专题24.5 弧、弦、圆心角【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题24.5 弧、弦、圆心角【十大题型】【沪科版】【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】1【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】4【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】7【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】12【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】15【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】19【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】23【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】26【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】30【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】34【知识点 弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对

2、的弧相等，所对的弦也相等（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】【例1】（2023秋九年级课时练习）如图所示，在O中，AB=CD，则在AB=CD；AC=BD；AO

3、C=BOD；AC=BD中，正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】D【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可【详解】解：在O中，AB=CD，AB=CD，故正确；BC为公共弧， AC=BD，故正确；AC=BD，故正确；AOC=BOD，故正确；综上分析可知，正确的有4个故选：D【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等【变式1-1】（2023秋全国九年级专题练习）下列说法正确的是（）A相等的圆心角所对的

4、弧相等B在同圆中，等弧所对的圆心角相等C弦相等，圆心到弦的距离相等D圆心到弦的距离相等，则弦相等【答案】B【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心

5、到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等【变式1-2】（2023秋全国九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等 （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等 （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等 （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等

6、，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为30和330所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键【变式1-3】（2023全国九年级专题练习）如图，ABC的顶点A、B、C均在O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（）AAB=OC BBAC+AOC=180CBC=2AC DBAC+12AOC=180【答案】

7、B【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答【详解】解：A、点A是CB中点，AB=AC，AB=AC，无法得出AB=OC，故选项A错误；B、如图：连接BO，AB=AC，BOA=AOC，BO=AO=CO，OAC=BAO=ACO，OAC+ACO+AOC=BAC+AOC=180，故此选项正确；C、AB=AC，AB+ACBC，BC2AC，故选项C错误；D、无法得出BAC+12AOC=180，故选项D错误故选：B【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2023秋九年级课时练习）如图，AB是O的直径，点C

8、，D在O上，AC=AD，AOD=70，则BCO的度数是（）A30B35C40D55【答案】B【分析】首先由AC=AD，AOD=70可得AOC=AOD=70，再由OB=OC可得出OBC=OCB=12AOC=35【详解】解：在O中，AC=AD，AOD=70AOC=AOD=70，OB=OC，OBC=OCB=12AOC=35， 故选：B【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键【变式2-1】（2023秋全国九年级专题练习）如图，A、B、C、D是O上的点，如果AB=CD，AOB=70，那么COD= 【答案】70【分析】根据圆心角、弧、弦三者

9、的关系可解答【详解】解：AB=CD，COD=AOB=70，故答案为：70【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等【变式2-2】（2023秋四川成都九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是AOB的角平分线，AOE=13AOC，则DOE等于（）A100B110C120D130【答案】A【分析】先根据已知易得AB=BC=AC，从而可得AOB=BOC=AOC=120，然后根据已知可求出AOD=60，AOE=40，从而利用角的和差关系，进行计算即

10、可解答【详解】解：半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，AB=BC=AC，AOB=BOC=AOC=120，OD是AOB的角平分线，AOD=12AOB=60，AOE=13AOC，AOE=13120=40，DOE=AOD+AOE=100，故选：A【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键【变式2-3】（2023春内蒙古巴彦淖尔九年级校考期中）如图，EF、CD是O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若EOD=32，则CDA的度数是（）A37B74C53D63【答案】C【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得DOA=74，再根据等

11、腰三角形“等边对等角”的性质求解即可【详解】解：如下图，连接OA，A是劣弧DF的中点，即DA=FA，DOA=FOA，EOD=32，DOA=FOA=12(180-EOD)=74，OD=OA，ODA=OAD=12(180-DOA)=53，即CDA=53故选：C【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2023秋全国九年级专题练习）如图，AB是O的直径，CD、BE是O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（）A

12、3B4C6D8【答案】D【分析】先根据垂径定理的推论得到ABCD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，进而得到CD=2CG=8，再证明BE=CD，则BE=CD=8【详解】解：如图所示，连接OC，点B是CD的中点，AB是O的直径，ABCD，BC=BD，CD=2CG，AB=10，OC=OB=12AB=5，BG=2，OG=3，在RtCOG中，由勾股定理得CG=OC2-OG2=4，CD=2CG=8，点C是BE的中点，BC=EC，BC=EC=BD，BE=CD，BE=CD=8，故选D【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键【变式3-1

