专题24 全国初中数学竞赛分类汇编卷（五）函数综合（提优）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题24 全国初中数学竞赛分类汇编卷（五）函数综合（提优）1如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABCD，B60，AD2，BC8，点P从点B出发沿折线BAADDC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BCCD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）ABCD【解答】解：由题意得：四边形ABCD为等腰梯形，如下图，分别过点A、D作梯形的高AM、DN交BC于点M、N，则MNAD2，BMNC=12（BCAD）3，则AB2BM6，当点P在AB上运动时（0x6），y=12BQBPsinB=34x2，当x6时，y93，图象中

2、符合条件的有B、D；6x8，y为一次函数；当x8时，点PC6+2+6x14x，QCx8，则PQ222x，而BPQ的高常数，故y的表达式为一次函数，故在B、D中符合条件的为B，故选：B2如图，直线l：y=-3x+39+33与x轴交于点A，与经过点B（2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若DEC2DCE，DBEDEB，则CD2的值为（）A20+413B44+413C20+413或44413D20413或44+413【解答】解：过点D作DFl于点F，延长FD交y轴于点G，如图：B（2，0），点D为点B关于y轴的对称点，D（2，0

3、），BD4DBEDEB，BDDE4对于直线l：y=-3x+39+33，令x0时，y=39+33，令y0时，x=13+3，OH=39+33，OA=13+3，AH=OH2+OA2=(39+33)2+(13+3)2=213+6，AHO30，OGD60，ODG30，DG2OG在RtODG中，根据勾股定理得OD2+OG2DG2，即22+OG24OG2，解得OG=233，G（0，-233）设直线DF的解析式为ykx+b（k0），把G（0，-233），D（2，0）代入得2k+b=0b=-233，解得k=33b=-233，直线DF的解析式为y=33x-233，联立y=-3+39+33y=33x-233，解得x

4、=313+114y=39+134，F（313+114，39+134），DF2（313+114-2）2+（39+134）2=21+3132在RtDEF中，EF2DE2DF242（21+3132）2，解得EF=13-32当点E在点F的下方时，在点E下方直线L上取一点M，使得EMDE4，连接DM，如图：EMDE，EDMEMDDECEDM+EMD，DEC2EMDDEC2DCE，EMDDCE，DCDM在RtDFM中，根据勾股定理得DM2DF2+FM2，即DC2DM2=21+3132+（13-32+4）220+413；当点E在点F的上方时，在点E下方直线L上取一点M，使得EMDE4，连接DM，如图：EMD

5、E，EDMEMDDECEDM+EMD，DEC2EMDDEC2DCE，EMDDCE，DCDM在RtDFM中，FMEMEF4-13-32=11-132，根据勾股定理得DM2DF2+FM2，即DC2DM2=21+3132+（11-132）244413；综上所述，DC2的值为20+413或44413故选：C3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x0）的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE：OE1：2，连接AE，DE，若SADE2，则k的值为（）A5B367C6D647【解答】解：如图，连接AC，BEADDB，SADESBDE2，四边形AOC

6、B是平行四边形，SAOC=12S平行四边形AOCBSAEB4，OE2EC，SAOE=23SAOC=83，设A（0，b），C（a，t），则B（a，b+t），D（12a，2b+t2），E（23a，23t），D，E在反比例函数的图象上，12a2b+t2=49at，整理得t=187b，E（23a，127b），12b23a=83，ab8，k=23a127b=647，故选：D4如图，动点P在函数y=12x(x0)的图象上运动，PMx轴于M，PNy轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：yx+1交于点E、F，则AFBE的值等于 【解答】解：如图，过点E、F分别作ECOA、FDOB，AF：ABDF：OB，BE：

7、ABCE：OA，两式相乘，得AFBEABAB=DFCEOBOA，直线AByx+1交坐标轴与A（1，0）B（0，1）两点，OAOB1，AB=2，P在y=12x(x0)的图象上，PMPNCEDF=12，代入AFBEABAB=DFCEOBOA中，得AFBE22=1211，解得AFBE212=1故答案为：15如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）、B（4，2）（1）点P（x，0）是x轴上的一个动点，当x时，PAB的周长最小；（2）点P（x，y）是y=1x（x0）上的一个动点，当x时，|PB|PA|有最大值（3）点M（m，0）、N（0，n）分别是x轴和y轴上的动点，当nm=时，四边形ABMN的周长最小；

