专题25 解方程组-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题25 解方程组一、换元法解方程组【典例】阅读材料：小明在解方程组时，采用了“整体代换”的解法，方法如下：将方程变形为，即，将方程代入得，把代入，解得，方程组的解为.（1）试用“整体代换”法，解方程组；（2）已知x、y满足方程组，求的值.【解答】（1）由得，即，将代入，得，把代入得，原方程组的解为；（2）原方程组可化为，由+2，得，即.【巩固】解方程组.【解答】设，则原方程组可化为，解得，即，原方程组的解为.二、绝对值方程组【典例】解下列方程组（1）；（2）.【解答】（1）若，则原方程组为，解得，矛盾；若，则原方程组为或，解得.（2）由可得，可得，将代入，解得，原方程组的解为.【巩固】解下列

2、方程组（1）；（2）【解答】（1）当时，原方程组可化为，无解；当时，原方程组可化为，解得（不合题意，舍去）；当时，原方程组可化为，解得；当时，原方程组可化为，解得无解；综上，原方程组的解为.（2）由得，将代入得，解得，将代入，得，方程无解，解方程得，原方程组的解为.三、方程组解的情况【学霸笔记】1.关于x、y的方程组的解的讨论，若c、d、n均不为0，则：（1）若，则方程有唯一一组解；（2）若，则方程有无数组解；（3）若，则方程无解；2.对于系数含有字母的二元一次方程组的解的讨论，基本思想是把对方程组的解的讨论转化为一元一次方程的解的讨论.【典例】关于x，y的方程组x+ay+1=0bx-2y+1

3、=0有无数组解，则a，b的值为（）Aa0，b0Ba2，b1Ca2，b1Da2，b1【解答】解：由关于x，y的方程组x+ay+1=0bx-2y+1=0，两式相减得：（1b）x+（a+2）y0，方程组有无数组解，1b0，a+20，解得：a2，b1故选：B【巩固】已知关于x，y的方程组ax+2y=1+a2x+2(a-1)y=3分别求出当a为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解【解答】解：由得，2y（1+a）ax，将代入得，（a2）（a+1）x（a2）（a+2），（1）当（a2）（a+1）0，即a2且a1时，方程有唯一解x=a+2a+1，将此x值代入有y=12(a+1)因而

4、原方程组有唯一一组解；（2）当（a2）（a+1）0且（a2）（a+2）0时，即a1时，方程无解，因此原方程组无解；（3）当（a2）（a+1）0且（a2）（a+2）0时，即a2时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解巩固练习1对于实数，规定新运算：xyax+byxy，其中a、b是常数，等式右边是通常的加减乘除运算已知：21=-2，（3）2=82，则ab的值为（）A622B6+22C4+2D432【解答】解：根据题中的新定义得：2a+b-2=-2-3a+2b+32=82，解得：a=-2b=2，则原式（-2）22+4+22=6+22故选：B2若x=1y=-2，x=-2y=1是方程mx+ny6的

5、两个解，则mn的值为（）A0B2C12D12【解答】解：x=1y=-2，x=-2y=1是方程mx+ny6的两个解，m2n6，2m+n6m6，n6mn6（6）0故选：A3已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=4k+12x+y=5-k的解满足x+y5，则k的值为 【解答】解：方程组x+2y=4k+12x+y=5-k，+得，3x+3y3k+6，即x+yk+2，又x+y5，所以k+25，即k3，故答案为：34对于任意实数a、b、c、d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“”为：（a，b）（c，d）（ac+bd，ad+bc）如果对于任意实数u、v，都有（u，v）（x，y）（u，v），那么（

6、x，y）为 【解答】解：（a，b）（c，d）（ac+bd，ad+bc），（u，v）（x，y）（ux+vy，uy+vx），（u，v）（x，y）（u，v），ux+vy=uuy+vx=v，对于任意实数u、v，该方程组都成立，x1，y0，故答案为x1，y05解方程组：（1）x+23=3y-18=2x+3y11；（2）y3-x+16=32(x-y2)=3(x+y18)【解答】解：（1）整理得：8x-9y=-195x-9y=-22，得：3x3，解得：x1，把x1代入得：89y19，解得：y3，则方程组的解为x=1y=3；（2）方程组整理得：x-2y=-196x+7y=0，6得：19y114，解得：y6，把