13、】（2023秋江苏九年级专题练习）将半径为5的O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（） A2B3C1D2【答案】C【分析】延长OC交O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，根据圆心角、弧、弦、的关系由AC=BC得到AC=BC，可以判断OC是AB的垂直平分线，则AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用点C和点D关于AB对称得出CE=2，最后计算OE-CE即可得出答案【详解】解：延长OC交O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，如图，C为折叠后AB的中点，AC=BC，AC=BC，OA=OB，OC是AB的垂直平分线，AE=BE

14、=12AB=4，在RtAOE中，OE=OA2-AE2=52-42=3,DE=OD-OE=5-3=2，ADB沿AB折叠得到ACB，CDAB，点C和点D关于AB对称，CE=DE=2，OC=OE-CE=3-2=1，故选C【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系【变式3-2】（2023全国九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点ACCB，点D是弧ADB的三等分点BDAD，若直径AB=12，则DC的长为 【答案】213【分析】过D作DEAB于E，求出DOB=60，解直角三角形求出DE、O

15、E的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可【详解】解：如图，过D作DEAB于E，则DEC=90，点C是直径AB的三等分点ACCB，直径AB=12，AC=4，BC=8，OD=OA=OB=6，CO=2，点D是弧ADB的三等分点BDAD，DOB=13180=60，ODE=30，OE=12OD=3，DE=OD2-OE2=62-32=33，CE=OE+CO=3+2=5，DC=DE2+CE2=332+52=213，故答案为：213【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出DOB=60和半径的长度是解此题的关键【变式3-3】（2023江苏苏州统考二模）如图，在直径为10的O中，

16、两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，ABCD，且CD=2AC，若AB=8，则CD的长为 【答案】45【分析】过O作OEAB于E，交O于M，反向延长OE交CD于点F，交O于点N，则AE=12AB=4，连接AN,AO,AM，则MN为O的直径根据平行线的性质得到MNCD推出AN=CD根据勾股定理即可计算答案【详解】解：过O作OEAB于E，交O于M，反向延长OE交CD于点F，交O于点N，如图所示：则AE=12AB=4，连接AN,AO,AM，则MN为O的直径，ABCD，MNCD，CN=12CD，CD=2AC，CN=ACCD=ANAN=CD，在RtAOE中，OE=OA2-AE2=52-42=3，ME=5-

17、3=2，在RtAEN中，AN=AE2+EN2=42+(3+5)2=45，CD=AN=45，故答案为45【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2023秋浙江台州九年级校考阶段练习）如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4 cm，则O的周长为 【答案】8cm【分析】如图，连接OD、OC根据圆心角、弧、弦的关系证得AOD是等边三角形，则O的半径长为DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算【详解】解：如图，连接OD、OCAB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4cm

18、，AD=CD=BC，AOD=DOC=BOC=60又OA=OD，AOD是等边三角形，OA=AD=4cm，O的周长=24=8（cm）故答案为：8cm【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得AOD是等边三角形【变式4-1】（2023秋浙江宁波九年级校考期中）如图，O的一条弦分圆周长为1：4两部分试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)【答案】圆周角ACB36或ADB144.【分析】求弦所对的圆周角，要分情况考虑：当圆周角在优弧上或在劣弧上根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解【详解】如图，弦AB分圆周长为

19、1：4弧AB1536072圆心角AOB72，圆周角ACB36或ADB144【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦以及圆周角定理，要特别注意弦所对的圆周角应分两种情况【变式4-2】（2023秋西林县期末）如图，在O中，AOB60，弦AB3cm，那么AOB的周长为 9cm【分析】由OAOB，得OAB为等边三角形进行解答【解答】解：OAOB，AOB60，OAB为等边三角形，OAOBABAB3cm，AOB的周长为3+3+39（cm）故答案为：9cm【变式4-3】（2023江北区校级开学）如图，O的弦ACBD，且ACBD于E，连接AD，若AD36，则O的周长为 63【分析】接AB，AO，DO，根据O的弦ACB

20、D求出BC=AD，根据圆周角定理求出BACABD，求出ABDBAC=12（180AEB）45，根据圆周角定理求出AOD2ABD90，解直角三角形求出AO，再求出答案即可【解答】解：连接AB，AO，DO，O的弦ACBD，ABC=BAD，BC=AD，BACABD，ACBD，AEB90，ABDBAC=12（180AEB）45，AOD2ABD90，即AOD是等腰直角三角形，AD36，AO2+OD2AD2，AO33，O的周长是233=63，故答案为63【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2023秋九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是O的直径，AB=BC=CD=2

