C，连接HC，点K是HC的中点，连接EK

26、，当tanSHF=310tanOEK时，求SHF的面积【答案】(1)k=33(2)d=-33t+3(3)563【分析】（1）令y=0求得B(-6,0)，再根据直角三角形的性质可得ABO=30，在RtAOB中，利用锐角三角形函数求得OA=23，即A0,23，把点A0,23代入直线y=kx+6k即可求解；（2）过点H作HKx轴，由（1）可知，OB=6，ABO=30，由FH=OH，HKx轴，可得FK=KO=-t，从而可得BK=6+t，BF=6+2t，在RtBKH和RtBFS中，利用锐角三角形求得BH=43+23t3，BS=33+3t，即可求解；（3）连接HE，连接OK并延长，交AC于点L，过点H作H

27、GAO于点G，根据旋转的性质可得OHE是等边三角形，则A,H,O,E四点共圆，证明AOBAOC，根据点K是HC的中点，进而得出AOL是等边三角形，KL=12AH，证明AHGEKL得出EK=HG=-t，进而根据tanSHF=310tanOEK，列出方程，解方程即可求解【详解】（1）解：令y=0可得，kx+6k=0，解得x=-6，B(-6,0)，OB=6，AB=2AO，AOB=90，ABO=30，在RtAOB中，tan30=OAOB=33，OA=23，A0,23，将点A0,23代入直线y=kx+6k得，6k=23，解得k=33；（2）解：如图，过点H作HKx轴， 点H的横坐标为t，HKx轴，KO=

28、-t，又FH=OH， FK=KO=-t，由（1）可知，OB=6，ABO=30，BK=6+t，BF=6+2t，在RtBKH中，cos30=BKBH=32，BH=43+23t3，在RtBFS中，cos30=BSBF=32，BS=33+3t，d=HS=BH-BS=43+23t3-33-3t=3-3t3；（3）解：连接HE，连接OK并延长，交AC于点L，过点H作HGAO于点G，线段OH绕点O顺时针旋转60得到线段OE，HOE=60，则OHE是等边三角形，HAO=HOE=60，A,H,O,E四点共圆，OAC=OHE=60在AOB与AOC中，BAO=CAOAOB=AOCAO=AOAOBAOCOB=OC，A

29、C=AB，点K是HC的中点，OK=12BH=33t+23，且OKAB（中位线）KLAB，K为MC的中点，则ALLC=HKKCAL=LC则AOL是等边三角形，KL=12AH，HAG=60,AGHG，AHG=30AG=12AH=KL，又AGH=EKL=90，AHGEKL，EK=HG=-t，BF=6+2tFS=12BC=3+t，tanSHF=SFSH=3+t3-33t，tanOEK=OKEK=33t+23-t，tanSHF=310tanOEK，即3+t3-33t=31033t+23-t解得：t1=-2,t2=-1（不合题意，舍去）SH=3+233=533，SF=3-2=1SSHF=12SHSF=56

30、3【点睛】本题考查了一次函数与结合图形，三角函数的定义，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程，同弧所对的圆周角相等，列函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键【题型5 四边形中解直角三角形】【例5】（2023海南儋州海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EFAE交BC于点F连接AF交BE于点O，若AB=AE，则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 【答案】 AFBD 94【分析】先证RtABFRtAEF可得BAF=EAF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AFBD，再由面积法可求A

31、O=125的长，进而求得BO=95，再求得cosCBD=BCBD=BOBF=45即可解答【详解】解：四边形ABCD为矩形，ABC=BAD=90AB=3，AD=4，BD=AB2+AD2=16+9=5BC=AD=4，EFAE，AEF=90在RtABF和RtAEF中，AB=AE,AF=AF,ABFAEFHLBAF=EAF又AB=AE，AFBD12ABAD=12AOBD，AO=ABADBD=125BO=AB2-AO2=9-14425=95，cosCBD=BCBD=BOBF=45，BF=54BO=5495=94故答案为AFBD，94【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、

