专题24 最短路径问题（解析版）.docx

1、专题24 最短路径问题1小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（）ABCD【答案】B【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的对称点亦可）；【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确理解题意是解题的关键2如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE2，P在BD上，则PE+PC的最小值是（）ABC5D以上

2、都不对【答案】A【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解【详解】解：如图，连接AE， 因为点C关于BD的对称点为点A，所以PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，正方形ABCD的边长为3，BE=2，AE=，PE+PC的最小值是故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质和轴对称以及勾股定理的综合运用，根据两点之间线段最短可得出AE就是AP+PE的最小值是解题关键3如图，ABCAED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF3，CF5，则BP+DP的最小值是（）A

3、4B8C10D16【答案】B【分析】依据点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，即可得到CPDP，EFBF3，再根据当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，即可得出BP+DP的最小值【详解】解：如图所示，连接CP，由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，CPDP，EFBF3，BP+DPBP+CP，当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，EF3，CF5，BF+CFBC8，BP+DP的最小值是8，故选：B【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直

4、线的对称点4如图，RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PDAB于点D，则PB+PD的最小值为_【答案】【分析】作点B关于AC的对称点B，过点B作BDAB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB，根据对称性的性质，BP=BP，证明ABCABC，根据SABB=SABC+SABC=2SABC，即可求出PB+PD的最小值【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B，过点B作BDAB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB，根据对称性的性质，则BP=BP，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=

5、3，AB=5，AC=AC，ACB=ACB，BC=BC，ABCABC(SAS)，SABB=SABC+SABC=2SABC，即ABBD=2BCAC，5BD=24，BD=故答案为：【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质5如图，在ABC中，AB6，AC9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则ABP周长的最小值是_【答案】15【分析】如图，连接PC求出PA+PB的最小值可得结论【详解】解：如图，连接PCEF垂直平分线段BC，PB=PC，PA+PB=PA+PCAC=9，PA+PB的最小值为9，ABP的周长的最小值为6+9=

6、15，故答案为：15【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质6如图，在ABC中，AB=AC=4，BAC=120，M是BC的中点，点E是AB边上的动点，点F是线段BM上的动点，则ME+EF的最小值等于_.【答案】3【分析】连接AM，作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，依据勾股定理，即可得到BD=BM=2，再根据当点D，E，F三点共线，且DFBC时，EF+EM的最小值等于DF的长，利用勾股定理求得DF的长，即可得到ME+EF的最小值【详解】如图，连接AM，AB=AC=4，BAC=120，M是BC的中点，AMBC，AM=AB=2

7、，RtABM中，BM=2，作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，则BD=BM=2，DE=ME，当点D，E，F三点共线，且DFBC时，EF+EM的最小值等于DF的长，此时，RtBDF中，DBF=60，D=30，BF=，DF=3，ME+EF的最小值等于3，故答案为3【点睛】此题考查等腰三角形的性质以及最短路线问题，解题关键在于凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点三、解答题7如图所示的正方形网格中，ABC的三个顶点都在格点上（即网格线的交点）（1）请在网格平面内作出ABC关于直线l对称的ABC（2）在直线l上作一点P，使PB+P

8、C的值最小【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用网格特点，分别作出A、B、C关于直线l的对称点A、B、C，从而得到ABC；（2）连接BC交直线l于P，则PB+PC=PB+PC=BC，则根据两点之间线段最短可判断P点满足条件【详解】解：（1）如图，ABC为所作；（2）如图，点P为所作【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的也考查了两点之间线段最短8如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上（1）在图中画出与ABC关于直线L成轴对称的ABC；（2

9、）求ABC的面积（3）在直线L上找出一点P，使得PA+PC的值最小（在图上直接标记出点P的位置）【答案】（1）见解析；（2）2；（3）见解析【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与ABC关于直线L成轴对称的ABC；（2）根据网格即可求ABC的面积（3）连接AC交直线L一点P，使得PA+PC的值最小【详解】解：（1）如图，ABC即为所求；（2）ABC的面积为：222（3）如图，点P即为所求【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问

10、题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；（3）实践应用：如图，在中，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，则的周长最小；（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明，可得，可证得COMEOM，从而得到当点N，M，E共

11、线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当ENAC时，NE最小，再根据，可得，即可求解【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；理由：根据作法得：，当点共线时，最小；（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，则的周长最小；理由：根据作法得：，当点共线时，的周长最小；（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，平分，在和中，OM=OM，COMEOM，当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当ENAC时，NE最小，过点C作CFAB于点F，即，解得：，的最小值为【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟

12、练掌握“将军饮马”及其变形的模型10如图，方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，四边形的顶点与点都是格点(1)作四边形关于直线对称的四边形(2)求四边形的面积：_(3)若在直线上有一点使得最小点位置如图所示，连接，请求出此时的_【答案】(1)图见解析(2)(3)【分析】根据对称的性质作图即可将所求四边形的面积转化为两个小三角形的面积之和，求解即可过作点的对称点，连接，与交于点，此时最小，进而可得出答案（1）如图，四边形即为所求（2）故答案为：（3）过作点的对称点，连接，与交于点，此时最小，故答案为：【点睛】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积公式、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答

13、本题的关键11如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，ABC的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：(1)作出ABC关于直线MN的对称图形；(2)求ABC的面积；(3)在直线MN上取一点P，使得APCP最小（保留作图痕迹）【答案】(1)答案见分析(2)7(3)答案见分析【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可（2）利用割补法求三角形的面积即可（3）过直线MN作点A的对称点A，连接AC，与MN交于点P，此时AP+CP最小【详解】（1）解：如图，DEF即为所求，（2）解：，ABC的面积为7（3）解：如图，点P即为所求，【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问