21、，E是AD的中点，则ADE的面积是 【答案】4【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而AED是等腰直角三角形，就可求得ADE的面积【详解】解：连接EO，AB=BC=CD=2，AOB=1803=60，AOB是等边三角形，那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4E是AD的中点，AE=DE，EOAD，EO=2，ADE的面积=1242=4故答案为4【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等【变式5-1】（2023嘉兴二模）如图所示，在1010的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分S甲表示甲的面积，则S甲252【分析】由题意得到

22、ABCD6，ADBC8，求得S弓形ADS弓形BC，S弓形ABS弓形CD，根据三角形的面积公式得到SABE+SDEFSBEF+SCDF，于是得到结论【解答】解：如图，ABCD6，ADBC8，S弓形ADS弓形BC，S弓形ABS弓形CD，SABE+SDEFSBEF+SCDF，S甲S乙=12S圆=252，故答案为：252【变式5-2】（2023秋江苏苏州九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CDOA于点D，CEOB于点E（1）求证：CD=CE；（2）若AOB=120，OA=2，求四边形DOEC的面积【答案】（1）详见解析；（2）3【分析】（1）连接OC，由AC=BC，可得AOC=BOC

23、，又CDOA，CEOB，由角平分线定理可得CD=CE；（2）由AOB=120，AOC=BOC，可得AOC=60，又CDO=90，得OCD=30，可得OD=12OC=1，由勾股定理可得CD=3，可得SCDO=12ODCD=32；同理可得SCBO=32，进而求出S四边形CDOE=SCDO+SCEO=3【详解】（1）证明：连接OCAC=BC，AOC=BOCCDOA，CEOB，CD=CE（2）解：AOB=120，AOC=BOC，AOC=60CDO=90，OCD=30，OC=OA=2，OD=12OC=1CD=OC2-OD2=3，SCDO=12ODCD=32，同理可得SCBO=32，S四边形CDOE=SC

24、DO+SCEO=3【点睛】本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键【变式5-3】（2023浙江自主招生）如图，在半径为1的O上任取一点A，连续以1为半径在O上截取ABBCCD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交O于F则ACF面积是（）A2B3C3+224D3+34【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AGCF于G点，由ABOAOB1，得到AOB60，弧AB的度数60，而ABBCCD，得弧ABD的度数360180，所以AD为O的直径，CFA60；再由ANAFOE，则AD平分N

25、F，EF过O点，弧FD弧FA，得到FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在RtAGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，在RtAGC中，CGAG=62，最后利用三角形的面积公式即可求出ACF面积【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AGCF于G点，连OE交O于N，连AN，如图，ABOAOB1，OAB为等边三角形，AOB60，弧AB的度数60，又ABBCCD，弧AB弧BC弧CD，弧ABD的度数360180，AD为O的直径，CFA60，ANAFOE=2，AD平分NF，EF过O点，弧FD弧FA，FAD为等腰直角三角形，FCAFDA45，FA=22AD=2，在RtAGF中，G

26、F=12AF=22，AG=3GF=62，在RtAGC中，CGAG=62，SACF=12CFAG=12（22+62）62=3+34故选：D【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2023浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）A120B135C150D165【分析】直接利用翻折变换的性质得出BOD30，再利用弧度与圆心角的关系得出答案【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OEAB于点E，由题意可得：EO=12BO，ABDC，可得EBO30，故BOD30，则BOC150，故BC的度数是150故选：C【变式6-1】（20

27、23秋九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且ADOC，连接BC、BD若CD62，则AD的度数为何？（）A56B58C60D62【答案】A【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，利用ADOC，证得12，得到AMDC62，根据弧AD的度数是1806262计算得出结果【详解】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，ADOC，12，AMDC62，AD的度数是180626256，故选：A【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，圆周角定理，正确作出图形利用半圆的度数求解是解题的关键【变式6-2】（2023秋江苏淮安九年级校考期中）如图，在ABC中，C=

28、90，A=20，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求DE的度数【答案】50【分析】连接CD，先根据三角形内角和计算出B=70，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到B=BDC=70，然后再利用三角形内角和计算出BCD=40，再根据直角的性质求出DCE=50，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解【详解】解：如下图，连接CD， C=90，A=20，B=90-20=70，CB=CD，B=BDC=70，BCD=180-70-70=40，DCE=90-40=50，DE的度数为50【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相

