专题28 最值模型之阿氏圆模型（解析版）.docx

1、专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=kPB（k1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。【模型解读】如图 1 所示，O的半径为 r，点 A、B都在O 外，P为O上一动点，已知r=kOB， 连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=

2、kr，则可说明BPO与PCO相似，即kPB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。例1（2023山东九年级专题练习）如图，在中，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值_最小值_【答案】 ； 【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证PC

3、DBCP可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在RtACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD=即可；在AC上取CE=，PCEACP可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在RtBCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，CP=2，BC=4， ，又PCD=BCP，PCDBCP，PD=BP，AP+BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在RtACD中，CD=1，CA=6，AD=，AP+BP的最小值为故答案为：在AC上取CE=，连接CP，

4、PE又PCE=ACP，PCEACP，PE=AP，BP+AP=BP+PE，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在RtBCE中，CE=，CB=4，BD=，BP+AP的最小值为故答案为：【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键例2（2023春江苏九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 【答案】2【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，连接、，推得，因为，求出即可求出答案解法2：如图：连接、，在上做点，使，连接，证明，在上做

5、点，使，连接，证明，接着推导出，最后证明，即可求解【详解】解法1：如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，四边形正方形，又， 在与中， 故答案为：2解法2 如图：连接、 根据题意正方形的边长为4，的半径为2， 在上做点，使，则，连接在与中，则 在上做点，使，则，连接在与中， ，则 如图所示连接 在与中，故答案为：2【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键例3（2023广东九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为_【答案】【分析】在AD上截取AH=1.5，根据题意可知，AP=，可得，证AP

6、HADP，可知PH=，当B、P、H共线时，的最小，求BH即可【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BFDA延长线，垂足为F，AB=2，ABC=60，BE=AF=1，AE=BF=，PAD =PAH，ADPAPH，PH=，当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长，BH=；故答案为：【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题例4（2023湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 【答案】【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆

7、上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解【详解】解：由题意可得：点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，则 ，又如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值，的最小值为：故答案为：【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把转化为是解决此题的关键例5（2023浙江一模）问题提出：如图1，在等边ABC中，AB9，C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图

8、2，连结CP，在CB上取点D，使CD1，则有又PCD PDBPAP+BPAP+PD当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC6，AB8，P为矩形内部一点，且PB4，则AP+PC的最小值为 (请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，COD120，OC4OA2，OB3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为【分析】(1)连结AD，过点A

9、作AFCB于点F，AP+BPAP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF2，连接PF，PC，AB8，PB4，BF2，证明ABPPBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF4，连接BF，OP，PF，过点F作FBOD于点M，确定，且AOPAOP，AOPPOF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AFCB于点F，AP+BPAP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+A

10、D最小，即：AP+BP最小值为AD，AC9，AFBC，ACB60CF3，AF；DFCFCD312，AD，AP+BP的最小值为；故答案为：； (2)如图2，在AB上截取BF2，连接PF，PC，AB8，PB4，BF2，且ABPABP，ABPPBF，PFAP，AP+PCPF+PC，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，CF，AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；(3)如图3，延长OC，使CF4，连接BF，OP，PF，过点F作FBOD于点M，OC4，FC4，FO8，且OP4，OA2，且AOPAOPAOPPOF，PF2AP2PA+PBPF+PB，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的

11、值最小，COD120，FOM60，且FO8，FMOMOM4，FM4，MBOM+OB4+37FB，2PA+PB的最小值为【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形.例6（2022湖北九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值（3）如图3，已知菱形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值的最小值 【答案】见详解

12、【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1由PBGCBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG=5由PD-PC=PD-PGDG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DFBC于F解法类似（1）；【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1 PBGCBP，DP+PGDG，当D、G、P共线时

13、，的值最小，最小值为DG=5当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EFBCPBFPBD，PF=PD，当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC，由图可知，BEF为等腰直角三角形，BF=，BE=EF=，最小值为FC= 的最小值为：（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4PBGCBP，DP+PGDG，当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG= 当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DFBC于FPBGCBP，DP+PGDG，当D、G、P共线时，

14、的值最小，最小值为DG在RtCDF中，DCF=60，CD=4，DF=CDsin60=，CF=2，在RtGDF中，DG= PC=PD-PGDG，当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题例7（2022湖北武汉模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 = k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【

15、问题解决】如图，在ABC 中，CB = 4 ， AB= 2AC ，则ABC 面积的最大值为_【答案】【分析】以A为顶点，AC为边，在ABC外部作CAP=ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出APCBPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论【详解】解：以A为顶点，AC为边，在ABC外部作CAP=ABC，AP与BC的延长线交于点P，APC=BPA， AB= 2ACAPCBPA，BP=2AP，CP=APBPCP=BC=42APAP=4解得：AP=BP=，CP=，即点P为定点点A的轨迹为以点P为圆心，

16、为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即ABC的面积最大SA1BC=BCA1P=4=即ABC面积的最大值为故答案为：【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键例8（2023山东烟台统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆

