专题27.5 相似（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题27.5 相似（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【知识点1】比例线段定义在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段【知识点2】比例线段的性质（1）基本性质：；（2）合比性质：； （3）等比性质：；【知识点3】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3l4l5，则，.【知识点4】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即如图所示，若，则，.【知识点5】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割其中点叫做线段的黄金分割点，与的比

2、叫做黄金比【知识点6】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【知识点7】相似多边形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似(3) 三边对应成比例的两个三角形相似(4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【知识点8】相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比【知识点9】相似三角形的应用测量物体的高度：利用影长、利用标杆、

3、利用镜子.【知识点10】位似图形的定义性质与画法1. 定义 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似图形的画法：（1）确定位似中心；（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；（3）描出新图形.一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2019青海统考中考真题）如图，直线与这三条平行线分别交于点和点已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（）A B C D2（2022四川巴中

4、统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（）A4 B5 C6 D73（2023山东东营统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，若，则的长为（）A B C D4（2022江苏连云港统考中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（）A54 B36 C27 D215（2023四川遂宁统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（）A B C D6（2021四川内江统考中考真题）在同一时刻，物体的高度

5、与它在阳光下的影长成正比在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（）A B C D7（2022山东东营统考中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（）A B C D8（2021湖南湘西统考中考真题）如图，在菱形中，是的中点，交于点，如果，那么菱形的周长是（ ）A B C D9（2021四川雅安统考中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G若则的值为（）A2 B4 C6 D810（2020新疆九年级统考学业考试）如图，在ABC中，A90，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，

6、若ABCE，且DFE的面积为1，则BC的长为（）A B C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023四川甘孜统考中考真题）若，则 12（2023江苏镇江统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm13（2023山东临沂统考中考真题）如图，三角形纸片中，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 14（2021湖南湘潭统考中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似（任意写出一个满足条件的即可）15（2023吉林长春统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的

7、位似图形，点在线段上若，则和的周长之比为 16（2022辽宁阜新统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是 17（2017上安徽蚌埠九年级统考期中）在中，点在边上，且，点在边上，当 时，以、为顶点的三角形与相似18（2021山东烟台统考中考真题）九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2021广西玉林统考中考真题）如图，在中，在上，（1）求证：；（2）若，求的值20（

8、8分）（2022山东菏泽统考中考真题）如图，在中，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：21（10分）（2015山东滨州统考中考真题）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，ABC与DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：（1）ACEBCD；（2） .22（10分）（2015广西梧州统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EHAB于H（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长23（10分）（2

9、014海南统考中考真题）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连接GE、GF（1）求证： OAE OBG（2）试问：四边形BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由（3）试求：的值（结果保留根号）24（12分）（2015广东珠海中考真题）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=+c经过点E，且与AB边相交于点F（1）求证：ABDODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：M

10、FBD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PDDQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由参考答案：1B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题解：，即，故选【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型2C【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案解：，、两点纵坐标分别为1、3，解得：，点的纵坐标为6，故C正确故答案为：6【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键3C【分析】证明，根据题意得出，

11、进而即可求解解：为等边三角形， ，故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键4C【分析】根据相似三角形的性质求解即可解：ABC与DEF相似，ABC的最长边为4，DEF的最长边为12，两个相似三角形的相似比为1:3，DEF的周长与ABC的周长比为3:1，DEF的周长为3（2+3+4）=27，故选：C【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键5A【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解解：由图得：，设直线的解析

12、式为：，将点代入得：，解得：，直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，当时，位似中心的坐标为，故选：A【点拨】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键6D【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，解得：故这栋高楼的高度为36米故选：【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键7C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D解：，DEFCBF，ADEABC，

13、故A不符合题意；，故B不符合题意，C符合题意；，故D不符合题意；故选C【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键8D【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据菱形的性质可求解解：，是的中点，即，四边形是菱形，；故选D【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键9B【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且ADBE，故可得CEGADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得CEG的面积解：由平移的性质可得：AD=BE，且ADBECEGADG 即

14、 故选：B【点拨】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键10D【分析】过A作AHBC于H，先证明DE为ABC的中位线，DF为ABH的中位线，可得到BC=2DE，AH=2DF，从而得到，进而得到，再由ABCE，可得AB=2，再由勾股定理，即可求解解：如图，过A作AHBC于H，D是AB的中点，AD=BD，DEBC，即AE=CE，DE为ABC的中位线，BC=2DE，DFBC，DFAH，DFDE，BF=HF，DF为ABH的中位线，AH=2DF，DFE的面积为1，DEDF=2，A90，AB=CE，AC=2AB，解得：AB=2或-2（舍去），AC=4，故选：D【点拨】本

15、题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键111【分析】根据比例的性质解答即可解：，故答案为：1【点拨】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质1218【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长解：，故答案为：18【点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值1314【分析】由平行四边形的性质推出，得到，利用相似三角形的性质求解即可解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，四边形平行四边形，平行四边形纸片的周长是， 故答案为：14【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所