7、y6代入得：x1219，解得：x7，则方程组的解为x=-7y=66对于有理数x，y定义新运算：x*yax+by+5，其中a，b为常数已知1*29，（3）*32，求a，b的值【解答】解：由题意得：a+2b+5=9-3a+3b+5=2，解得：a=2b=1答：a为2，b为17已知关于x，y的二元一次方程组3x-y=52ax+3by=-2与2x+3y=-4ax-by=4有相同的解（1）求x，y的值；（2）求a2+b22ab的值【解答】解：关于x、y的二元一次方程组3x-y=52ax+3by=-2与2x+3y=-4ax-by=4有相同的解，可得新方程组3x-y=52x+3y=-4，解这个方程组得x=1y

8、=-2；（2）把x1，y2代入2ax+3by=-2ax-by=4，得2a-6b=-2a+2b=4，解得：a=2b=1，a2+b22ab（ab）218（1）求方程15x+52y6的所有整数解（2）求方程x+yx2xy+y2的整数解（3）求方程1x+1y+1z=56的正整数解【解答】解：（1）观察易得一个特解x42，y12，原方程所有整数解为x=42-52ty=-12+15t（t为整数）（2）原方程化为（xy）2+（x1）2+（y1）22，由此得方程的解为（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）（3）1x1x+1y+1z3x，即1x563x，由此得x2或x3，当x2时

9、，1y1y+1z=56-12=132y，即1y132y，由此得y4，或5或6，同理当x3时，y3或4，由此可得1xyz时，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4组，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，3），（4，3，4）9已知：4x3y6z0，x+2y7z0（xyz0），求代数式5x2+2y2-z22

10、x2-3y2-10z2的值【解答】解：4x3y6z0，x+2y7z0（xyz0），4x-3y=6zx+2y=7z，解关于x、y的二元一次方程，得x=3zy=2z 原式=59z2+24z2-z229z2-34z2-10z2=52z2-4z2=-1310当a，b都是实数，且满足2ab6，就称点P（a1，b2+1）为完美点（1）判断点A（2，3）是否为完美点（2）已知关于x，y的方程组x+y=6x-y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由【解答】解：（1）a12，可得a3，b2+13，可得b4，2ab6，A（2，3）不是完美点（2）x+y=6x-y=2m，x=3

11、+my=3-m，3+ma1，可得am+4，3m=b2+1，可得b42m，2ab6，2m+84+2m6，m=12，当m=12时，点B（x，y）是完美点11我们用a表示不大于a的最大整数，例如：2.52，33，2.53；用a表示大于a的最小整数，例如：2.53，45，1.51解决下列问题：（1）4.5 ，3.5 若x5，则x的取值范围是 ；若y2，则y的取值范围是 （2）如果x+123，求满足条件的所有正整数x（3）已知x，y满足方程组3x+2y=33x-y=-6，求x，y的取值范围【解答】解：（1）由题意得：4.55，3.54故答案为：5，4；x5，x的取值范围是5x6；y2，y的取值范围是3y

12、2；故答案为：5x6，3y2；（2）根据题意得：3x+124，解得：5x7，则满足条件的所有正整数为5，6（3）解方程组得：x=-1y=3，故x的取值范围为1x0，y的取值范围为2y312阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=2123x+25y=27时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：得：6x+6y6，即x+y117得：17x+17y17得：y2，代入得x1所以这个方程组的解是x=-1y=2（1）请你运用小明的方法解方程组1996x+1999y=20022016x+2019y=2022（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+8，（ab）的解是 【解答】解：（1）1996x+1999y=20022016x+2019y=2022，得：20x+20y20，即x+y1，1996：1996x+1996y1996，（）3得，y2，把y2代入得x1所以这个方程组的解是x=-1y=2；（2）ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+8得：（ba）x+（ba）yba，即x+y1，a得：ax+aya，（）4得，y2，把y2代入得x1这个方程组的解是x=-1y=2故答案为：x=-1y=2