17、，点为上一个动点，请求出的最小值【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为(2)存在，点M的坐标为或 或(3)【分析】（1）根据对称轴，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可【详解】（1）解：抛物线的对称轴，将代入直线，得，解得，直线的解析式为；将代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）存在点，直线的解析式为

18、，抛物线对称轴与轴交于点当时，当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，得，解得，直线的解析式为，解方程组，得或，点M的坐标为；当时，设直线的解析式为，将代入，得，解得，直线的解析式为，解方程组，解得或，点M的坐标为 或综上，点M的坐标为或 或；（3）如图，在上取点，使，连接，、，又，即，当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，的最小值为【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键课后专项训练1（2023春浙江九年级课时练习）如图，在RtABC中，ACB90

19、，CB7，AC9，以C为圆心、3为半径作C，P为C上一动点，连接AP、BP，则APBP的最小值为（）A7B5CD【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM1，连接PM，PC，BM利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BPPM+PBBM，利用勾股定理求出BM即可解决问题答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM1，连接PM，PC，BMPC3，CM1，CA9，PC2CMCA，PCMACP，PCMACP，PMPA，AP+BPPM+PB，PM+PBBM，在RtBCM中，BCM90，CM1，BC7，BM5，AP+BP5，AP+BP的最小值为5故选：B2（2023湖北武汉校考模拟预

20、测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为()A6B4C4D6【答案】A【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH四边形ABCD是正方形，即又，即 由三角形的三边关系定理得：由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上由两点之间线段最短可知，当点E位于F

21、H与圆A的交点时，取得最小值，最小值为，在中，由勾股定理得即的最小值为故选：A【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键3（2022湖北九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PDPC的最大值为_【答案】5【详解】分析: 由PDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG5详解: 在BC上取一点G，使得BG1，如图，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，

22、最大值为DG5故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题4（2023浙江九年级专题练习）如图所示，半径为2的圆内切于为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 【答案】【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围【详解】解：作于，作于，如图所示

23、： ，当与相切时，取得最大和最小，连接，如图1所示：可得：四边形是正方形，在中，在中，即；连接，如图2所示：可得：四边形是正方形，由上同理可知：在中，在中，即，故答案为：【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键5（2023湖南九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PAPB的最小值为 【答案】【分析】PAPB（PAPB），利用相似三角形构造PB即可解答【详解】解：设O半径为r，OPrBC2，OBr2，取OB的中点I，连接PI，OIIB， ， ，O是公共角，BOPPOI，P

24、IPB，APPBAPPI，当A、P、I在一条直线上时，APPB最小，作IEAB于E，ABO45，IEBEBI1，AEABBE3，AI，APPB最小值AI，PAPB（PAPB），PAPB的最小值是AI故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形6（2023上四川成都九年级校考期中）如图，已知，若点、在射线上，且满足，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 【答案】 【分析】过点H作，利用勾股定理与逆定理可判断是等腰三角形，过E作于，在右侧作，则可证明，得出，进而得出，然后利用三角形的面积公式即可解答第一空；过H

25、作于K，利用含的直角三角形的性质得出，则，故当A、H、K三点共线，且时，取最小值，过H作于P，得出，然后利用勾股定理即可求解【详解】解：过点H作， ，设，则，过E作于，在右侧作，；如图，过H作于K， ，当A、H、K三点共线，且时，取最小值，如图，过H作于P， ，又，即当取最小值时，的值为故答案为：，【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解，判定点H在平行与的直线上运动，当A、H、k三点共线，且时，取最小值，是解题的关键7（2023广西南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)

26、、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且BPA135，则2PD+PC的最小值是_【答案】【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=PC，推出2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），根据PD+PTDT，求出DT即可解决问题【详解】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TDA（2，0），B（0，2），C（4，0），OA=OB=2，OC=4，以O为圆心OA为半径作O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，Q=AOB=45，APB=135，Q+APB=180，A，P，B，Q四点共圆，OP=OA=2，

27、OP=2，OT=1，OC=4，OP2=OCOT，POT=POC，POTCOP，PT=PC，2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），PD+PTDT，DT=，2PD+PC，2PD+PC的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型8（2023江苏苏州苏州市二模）如图，在中，点A、点在上，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 【答案】【分析】延长到，使得，连接，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值求出即可判断【详解】解：延长到，使得，

28、连接，又在中，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题9（2023秋浙江温州九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90得到线段PQ连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 【答案】5【分析】连接AC、AQ，先证明BCPACQ得即AQ2，在AD上取AE1，证明QAEDAQ得EQQD，故DQ+CQEQ+CQCE，求出CE即可【详解】解：如图，连接AC、AQ，四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90得到线段PQ，ACBPCQ45，B

29、CPACQ，cosACB，cosPCQ，ACB=PCO，BCPACQ，BP，AQ2，Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE1，QAEDAQ， QAEDAQ，即EQQD，DQ+CQEQ+CQCE，连接CE，DQ+CQ的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.10（2020广西中考真题）如图，在Rt中，ABAC4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 【答案】【分析】在AB上取一点T，使得AT1，连接PT