8、（4）点C（x，0）、D（x+2，0）是x轴上的两个动点，当x时，四边形ABCD的周长最小【解答】解：（1）如图1中，作点A关于x轴的对称点A，连接BA交x轴于P，连接PA，此时PAB的周长最小A（1，1），A（1，1），B（4，2），直线BA的解析式为：yx2，令y0，得到x2，P（2，0），故答案为2（2）如图2中，在PAB中，|PB|PA|AB|（等号仅当P、A、B三点共线时取得），A（1，1），B（4，2），直线AB的解析式为y=13x+23，由y=1xy=13x+23，解得x=-3y=-13或x=1y=1（舍弃），满足条件的点P的坐标为（3，-13）故答案为3（3）如图3中，作点A关

9、于y轴的对称点A，点B关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于M，交y轴于N，连接AN，BM，此时四边形ANMB的周长最小A（1，1），B（4，2），直线AB的解析式为y=-35x+25，令x0，得到y=25，令y0，得到x=23，M（23，0），N（0，25），m=23，n=25，nm=2523=35故答案为35（4）如图4中，作AAx轴，使得AACD2，作A关于x轴的对称点A，连接BA交x轴于D，在点D的左边取一点C，使得DC2，连接AC，此时四边形ACDB的周长最小由作图可知A（3，1），B（4，2），直线BA的解析式为y3x10，D（103，0），OCODCD=103-2=43，C（43，

10、0），故答案为436如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x（x0）的图象上，BEx轴于点E若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为 ，点F的坐标为 【解答】解：如图，方法一：作DGx轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，62b），D（a，62a），由对称性可得：BODBOAOBC，OBCBOD，BCOD，OIBI，DICI，DIOI=CIBI，CIDBIO，CDIBOI，CDIBOI，CDOB，SBODSAOB=12S矩形AOCB=922，SBOESDOG=12|k|=32，S四边形BOGD

11、SBOD+SDOGS梯形BEGD+SBOE，S梯形BEGDSBOD=922，12(62a+62b)（ab）=922，2a23ab2b20，（a2b）（2a+b）0，a2b，a=-b2（舍去），D（2b，622b），即：（2b，32b），在RtBOD中，由勾股定理得，OD2+BD2OB2，（2b）2+（32b）2+（2bb）2+（62b-32b）2b2+（62b）2，b=3，B（3，26），D（23，6），直线OB的解析式为：y22x，直线DF的解析式为：y22x36，当y0时，22x-36=0，x=332，F（332，0），OE=3，OF=332，EFOFOE=32，EFOE=12，方法二：如

12、图，连接BF，BD，作DGx轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DFOB，SBOFSBOD=932，SBOE=12|k|32，OEOF=SBOESBOF=23，设EFa，FGb，则OE2a，BE=622a，OG3a+b，DG=623a+b，BOEDFG，OEFG=BEDG，2ab=3a+b2a，ab，a=-b4（舍去），D（4a，624a），B（2a，622a），GHEH=DGBE=12，GHEG2a，ODH90，DGOH，ODGDHG，DGOG=GHDG，624a4a=2a624a，a=32，3a=332，F（332，0）故答案为：12，（332，0）7在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x

13、2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作BC的垂线，交对称轴于E（1）如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D，点A的对应点A，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将FBC沿BC翻折，使点F落在点F处，在平面上找一点G，使得以A、D、F、G为顶点的四边形为菱形直接写出D的坐标【解答】解：（1）当x0时，y3，C（0，3），当y0时，-12