32、解直角三角形等知识点，灵活运用相关判定、性质是解答本题的关键【变式5-1】（2023秋陕西渭南九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED，AB=3，ABE=30，DE的长为（）A1B2C3D2【答案】A【分析】由矩形性质可得AB=CD=3，A=D=90，由角平分线定义和直角三角形的性质可得DCE=30，由直角三角形的性质可求解【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB=CD=3，A=D=90，ABE=30，AEB=60，BED=180-60=120，EC平分BED，DEC=12120=60，DCE=30，tanDCE=DECD=33，DE=1故选：A【点睛】本题考查了矩

33、形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推论是解答本题的关键【变式5-2】（2023浙江模拟预测）已知菱形的一个内角为60，一条对角线的长为43，则另一条对角线的长为 【答案】4或12【分析】题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以应分两种情况进行分析求解【详解】解：如图，菱形ABCD中，ABC=60，若AC=43，ACBD，ABF=12ABC=30，AF=12AC=23,BF=12BD，BF=AFtan30=233=6，BD=2BF=12；若BD=43，ACBD，ABF=12ABC=30，AF=12AC,BF=12BD=23，AF=BFtan30=2，

34、AC=2AF=4；故答案为：4或12【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形，熟练掌握菱形的性质、灵活应用分类思想是关键【变式5-3】（2023黑龙江哈尔滨统考模拟预测）如图，已知平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE、DE，若AD=DE，AE=DC，BE=4，tanB=3，则EC的长为 【答案】6【分析】作AFBE,DGAE，根据等腰三角形的性质结合tanB可求AE；根据ADCB可得B=AEB=DAE，再次利用等腰三角形的性质结合tanDAE即可求AD，进一步可求EC的长【详解】解：作AFBE,DGAE，如图所示：AE=DC,AB=DCAB=AE,B=AEBADBCAEB=DAE

35、B=AEB=DAEBE=4BF=EF=2tanB=AFBF=3AF=6,AB=AE=AF2+BF2=210AD=DE ,DGAEAG=EG=10tanDAE=tanAEB=tanB=3DG=310,AD=DG2+AG2=10BC=AD=10BE=4EC=BC-BE=6故答案为：6【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正切的定义，综合性较强作垂线构造直角三角形是解题关键【题型6 利用解直角三角形求不规则图形的面积】【例6】（2023春江苏九年级专题练习）在ABC中，B45，AC4，则ABC面积的最大值为（）A42B424C8D82+8【答案】B【详解】：B=45，AC=b=4，由余弦定理

36、cosB=a2+c2-b22ac 得：22=a2+c2-162ac ，2ac=a2+c2-162ac-16 ，即(2-2)ac16 （当且仅当a=c时取等号），ac162-2=8(2+2)=16+82 ,ABC面积S=12acsinB12(16+82)22=4+42 ,则ABC面积的最大值为4+42,故选B【变式6-1】（2023秋上海九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知：如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tanDCB=35(1)试求cosB的值；(2)试求BCD的面积【答案】(1)cosB=45(2)SBCD=323【分析】（1）作AEBC于E，得

37、BE=CE=4，于是cosB=BEBA=45 ；（2）作DFBC于F，则tanDCF=DFCF=35，设DF=3x，则CF=5x，可求tanB=AEBE=34，于是tanB=DFBF=34，可得BF=4x，从而BC=BF+CF=4x+5x=9x，求得DF=3x=83，SBCD=12DFBC=323【详解】（1）解：作AEBC于E，如图，AB=AC，BE=CE=12BC=128=4，在RtABE中，cosB=BEBA=45 ；（2）作DFBC于F，如图，在RtCDF中，tanDCF=DFCF=35，设DF=3x，则CF=5x，在RtABE中，AE=52-42=3 ，tanB=AEBE=34，在R

38、tBDF中tanB=DFBF=34，而DF=3x，BF=4x，BC=BF+CF=4x+5x=9x，即9x=8，解得x=89，DF=3x=83，SBCD=12DFBC=12838=323【点睛】本题考查锐角三角函数、解直角三角形，等腰三角形性质；灵活运用解直角三角形求解线段是解题的关键【变式6-2】（2023春福建漳州九年级统考期中）阅读下列材料：如图1.在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，可以得到：SABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA证明：过点A作ADBC，垂足为D在RtABD中，sinB=ADcAD=csinBSABC=12aAD=12acsinB同理：SABC=12absinCSABC=12bcsinA SABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA（1）通过上述材料证明：asinA=bsinB=csinC