30、，PA，CT证明，推出，推出PTPB，推出PB+CPCP+PT，根据PC+PTTC，求出CT即可解决问题【详解】解：在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CTPA2AT1，AB4，PA2ATAB，PATPAB，PTPB，PB+CPCP+PT，PC+PTTC，在Rt中，CAT90，AT1，AC4，CT，PB+PC，PB+PC的最小值为故答案为【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键11（2022江苏苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段

31、EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _【答案】5【分析】因为DGEF2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI1，可证GDICDG，从而得出GICG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在RtDEF中，G是EF的中点，DG，点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI1，连接GI，GDICDG，GDICDG，IG，BG+BG+IGBI，当B、G、I共线时，BG+CG最小BI，在RtBCI中，CI3，BC4，BI5，故答案是：5【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键12（2023四

32、川成都九年级专题练习）在中，AB=9，BC=8，ABC=60，A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_的最小值_【答案】 【分析】连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到，推出，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解；在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，同得到当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解【详解】连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ， A的半径为6，即AP=6，又，且，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，过C作CIAB于I，在R

33、tCIB中，BC=8，在RtCIQ中，的最小值为；故答案为：；连接AP，由得：在RtCIA中，在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，且，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，过G作GHAB于H，在RtCIA中，在RtGAH中，在RtGHB中，的最小值为故答案为：【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解本题的关键是构造出相似三角形，也是解本题的难点13（2023广西九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 的最小值 【答案】 【分析】在BC上取一点G，使得BG=1，作DFBC于F利用相似三角形的

34、判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可【详解】如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，作DFBC交BC延长线于F， ，当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在RtCDF中，DCF=60，CD=4，DF=CDsin60=2，CF=2，在RtGDF中，DG，故答案为：；如图，连接BD，在BD上取

35、一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MNBC于N四边形ABCD是菱形，且，ACBD，AOB=90，ABO=CBO=ABC=30，AO=AB=2，BO=，BD=2 BO=，且MBP=PBD，MBPPBD，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，在RtBMN中，CBO =30，BM=，MN=BM=，BN=，CN=4-，MC=，的最小值为【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题14（2023黑龙江哈尔滨模拟预测）

36、已知：图1图2图3（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，B60，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明，得到，即可得到结论成立；（2）在BC上取一点G，使得BG=1，由PBGCBP，得到，当D、P、G共线时，的值最小，即可得到答案；（3）在BC上取一点G，使得BG=1，作DFBC于F，与（2）同理得到，当

37、点P在DG的延长线上时，即可得到答案.【详解】（1）证明：，；（2）解：如图，在BC上取一点G，使得BG=1， ，；，当D、P、G共线时，的值最小，最小值为：；（3）如图，在BC上取一点G，使得BG=1，作DFBC于F，与（2）同理，可证，在RtCDF中，DCF=60，CD=4，DF=CDsin60=，CF=2，在RtGDF中，DG=，当点P在DG的延长线上时，最大值为：.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴

38、题15（2023江苏连云港统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、，若有，则称点为关于点的勾股点(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点_的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点求证：；若，则的最大值为_（直接写出结果）；若，且是以为底的等腰三角形，求的长(3)如图4，矩形中，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为_（直接写出结果）【答案】(1)C；见解析(2)见解析；或(3)【分析】（1）根据勾股定理得到，则

39、点是关于点的勾股点；根据勾股定理结合定义得到，据此画图即可；（2）根据定义可得，利用菱形的性质和勾股定理可得，即可证明；利用勾股定理求出，则点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，即可当（点O在）三点共线时，最大，据此求解即可；如图3，由可知点在以为圆心，为半径的圆上运动当点在左侧时，连接先证明，过点作，求出，过点作，则四边形为正方形，则，即可得到；当点在右侧时，同理求解即可（3）如图4，在上取点，使，则，先求出，进而证明，得到，则，故当A、E、F共线时，值最小，据此求解即可【详解】（1）解：由题意得，点是关于点的勾股点；点是关于点的勾股点，如图所示，即为所求；（2）解：点是关于点的勾股点，菱形中

40、，在中，；，在中，点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，当（点O在）三点共线时，最大，最大值为；如图3，由可知点在以为圆心，为半径的圆上运动当点在左侧时，连接当时，过点作，点为中点，即，过点作，则四边形为正方形，当点在右侧时，可得点与点关于对称，或 （3）解：如图4，在上取点，使，则，是关于点的勾股点，在中，又，当A、E、F共线时，值最小，在中，由勾股定理得，的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键16（2023广东广州统考一模）如图，已知是等边三角形，点D为的中点，点E，F分别为边，上的动点（点E不与B，C重合），且(1)求的取值范围；(2)若，求的长；(3)求的最小值【答案】(1)(2)(3)取得最小值是，见解析【分析】（1）根据题中条件求解即可；（2）过点D作，过点F作，证明即可求解；（3）连接，过点F作，过点C作且，证明，再结合题中条件即可求得答案【详解】（1）解：是等边三角形，；（2）解：过点D作，过点F作，如图所示， ，设，点D为的中点，是等边三角形，即，解得：，即；（3）解：连接，过点F作，过点C作且，在和中，是等边三角形，点D为的中点，设，由（2）知，即，