14、x2+2x+30，解得：x=-2或x32，点A（-2，0），B（32，0），点D的橫坐标为32-22=2，点D的坐标为（2，4），OC3，OB32，如图，记对称轴于x轴的交点为点F，则BF32-2=22，BFECOB90，BCBE，CBF+FBE90，FBE+FEB90，CBFFEB，FBEOCB，EFOB=BFOC，即EF32=223，EF4，点E的坐标为（2，4），设直线AE的解析式为ykx+b，则-2k+b=02k+b=-4，解得：k=-2b=-2，直线AE的解析式为y=-2x2，过点P作PQx轴，交直线AE于点Q，设点P的坐标为（x，-12x2+2x+3），则点Q的坐标为（x，-2x2

15、），PQ=-12x2+2x+3（-2x2）=-12x2+22x+5=-12（x22）2+9，SPAESPAQSPEQ=12PQ(xP-xA)-12PQ(xP-xE)=1222PQ=2PQ，SPAE=-22（x22）2+92，当x22，即点P的坐标为（22，3）时，PAE面积最大，作点P和点O关于对称轴的对称点P和O，连接OP，与对称轴交于点M，与y轴交于点N，则OM+MN+NP的最小值即为OP的长，O（0，0），P（22，3）O（22，0），P（22，3），OP=(22+22)2+32=41，设直线OP的解析式为ymx+n，则22m+n=0-22m+n=3，解得：m=-328n=32，直线OP

16、的解析式为y=-328x+32，当x=2时，y=34，点M的坐标为（2，34），OM+MN+NP的最小值为41（2）设直线BC的解析式为ykx+b，则32k+b=0b=3，解得：k=-22b=3，直线BC的解析式为y=-22x+3，记FF与BC的交点为点H，则FHB90，点H为F和F的中点，cosFBHcosCBO，即BHBF=BOBC，BF22，BO32，BC=32+(32)2=33，BH22=3233，BH=433，过点H作HKx轴于点K，则HKB90，sinHBKsinCBO，cosHBKcosCBO，HKBH=COBC，BKBH=BOBC，HK433=333，BK433=3233HK=

17、43，BK=423，OKOBBK32-423=523，点H的坐标为（523，43），点F的坐标为（723，83），点A（-2，0），点D（2，4），AD26，即AD26，设平移的距离为6t，则点A的坐标为（-2+2t，2t），点D的坐标为（2+2t，4+2t），AF2（-2+2t-723）2+（2t-83）26t224t+883，DF2（2t+2-723）2+（4+2t-83）26t2+163，AD224，以AF和DF为邻边时，AF2DF2，6t224t+883=6t2+163，解得：t1，点D的坐标为（22，6）；以AF和AD为邻边时，AF2AD2，6t224t+883=24，解得：t2+2

18、73或t2-273，点D的坐标为（32+2143，8+473）或（32-2143，8-473）；以DF和AD为邻边时，DF2AD2，6t2+163=24，解得：t=273或t=-273（舍），点D的坐标为（2+2143，4+473）；综上所述，点D的坐标为（22，6）或（32+2143，8+473）或（32-2143，8-473）或（2+2143，4+473）8阅读材料：对于正数a、b，有（a-b）20，所以a+b2ab0，即a+b2ab（当且仅当ab时取“”）特别地：a+1a2a1a=2（当且仅当a1时取“”）因此，当a0时，a+1a有最小值2，此时a1简单应用：（1）函数y2x-4x（x0

19、）的最大值为 （2）求函数y9x+1x-1（x1），当x时，最小值为 解决问题：（3）已知P（2，3）是反比例函数y=kx图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y=kx只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B另一直线y=32x+6与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值【解答】解：（1）x+4x2x4x=4，y最大242，故答案为：2；（2）y9x+1x-1=9（x1）+1x-1+929(x-1)1x-1=6，当9（x1）=1x-1时，即：当x=43时，y最小5，故答案为：43，5；（3）把x2，y3代入y=kx得，3=k-2，k6

20、，y=-6x，设点A（a，0），B（0，b），（a0，b0），直线AB的解析式为：y=-bax+b，由-6x=-bax+b得，bx2abx6a0，直线AB与双曲线y=kx只有一个公共点，（ab）2+24ab0，b=-24a，由y=32x+6得：D（0，6），C（4，0），ACa+4，BD6b6+24a，S四边形ABCD=12ACBD=12(a+4)(6+24a)=3（a+16a）+2432a16a+2448，当a=16a，即：a4时，四边形ABCD的面积最小值为：489已知一次函数y1kx+m与二次函数y22ax2+bx+c（a0，b为整数）的图象交于A（222，322）、B（2+22，3+2

