专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”如图，P为AB的黄金分割点（APPB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（ ）ABCD2已知点是线段的黄金分割点，且，则长是（ ）ABCD3把米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）ABCD4已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）ABCD5下列说法正确的是（）A每条线段有且仅有一个黄金分割点B黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C若点C把线段AB黄金分割，则AC2ABBCD以上说法都不对6下列说法正确的是（）A每一条线段有且只有一

2、个黄金分割点B黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187下列命题正确的是（ ）A任意两个等腰三角形一定相似B任意两个正方形一定相似C如果C点是线段AB的黄金分割点，那么D相似图形就是位似图形8如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）ABCD9已知点把线段分成两条线段、，且，下列说法错误的是（ ）A如果，那么线段被点黄金分割B如果，那么线段被点黄金分割C如果线段被点

3、黄金分割，那么与的比叫做黄金比D是黄金比的近似值10等腰ABC中，AB=AC，A=36，D是AC上的一点，AD=BD，则以下结论中正确的有（）BCD是等腰三角形；点D是线段AC的黄金分割点；BCDABC；BD平分ABCA1个B2个C3个D4个11在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线，下列结论：ABD，BCD都是等腰三角形；AD=BD=BC；BC2=CDCA；D是AC的黄金分割点其中正确的是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个二、填空题12在线段上，点把线分成两条线段和，若，则点叫做线段的黄金分割点若点是线段的黄金分割点（），当时，的长是_13勾股定理与黄金分割是几何中的双宝

4、，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，ACBC，那么AC的长约为_cm（结果精确到0.1 cm）14把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为_.15古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此若数，则黄金分割比例约为_（精确到0.01）16已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），则AC= .17把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是_cm18已知线段，点是线段的黄金分割点（），那么线段_.（结

5、果保留根号）19已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段 _；_20黄金分割比是，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 21若点C为线段AB的黄金分割点，且ACBC，若AB10，则BC_22若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_cm三、解答题23已知C、D是线段AB上的点，CD(52)AB，ACBD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？24 已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点.25（1）对于实数、，定义运算“”如下：若，求: 的值；（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），若AB4，求AC的长26（1）我

6、们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使APPB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为（填一个实数）：（2）如图，RtABC中，B=90，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E求证：点E是线段AB的黄金分割点27某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比则雕像下部设计的高度应该为_(结果精确到)米 (，结果精确到)28在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与B

7、E交于点P，连接PC(1)证明：ABECAD(2)若CE=CP，求证CPD=PBD(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1A【分析】根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长【详解】解：P为AB的黄金分割点（APPB），AP=AB，AB的长度为8cm，AP=8=（cm），BP=AB-AP=8-（）=故选：A【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB2C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解

8、.【详解】由黄金分割比的定义可知 故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2 (1-)=2-+1=3-.故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值 () 是解题的关键.4A【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度【详解】解：由于P为线段AB2的黄金分割点，且，则故选：A【点拨】本题考查了黄金分割应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的5B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可【详解】A每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误

9、；B黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C若点C把线段AB黄金分割，则AC2ABBC，不正确，有可能BC2ABAC故选B【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键6D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比

10、例中项、黄金分割的概念，是解题的关键7B【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项【详解】解：A、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误；B、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C、如果C点是线段AB的黄金分割点（ACBC），那么，故原命题错误；D、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误；故选B【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键8C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行

11、解答即可【详解】解：根据黄金比的比值，则，依此类推，则线段，故选C【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键9C【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（ACBC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10D

12、【详解】AB=AC，ABC=C=（180-A）=（180-36）=72，AD=BD，DBA=A=36，BDC=2A=72，BDC=C，BCD为等腰三角形，所以正确；DBC=ABC-ABD=36，ABD=DBC，BD平分ABC，所以正确；DBC=A，BCD=ACB，BCDABC，所以正确；BD：AC=CD：BD，而AD=BD，AD：AC=CD：AD，点D是线段AC的黄金分割点，所以正确故选D.11D【解析】试题分析：在ABC，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于点D，可推出BCD，ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题解：如图，AB=AC，A=36，ABC=C=72

