专题24.10 正多边形和圆【十一大题型】（举一反三）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题24.10 正多边形和圆【十一大题型】【沪科版】【题型1 求正多边形中心角】1【题型2 求正多边形的边数】2【题型3 正多边形与圆中求角度】3【题型4 正多边形与圆中求面积】5【题型5 正多边形与圆中求周长】6【题型7 正多边形与圆中求边心距、边长】8【题型8 正多边形与圆中求最值】9【题型9 尺规作图-正多边形】10【题型10 正多边形与圆中的规律问题】11【题型11 多边形与圆中的证明】12【知识点 正多边形和圆】 （1）正多边形的有关计算中心角边心距周长面积为边数；为边心距；为半径；为边长 （2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为【题型1 求正多边形中心角】【例1】（2023秋广

2、东广州九年级校考期中）下列图形中，绕它的中心旋转60后可以和原图形重合的是（）A正六边形B正五边形C正方形D正三角形【变式1-1】（2023秋河北唐山九年级统考期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）A45B60C90D120【变式1-2】（2023秋河北邯郸九年级统考期末）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（）A8B10C12D16【变式1-3】（2023秋黑龙江大庆九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于O，则PC的度数为 【题型2 求正多边形的边数】【例2】（2023秋河北唐山九年级统考期末）

3、如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若ADB=18，则这个正多边形的边数为（）A10B12C15D20【变式2-1】（2023秋湖北十堰九年级统考期末）如图，AB,BC和AC分别为O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（）A六B八C十D十二【变式2-2】（2023秋山东济南九年级统考期末）如图，四边形ABCD为O的内接正四边形，AEF为O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A6B8C10D12【变式2-3】（2023秋安徽安庆九年级校联考期末）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB=AD,C=120，点E在弧AD上，连接

4、OD、OE、AE、DE（1）AED的度数为 （2）当DOE=90时，AE恰好为O的内接正n边形的一边，则n的值为 【题型3 正多边形与圆中求角度】【例3】（2023秋山西阳泉九年级统考期末）如图，正八边形ABCDEFGH内接于O，P为弧AB上的一点（点P不与点A，B重合），则DPF的度数为（）A22.5B30C40D45【变式3-1】（2023秋浙江嘉兴九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形AGDH都内接于O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（）A15B30C15或165D30或150【变式3-2】（2023秋江苏南京九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE内接于O，AF是O的

5、直径，P是O上的一点（不与点B，F重合），则BPF的度数为 【变式3-3】（2023春辽宁沈阳九年级统考期末）如图所示，在正五边形ABCDE中，F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当DEG的周长最小时，EGD的度数为 【题型4 正多边形与圆中求面积】【例4】（2023春河北衡水九年级校考期中）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、FB为边作正方形，则两个阴影部分的面积差S1-S2的值为（）A0B1C3D2【变式4-1】（2023秋山东滨州九年级统考期中）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=103mm，则这个正六边形的面积为（）A

6、253mm2B753mm2C1503mm2D2033mm2【变式4-2】（2023秋福建宁德九年级统考期末）将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是6，则大正六边形的面积是 【变式4-3】（2023秋广东湛江九年级校考期末）如图，在O的内接正六边形ABCDEF中，AB=3，则图中阴影部分的面积为 【题型5 正多边形与圆中求周长】【例5】（2023秋四川广安九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长等于6，则正六边形的周长为（）A63B66C3D18【变式5-1】（2023秋江苏南京九年级校联考期末）如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形AB

7、CDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 （用含a的代数式表示）【变式5-2】（2023春浙江台州九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义(1)定义我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k3=_；(2)探索分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4、k6；(3)总结随着n的增大，kn具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括【变式5-3】（2023春福建福州九年级统考期中）如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形AB

8、CDEF各边的中点，则六边形GHIJKL与六边形ABCDEF的周长比为 【题型6 正多边形与圆中求半径】【例6】（2023秋河南郑州九年级统考期末）如图，已知O的内接正方形ABCD的边长为1，则O的半径为（）A2B22C1D12【变式6-1】（2023秋青海海东九年级统考期末）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 【变式6-2】（2023秋河南许昌九年级统考期末）若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为 【变式6-3】（2023秋天津红桥九年级统考期末）若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（）A2，1B2，3C3，

9、2D23，3【题型7 正多边形与圆中求边心距、边长】【例7】（2023秋贵州黔西九年级统考期中）已知四个正六边形按如图所示摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F均在O上，连接AD若两个大正六边形的边长均为4，两个小正六边形全等，则小正六边形的边长是（）A3-13B13-1C13+1D23-1【变式7-1】（2023秋河北石家庄九年级校考期中）如图，半径为2的O是正六边形ABCDEF的外接圆，则边心距OM的长度为（）A1B3C32D2【变式7-2】（2023秋山东东营九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长之比为 【变式7-3】（2023秋山东济宁九年级校考期末

10、）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为 【题型8 正多边形与圆中求最值】【例8】（2023秋新疆阿克苏九年级统考期末）如图，已知正六边形ABCDEF的边长是6，点P是AD上一动点，则PE+PF的最小值是 【变式8-1】（2023秋浙江杭州九年级期末）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A3-3B2C4-3D1【变式8-2】（2023春江苏九年级期末）如图，O半径为2，正方形ABC

11、D内接于O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF BE，垂足为F，连接CF.则CF长的最小值为 .【变式8-3】（2023秋浙江台州九年级校联考期末）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是 【题型9 尺规作图-正多边形】【例9】（2023全国九年级专题练习）已如：O与O上的一点A（1）求作：O的内接正六边形ABCDEF；（

12、要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由【变式9-1】（2023江苏九年级假期作业）如图，已知AC为O的直径请用尺规作图法，作出O的内接正方形ABCD（保留作图痕迹不写作法）【变式9-2】（2023江苏九年级假期作业）如图，在O中，MF为直径，OAMF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：作出半径OF的中点H以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点GAG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E已知O的半径R2，则AB2 （结果保留根号）【变式9-3】（2023春全国九年级专题练习）已知正六边形ABCDE

13、F，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形【题型10 正多边形与圆中的规律问题】【例10】（2023春山东威海九年级校联考期中）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为 【变式10-1】（2023秋九年级单元测试）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了

14、解的意义(1)定义我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k3=_；(2)探索分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4、k6；(3)总结随着n的增大，kn具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括【变式10-2】（2023春宁夏银川九年级校联考期中）如图，MON=60，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所

15、在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是 【变式10-3】（2023秋北京海淀九年级期末）已知O的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作O的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形ABCD的内接圆，再作较小圆的内接正方形A1B1C1D1（如图2）；（3）作正方形A1B1C1D1的内接圆，再作其内接正方形A2B2C2D2（如图3）；依次作下去，则正方形AnBnCnDn的边长是 【题型11 多边形与圆中的证明】【例11】（2023秋陕西渭南九年级校考期中）如图，已知AB、BC、CD是O的内接正十边形

16、的边，连接AD、OB、OC，求证：ADBC【变式11-2】（2023秋九年级课时练习）已知，如图，ABC内接于O，AB=AC，BAC=36，AB、AC的中垂线分别交O于点E、F，证明：五边形AEBCF是O的内接正五边形【变式11-3】（2023秋九年级单元测试）（1）已知：如图1，ABC是O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法证明：在AP上截取AE=CP，连接BEABC是正三角形AB=CB1和2的同弧圆周角1=2ABECBP（2）如图2，四边形ABCD是O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ 2PB（3）如图3，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论