21、2）两点，二次函数y22ax2+2bx+c和二次函数y3ax2+bx+c1的最小值的差为1（1）求y1、y2、y3的解析式；（2）P是y轴上一点，过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N，过点M作直线y1的垂线，垂足为G，过点N作直线y3的垂线，垂足为H是否存在这样的点P，使PMMG、PNNH恒成立，若存在，求出P点的坐标，并探究PMPN是否为定值；若不存在请说明理由（3）在（2）的条件下设过P点的直线l交二次函数y2的图象于S、T两点，试求1PT+1PS的值【解答】解：（1）将A（222，322）、B（2+22，3+22）代入到y1kx+m，得，(2-22)k+m=3-22(2+22

22、)k+m=3+22，解得k=1m=1，y1x+1，联立y=x+1y=2ax2+2bx+c，化简得2ax2+（2b1）x+c10，由根与系数关系可得，2-22+2+22=-2b-12a，化简得，8a+2b1，二次函数y22ax2+2bx+c和二次函数y3ax2+bx+c1的最小值的差为1，2ac-b22a-4ac-4a-b24a=1，b0，a=18，y2=14x2+c，将A点坐标代入到y2=14x2+c，得，14(2-22)2+c=3-22，c0，y1x+1，y2=14x2，y3=18x2-1；（2）如图1，设P（0，t），M（u，v），PM2u2+（vt）2u2+v2+t22vt，MGv+1，

23、PMMG，PM2MG2，u2+v2+t22vtv2+2v+1，u2+t22vt2v+1，M点在抛物线y=14x2上，14u2=v，u24v，将上式代入到中，化简得，2v+t22vt10，（t1）（t+12v）0，上式对任意v都成立，t10，t1，P（0，1）时，使PMMG恒成立，同理可得，当P（0，1）时，使PNNH恒成立，P点的坐标为（0，1）时，使PMMG，PNNH恒成立，设NH与直线y1交于点K，直线y1与y轴交点为E，MGy轴，NHy轴，POMGNK，PMPN=EGEK，设直线PM为ykx+1，联立y=kx+1y=14x2，化简得，x24kx40，x=2k2k2+1，M的横坐标为2k+

24、2k2+1，EG=2k+2k2+1，同理，EK4k+4k2+1，PMPN=EGEK=2k+2k2+14k+4k2+1=12，即存在这样的点P（0，1），使PMMG、PNNH恒成立，PMPN=12；（3）设直线l2为ynx+1，S（x1，y1），T（x2，y2），联立y=nx+1y=14x2，化简得，x24nx40，x1+x24n，x1x24，y1+y2n（x1+x2）+24n2+2，y1y2=116(x1x2)2=1，如图2，分别过S，T作直线y1的垂线，垂足为D，Q，由（2）可得，PSSDy1+1，PTTQy2+1，1PT+1PS=1y2+1+1y1+1=y1+y2+2(y1+1)(y2+1

25、)=4n2+41+4n2+2+1=1，即1PT+1PS=110如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y=kx（k0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合（1）如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围（2）若折叠后，ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标【解答】解：（1）如图2中，连接AD交EF于H四边形ABOC是矩形，A（4，3），A90，OBAC4，ABOC3，E，F在y=kx时，可以假设E（k3，3），F

26、（4，k-4），AE4+k3，AF3+k4，AE：AF4：3，AC：BC4：3，AEAC=AFAB，EAFCAB，EAFCAB，AEFACB，EFBC，A，D关于EF对称，点D落在BC上，EF垂直平分线段AD，AHDH，EFBC，AHDH=AEEC，AEEC2如图3中，当点D落在OB上时，连接AD交EF于HEAFABD90，AEFBAD，AEFBAD，AEAB=AFBD，则ABBD=AEAF=43，BDAB43=94，设AFx，则FB3x，FDAFx在RtBDF中，FB2+BD2DF2，（3x）2+（94）2x2，解得x=7532，AF=7532，AE=43AF=258，EC4AE4-258=