13、，BD平分ABC交AC于点D，ABD=CBD=ABC=36=A，AD=BD，BDC=ABD+A=72=C，BC=BD，ABD，BCD都是等腰三角形，故正确；BC=BD=AD，故正确；A=CBD，C=C，BCDACB，即BC2=CDAC，故正确；AD=BD=BC，AD2=ACCD=（AD+CD）CD，AD=CD，D是AC的黄金分割点故正确，故选D考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割12【分析】根据若点是线段的黄金分割点（），则 =计算即可【详解】当PMPN时，PM=MN=，故答案为：【点拨】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键136.2【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一

14、定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，AC:AB0.618，AC=0.61810cm6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比【详解】解：将长度为2米的线段进行

15、黄金分割，较长的线段=（米），故答案为：米.【点拨】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解的关键150.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可【详解】解：（称为黄金分割比例），0.62，故答案为：0.62【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键16【解析】17cm【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=4，然后进行二次根式的运算即可解：较长线段的长=4=（2）cm故答案为（2）cm 18【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点（APBP）故答案为：.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的

16、关键.19cm cm 【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段PA=AB，则PB=AB-PA=AB，然后把AB=2cm代入计算即可【详解】解：P是AB的黄金分割点，较长线段PA=AB，PB=AB-PA=AB，而AB=2cm，PA=cm，PB=cm故答案为：cm；cm【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍200.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位所以0.

17、618033980.618021【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BCAB，代入数据即可得出AC的值【详解】解：由于C为线段AB10的黄金分割点，且ACBC，BC为较长线段；则BC1055故答案为：【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=AB0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个225【解析】P是线段AB的黄金分割点，APBP，AP=AB，AB=10cm，AP=.故答案为点睛：若点P是线段AB的黄金分割点，且APBP，

18、则AP2=BPAB，即AP=AB.23C、D是黄金分割点.【解析】【分析】根据题意求出AC与AB的关系，计算出AD与AB的关系，根据黄金比值进行判断即可【详解】解：C、D是黄金分割点，AC+CD+BDAB，CD(52)AB，ACBD，AC3-52AB，ADAC+CD3-52AB+(52)AB5-12AB，D是AB的黄金分割点，同理C也是AB的黄金分割点【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24见解析【解析】试题分析：先求得AM=5-12，即可得到AMMN=ANAM=5-12，结论得证。MN=1，AN=3-52AM=5-12AMMN=ANAM=5-12点A是MN的黄金分割点

19、考点：本题考查了黄金分割点评：解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52，较长的线段=原线段的5-12。25（1）;（2）6.【分析】（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.(2)根据黄金比值是计算即可【详解】（1）即化简得x2+x=5=-x2-x+4=-5+4=-1（2）点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，BCAB=2()cm,则AC42（）6.【点拨】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.26（1）；（2）见解析【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；（2）设BC=

20、a，根据题意用a表示出AB、AC，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可【详解】解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1x，根据题意得，解得，（舍去），故，故答案为：；（2）设BC=a，则AB=2a，则AC=a，由题意得，CD=BC=a，AE=AD=aa，BE=ABAE=3aa，=，=，=，即点E是线段AB的黄金分割点【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键27【分析】设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m根据雕像上部与下部

21、的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可【详解】解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m依题意，得解得（不合题意，舍去）经检验，是原方程的根雕像下部设计的高度应该为：1.236m故答案为：1.236m【点拨】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键28（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为ABC是等边三角形，所以AB=AC，BAE=ACD=60，又AE=CD，即可证明ABECAD；（2）设则由等边对等角可得可得以及，故；（3）可证可得，故由于可得，根据黄金分割点可证点是的黄金分割点；【详解】证明：(1) ABC是等边三角形，AB=AC，BAE=ACD=60，在ABE与CDA中，AB=AC，BAE=ACD=60，AE=CD，AEBCDA；（2）由（1）知，则，设，则，又，；（3）在和中，又，点是的黄金分割点；【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.