专题28.1 锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题28.1 锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】锐角三角函数正弦： sinA 余弦： cosA正切： tanA.【知识点二】特殊三角函数度数三角函数3045601【知识点三】解直角三角形的常用关系(1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：；(3) 边角之间的关系：，.【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角(2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条

2、铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4) 解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解【考点目录】【考点1】锐角三角函数； 【考点2】 特殊角三角函数值的计算；【考点3】 解直角三角形； 【考点4】 锐角三角函数与相关知识综合【考点5】 三角函数与实际问题【考点一】锐角三角函数【例1】如图，在中，于，（1）求证

3、：（2）若，求的面积【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）根据三角函数的概念可知，根据即可得结论；（2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解解：（1）证明：，；（2）解：，的面积=【点拨】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键【举一反三】【变式1】如图，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，则的值是（）ABCD【答案】C【分析】利用网格特点得到ABC=90，然后利用正切的定义求解解：ABC=90，AB=3，BC=4，tanBAC故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未

4、知元素的过程就是解直角三角形合理使用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键【变式2】如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则（1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）（2） （3） 【答案】 是 / /【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，由，证明，则，则，进而结论得证；（2）由勾股定理得，由，可得；（3）由题意知，即，解得，由勾股定理得，计算求解即可（1）解：如图，作于，的延长线于，由题意知，故答案为：是；（2）解：由勾股定理得，故答案为：；（3）解：由题意知，即，解得，由勾股定理得，故答案为：【点拨】本题

5、考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键【考点二】 特殊角三角函数值的计算【例2】计算：【答案】7【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键，将特殊角的三角函数值代入并结合零次幂的性质计算即可解：【举一反三】【变式1】若锐角满足，则（）ABCD【答案】C【分析】根据特殊角度的锐角三角函数值即可进行解答解：，故选：C【点拨】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的正切值【变式2】计算（）2+2cos30 【答案】2+【分析】根据负指数幂的运算法则、实数的性质、特殊角的三角

6、函数值进行化解即可求解解：原式42+2，42+，2+，故答案为：2+【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值【考点三】 解直角三角形【例3】如图，是的中线，求：（1）的长；（2）的正弦值【答案】（1）6（2）【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：（1）作于在中，求出，在中，求出即可解决问题；（2）在中，求出，即可解决问题（1）解：如图，作于在中，在中，（2），在中，的正弦值为【举一反三】【变式1】如图，四边形为矩形纸片，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为若，则的值为（）ABCD【答案】

7、B【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，设，由矩形的性质得，由折叠得，则，因为，所以，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，所以，于是得到问题的答案正确地找到全等三角形的对应边并且用代数式表示线段、的长是解题的关键解：设，四边形是矩形，由折叠得，且，解得，（不符合题意，舍去），故选：【变式2】如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，若与相似，则的长是 【答案】1或3【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，分两种情况：当时，；当时，分别进

8、行计算即可，熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键解：当时，四边形是矩形，；当时，；综上所述，的长是1或3，故答案为：1或3【考点四】 锐角三角函数与相关知识综合【例4】如图，在中，垂足为点，.（1）求的值；（2）点在上，且，过作，垂足为点，求的长.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，再由勾股定理确定，利用正弦函数的定义求解即可；（2）根据题意及相似三角形的判定得出，再由其性质得出，继续利用勾股定理求解即可（1）解：，（2），【点拨】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题

9、意，综合运用这些知识点是解题关键【举一反三】【变式1】如图，在矩形中，点在直线上，若矩形的周长为，点到直线的距离的长为6，则点到直线的距离的长为（）ABCD【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知识利用矩形性质求出的长，利用锐角三角函数求出的长，再利用勾股定理即可求出最后结果，其中证明是解题关键解：四边形为矩形，且矩形的周长为，解得：，于点，于点，点到直线的距离的长为，故选:【变式2】如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于 【答案】【分析】本题主要考查菱形的性质和解直角三角形，

10、由题意得，进一步有，由得，结合菱形面积求得x，可得点F的坐标，代入反比例函数即可求得答案解：如图，过点D作过点C作，设，四边形为菱形，同理，解得：，点C坐标为，反比例函数的图象经过点C，代入点C得：，故答案为：【考点五】 三角函数与实际问题【例5】小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度如图所示，他先在建筑的底部A处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为已知，测角仪置于水平高度米的、处求建筑的高度【答案】【分析】延长分别交的延长线于，于相交于H，设，则，然后在和中解直角三角形可得、，由可得

11、，进而得到，据此列方程解得，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键解：如图：延长分别交的延长线于，于相交于H，设,则,在中，；在中，解得：，答：建筑的高度为【举一反三】【变式1】如图，小华同学想测量学校逸夫楼的高度，他站在B点从A处仰望楼顶D，测得仰角为30，再往逸夫楼的方向前进14米从E处望楼顶，测得仰角为60，已知小华同学身高（AB）为1.6米，则逸夫楼CD的高度的为（）（1.73）A12.1米B13.7米C11.5米D13.5米【答案】B【分析】设DFx米，在RtADF中求出AF，在RtDEF中求出EF，再由AE14m，可求出x的值，即可得出CD的

12、高度解：如图：设DFx米，在RtADF中，DFx米，DAF30，则tan30DF：AFx：AF，故AFx米，在RtDEF中，DFx米，DEF60，则tan60DF：EFx：EF，故EFx米，由题意得，AFEFxx14，解得：x12.1米则这棵树的高度为12.1+1.613.7米故选：B【点拨】本题考查解直角三角形的应用. 设DFx，能借助三角函数用含x的代数式表示AF和EF，从而根据AFEF=14列出方程是解决此题的关键.【变式2】如图，土坡是一个梯形，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米【答案】70【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案解：如图，斜坡长130米，坡度是，设，解得或（舍去），（米）故答案为：70