14、题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键12如图，已知四点A，B，C，D，请用直尺按要求完成作图，(1)作射线AD；(2)作直线BC；(3)连接BD，请在BD上确定点P，使的值最小，依据是_【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析，两点之间，线段最短【分析】（1）根据射线的定义画出图形即可；（2）根据直线的定义画出图形即可；（3）根据两点之间线段最短，连接，交于点【详解】（1）解：射线AD是以点A为端点，延伸方向为AD方向，作射线如图所示；（2）解：直线BC向两方无限延伸，过点B，C作直线BC如图所示；（3）解：连接，交于点，这时最小，理由：两点之间线段最短故答案为两点之间，线段最短【

15、点睛】本题考查直线、射线、线段的定义作图，掌握两点之间线段最短是解题的关键13如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图中四边形ABCD就是一个“格点四边形”（1）求图中四边形ABCD的面积；（2）在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形ABCD关于直线l成轴对称；（3）P为直线l上一点，连接BP、AP，使得BPAP最小，画出点P的位置【答案】（1）6；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）直接利用对角线垂直的四边形面积求法得出答案；（2）利用轴对称的性质找到对应点，再依次连接即可；（3）根据轴对称的性质，连接AF，与直

16、线l交于点P即可【详解】解：（1）四边形ABCD的面积为：；（2）如图，四边形DEFG即为所画；（3）B，F关于l对称，连接AF，与直线l交于点P，则AP+BP=AP+PF，则此时AP+BP最小，即为AF【点睛】此题主要考查了轴对称变换，四边形的面积，最短路径，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型14如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，均在小正方形的顶点上(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；(2)在直线上找一点，使得的周长最小；(3)求的面积【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的ABC；（2）连接BC交

17、直线l一点P，即可使得BPC的周长最小；（3）根据网格利用割补法即可求ABC的面积【详解】（1）解：如图，ABC即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）ABC的面积=【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质15如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图：(1)作直线，射线，连接；(2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹）(3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可；（2）以A为圆心，AB为半径作弧，交AC于点

18、P，点P即为所求；（3）连接DP交AB于点Q，点Q即为所求【详解】（1）解：如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求；（2）解：如图，点P即为所求；（3）解：如图，点Q即为所求【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型16直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CMBM），点P是线段AC上的一个动点，画出BPPM取得最小值时点P的位

19、置，并说明理由；(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点若ACa、CEb、AEc（其中a、b、c为常数），求DPPM的最小值【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可；（2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P；（3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得NDB是直角三角形，且NAE是可以由ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NHDB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NMDB时DP+PM有最小值，最小值为

20、NH的长度，利用SBDN=DNBN=BDNH求出NH即可(1)解：DEC=ACE，DEAC，DCE=B，CDAB，EAC=ACB，AECB；(2)如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P， AB=AQ，ACBQ，AC是BQ的垂直平分线，BP=PQ，BM+PM=PQ+PM=MQ；即此时BPPM取得最小值；(3)如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，AEDB，NEA=NDC，NAE=B，ENA=90，NDB是直角三角形，且NAE是可以由ECD平移得到，AN=CE，连接DP，NP，PM，过N作NHDB于H，DE=NE，CEDN，DP=NP，DP+PM=NP+PM，当N

21、、P、M三点共线，且NMDB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，SBDN=DNBN=BDNH，2cNH=2a2b，解得NH=，DP+PM的最小值为【点睛】此题考查了平行线的判定定理，轴对称求最短路径问题，正确掌握轴对称的性质得到最短路径问题的思路并解决问题是解题的关键17如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上（1）在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的A1B1C1；（2）A1B1C1的面积是 ；（3）利用网格线在直线上求作一点P，使得PA+PC最小，请在直线l上标出点P位置【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析【分析】（1）根据轴对称

22、变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可（2）利用分割法把三角形面积转化为矩形面积减去周围三个三角形面积即可（3）连接AC1交直线l于点P连接PC，此时PA+PC最小【详解】解：（1）如图，A1B1C1；即为所求（2）A1B1C1的面积=33-22-213=4故答案为：4（3）如图，点P即为所求【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型18如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上（1）在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的A1B1C1；（2）在直线l上找出一

23、点P，使得|PAPC|的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P）（3）在直线l上找出一点Q，使得QA+QC1的值最小；（保留作图痕迹并标上字母Q）（4）在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）4【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）连接AC1，延长AC1交直线l于点P，点P即为所求；（3）直线AC与直线l的交点Q即为所求；（4）作线段BC的垂直平分线，如图D1，D2，D3，D4即为所求【详解】解：（1）A1B1C1如图所示，由对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，

24、C1，顺次连结A1B1，A1 C1，B1C1，得到A1B1C1与ABC关于直线l成轴对称；（2）C与C1关于直线l对称，PC=PC1，|PAPC|=|PAPC1|，当P、A、C1三点共线时，|PAPC1|取得最大值，即|PAPC|的值最大，连接AC1，延长AC1交直线l于点P，点P即为所求；（3）C与C1关于直线l对称，QC=QC1，QA+QC1=QA+QC，当A、Q、C三点共线时，QA+QC取得最小值，即QA+QC1的值最小；直线AC与直线l的交点Q即为所求；（4）构成以BC为底边的等腰三角形，则等腰三角形的顶点在线段BC的垂直平分线上，作线段BC的垂直平分线，如图D1，D2，D3，D4即为所求，共4个格点；故答案为4【点睛】本题考查画轴对称图形、轴对称最短路径问题、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型