29、等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数【变式6-3】（2023春九年级单元测试）如图，已知AB为O 的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE(1)若E=25，求AOC的度数；(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m 【答案】(1)75(2)3【分析】（1）根据AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形底角相等得ODB=DEB=25，再根据三角形的外角定理得到ODC，从而得到OCD=50，再通过三角形外角定理即可得到AOC的度数（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案【详解】（1）解：如下图所示，连接OD，由题意得AB=2OD，AB=2DE，O

30、D=DE，ODB=DEB=25，OC=OD，OCD=ODC，ODC=ODE+DEO=50,OCD=50，AOC=OCE+CEO=50+25=75,AOC=75；（2）解：AC对应的圆心角AOC=75，BD对应的圆心角BOD=25，m=AOCBOD=7525=3【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2023河北统考中考真题）如图，点P1P8是O的八等分点若P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是()AabDa，b大小无法比较【答案】A【分析】连接P1P2,P2P

31、3，依题意得P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P1P7，P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，故b-a=P1P2+P2P3-P1P3，根据P1P2P3的三边关系即可得解【详解】连接P1P2,P2P3，点P1P8是O的八等分点，即P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=P7P8=P8P1P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P4P5+P5P6=P7P8+P8P1=P1P7P4P6=P1P7又P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P

32、6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，b-a=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7-P1P3+P1P7+P3P7 =P1P2+P1P7+P2P3+P3P7-P1P3+P1P7+P3P7=P1P2+P2P3-P1P3在P1P2P3中有P1P2+P2P3P1P3b-a=P1P2+P2P3-P1P30故选A【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键【变式7-1】（2023秋九年级课时练习）如图,AB是O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且CPB=DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.【答案】见解

33、析【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得BOC=BOD，即可根据SAS证得OPCOPD，则PC=PD可以证得【详解】PC=PD.连接OC、OD,则BC=BD,BOC=BOD,又OP=OP,OC=OD,OPCOPD,PC=PD.【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明BOC=BOD是解题的关键.【变式7-2】（2023春九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（）AAB=2CDBAB2CDCABAB，再根据等量代换，即可得出结果【详解】解：如图，作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，AB

34、=2CD，AE=BE=CD，AE=BE=CD，在ABE中，AE+BEAB，ABx2时，dx1dx2B当dx1dx2时，x1x2C当x1+x2=1时，dx1=dx2D当x1=2x2时，dx1=2dx2【答案】C【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解【详解】解：A、当x1x2时，dx1可能大于dx2，故本选项不符合题意；B、当dx1dx2时，x1可能大于x2，故本选项不符合题意；C、当x1+x2=1时，dx1=dx2，故本选项符合题意；D、当x1=2x2时，dx1不一定等于2dx2，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键

35、【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】【例8】（2023江苏九年级假期作业）如图，已知圆内接ABC中，ABAC，D为BAC的中点，DEAB于E，求证：BD2-AD2=ABAC【答案】见解析【分析】在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，由D为BAC的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得DBFDCA，得到AE=EF，于是有BF=BE-EF=BE-AE=CA，因此BD2-AD2=BE2-AE2=(BE+AE)(BE-AE)=ABAC【详解】证明：在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，如图，D为BAC的

36、中点，DB=DC，DBF=ACD，在DBF,DCA中，DB=DCDBF=DCABF=CA，DBFDCA(SAS)，DF=DA，DEAB，AE=EF，BF=BE-EF=BE-AE=CA，在RtBDE,RtADE中，BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，BD2-AD2=BE2-AE2=(BE+AE)(BE-AE)=ABAC，即BD2-AD2=ABAC【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理【变式8-1】（2023秋全国九年级专题练习）如图，在O中，弦AB与弦

37、CD相交于点E，且AB=CD求证：CE=BE【答案】见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立【详解】证明：AB=CD，AB=CD，AB-BC=CD-BC，即AC=BD，B=C，BE=CE；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明【变式8-2】（2023秋全国九年级专题练习）如图，在O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CEAB，连接BE(1)求证：DBCECB(2)若AC=8，ABC=30，求BE的长【答案】(1)见解析(2)47【分析】（1）根据SAS即可证明DBCECB；（2）作DHAC于点H，求出DC=47，再根据DBCECB得DE=CD,从而可得结论【详解】（1）BA=AC，BA=CA，2CE=AC，BA=2CE，D为AB的中点，BA=2BD，BD=CE，