16、学知识解决问题14【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题解：根据题意，添加条件，故答案为：【点拨】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键15【分析】根据位似图形的性质即可求出答案解：，设周长为，设周长为，和是以点为位似中心的位似图形，和的周长之比为故答案为：【点拨】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质1627【分析】根据矩形的性质，很容易证明，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积解：四边形是矩形，：，：，即：，故答案为：【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用掌握相

17、似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键17或【分析】分两种情况讨论，分别画出适合的图形，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可解：如解图所示，当时，解得；如解图所示，当时，解得故答案为：或【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键183【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决解：（米），ABDC（米）故答案为：3【点拨】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键19（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易

18、得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解解：（1）证明：，；（2）解：由（1）可知，【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键20见分析【分析】先根据等腰三角形的性质得C=BEC，又由对顶角相等可证得AED=C，再由D=ABC=90，即可得出结论解：证明：C=BEC，BEC=AED，AED=C，ADBD，D=90，D=ABC，【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键21试题分析：（1）、根据ABC与CDE都为等边三角形得出AC=BC，CE=CD，ACB=DC

19、E=60，从而得出ACE=BCD，然后根据SAS判定三角形全等；（2）、根据三角形全等得出BDC=AEC，从而得出GCD和FCE全等，根据全等得出CG=CF，根据等边三角形得出GFCE，从而根据相似得出答案.解：（1）、ABC与CDE都为等边三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=DCE=60，ACB+ACD=DCE+ACD，即ACE=BCD，在ACE和BCD中， ACEBCD（SAS），（2）、ACEBCD， BDC=AEC，在GCD和FCE中， GCDFCE（ASA）， CG=CF，CFG为等边三角形， CGF=ACB=60， GFCE， =考点：（1）、三角形的全等；（2）、三角形相似的

20、性质.22（1）证明见试题解析；（2）【分析】（1）由EQBO，EHAB得到EQN=BHM=90，由EMQ=BMH得到EMQBMH，故QEM=HBM由ASA定理得到APBHFE，故可得出结论；（2）根据勾股定理求出BP的长，由EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再由锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，APBHFE，故EF=BP=，再由EQ=EFQF即可得出结论解：（1）EQBO，EHAB，EQN=BHM=90，EMQ=BMH，EMQBMH，QEM=HBM，在RtAPB与RtHFE中，QEM=HBM，PAB=FHE，AB=EH，APBHFE，HF=AP；（2）由勾股定理得，BP=

21、 =4，EF是BP的垂直平分线，BQ=BP=，QF=BQtanFBQ=BQtanABP=，由（1）知，APBHFE，EF=BP=，EQ=EFQF=【点拨】本题考查了1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质；3勾股定理；4，相似三角形，这是一道综合题，解决此题的关键是对知识点的熟练运用23（1）证明见分析；（2）四边形BFGE是菱形，理由见分析；（3）【分析】（1）根据ASA证明OAE OBG；（2）由“四边相等的四边形是菱形”证明四边形 是菱形；（3）综合运用勾股定理、相似三角形的性质求解解：（1）证明：因为四边形是正方形， OA=OB,AOE=BOG=90BHAF，与中， AOB=BOG,O

22、A=OB,OAE OBG（ASA）OAE=OBG,（2）四边形是菱形，理由如下：在 AHG与AHB中，GAH=BAH，HA=HA，AHG=AHB=90，AHGAHB（ASA），是线段的垂直平分线， 四边形是菱形（3） 设 菱形的边长为 四边形是菱形，在RtGOE中，由勾股定理可得,AC=2a=（2+）b，【点拨】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质、相似三角形性质、勾股定理综合应用是解题的关键24（1）见分析；（2）见分析；（3）（4，0）或（12，0）试题分析：由折叠和矩形的性质可知EDB=BCE=90，可证得EDO=DBA，可证明ABDODE；由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解

23、析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标解：（1）证明：四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知BCEBDE，BDE=BCE=90，BAD=90，EDO+BDA=BDA+DAB=90，EDO=DBA，且EOD=BAD=90，ABDODE；（2）证明：，设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，CE=DE=5x，AB=OC=CE+OE=8

24、x，又ABDODE，DA=6x，BC=OA=10x，在RtBCE中，由勾股定理可得，即，解得x=1，OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，抛物线解析式为y=+3，当x=10时，代入可得y=，AF=，BF=ABAF=8=，在RtAFD中，由勾股定理可得DF= BF=DF，又M为RtBDE斜边上的中点，MD=MB，MF为线段BD的垂直平分线，MFBD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，令y=0，可得0=+3，解得x=4或x=12，M（4，0），N（12，0），过D作DGBC于点G，如图所示，则DG=DM=DN=8，点M、N即为满足条件的Q点，存在满足条件的Q点，其坐标为（4，0）或（12，0）考点：二次函数综合题