27、78，78CE4时，折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），线段CE长度的取值范围为：78CE4（2）ABD是等腰三角形，F与B不重合，ABBD如图4中，当ADBD时，BADABD，由（1）可知BADAEF，ABDAEF作DMOB交AB于M，交OC于N则DMAB，MNAC4，BMDEAF90，BM=12AB=32，AEFMBD，AEMB=AFMD，则MBMD=AEAF=43，MDBM43=98，DNMNMD4-98=238，D（-238，32）如图5中，当ADAB时，作DMOB交AB于M，交OC于N则DMAB，MNAC4，AMDEAF90，由（1）可得BADAEF，AEFMAD，AEAM=

28、AFMD，则AMMD=AEAF=43，设AM4a，则MD3a，在RtMAD中，AM2+DM2AD2，（4a）2+（3a）232，a=35，AM=125，MD=95，BMABAM3-125=35，DNMNMD4-95=115，D（-115，35）综上所述，满足条件的点D的坐标为（-238，32）或（-115，35）11对称变换和平移变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时，更是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是 ；（请直接写出答案）（2）如图

29、，ADl于点D，BCl于点C，且AD2，ABBC4，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是 ；（请直接写出答案）（3）如图，直线ab，且a与b之间的距离为1，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为2，且AB=34，问：在直线a上是否存在点C，在直线b上是否存在点D，使得CDa，且AC+CD+DB的值最小？若存在，请求出AC+CD+DB的最小值；若不存在，请说明理由（4）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，4），线段CD在直线yx上运动，且CD22，则四边形ABCD周长的最小值是 ，此时点D的坐标为 （请直接写出答案）【解答】解：（1）如图1，作点A关于x轴的对称点A（0

30、，1），连接AB交x轴于点P，则点P为所求点，点A、A关于x轴对称，PAPA，PA+PBPA+PBAB为最小；设直线AB的表达式为：ykx+b，则2k+b=1b=-1，解得：k=1b=-1，故直线AB的表达式为：yx1，当y0时，x1，故点P（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）如图2，作点A关于直线l的对称点A，连接BA交直线l于点P，则点P为所求点，点A、A关于直线l对称，则PAPA，PA+PBPA+PBBA为最小，过点A作AMBC于点M，则BMBCCMBCAD422，在RtABM中，AM2AB2BM216412AH2；BHCH+BCAD+BC2+46，在RtABH中，AB=AH2+BH

31、2=12+36=43；即PA+PB的最小值为43，故答案为：43；（3）存在，理由：如图3，将点A向下平移1个单位得到A，连接BA交直线b于点D，过点D作DCa于点C，连接AC，则点C、D为所求点，AACD，且AACD1，四边形AADC为平行四边形，则ACAD，AC+CD+DBAD+CD+BDCD+AB为最小，过点A、A分别作直线a的平行线，分别交过点B与a的垂线于点G、H，则四边形AAGH为矩形，BH2+1+25，AB=34，则AH=AB2-BH2=3，在RtABG中，AGAH3，BG2+1+14，AB=AG2+BG2=9+16=5，AC+CD+DB最小值CD+AB1+56；（4）如图4，将

32、点A沿yx方向向右平移22个单位得到A（8，2），作点A关于直线yx的对称点A（2，8），连接AB交直线yx于点C，将点C沿直线向下平移22个单位得到点D，则点C、D为所求点；连接AD、AC，AACD，且CDAA，则四边形AACD为平行四边形，ADAC，而ACAC，ADAC四边形ABCD周长AB+CD+BC+ADAB+CD+BC+AC4+22+AB为最小，AB=(2-6)2+(8-4)2=42，故四边形ABCD周长最小值为：62+4由A（2，8），B（6，4）可得：直线AB的表达式为：yx+10，则y=xy=-x+10，解得：x=5y=5，故点C（5，5），而CD22，直线yx的倾斜角为45，故点D在点C左方2个单位、下方2个单位的位置，故点D（3，3），故答案为：62+4；（3，3）