专题29 函数的极值点问题的探究（教师版）.docx

1、专题29 函数的极值点问题的探究一、题型选讲题型一 、函数极值的求解例1、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是，则( )A与有关，且与有关B与有关，且与无关C与无关，且与无关D与无关，且与有关【答案】C【解析】，令，得，或，当变化时，、的变化如下表：递增极大值递减极小值递增，故选：C变式1、【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；【解析】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为都在集合中，且，所以此时，令，得或列表

2、如下：1+00+极大值极小值所以的极小值为变式2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数.(1)求证:当时,对任意恒成立;(2)求函数的极值;【解析】 (1),在上为增函数,所以当时,恒有成立; (2)由当在上为增函数,无极值当在上为减函数,在上为增函数,有极小值,无极大值,综上知:当无极值,当有极小值,无极大值. 题型二、极值的个数的证明与判断例1、【2019年高考全国卷理数】已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；【解析】（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.

3、变式、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（ ）A为奇函数B在上单调递增C恰有4个极大值点D有且仅有4个极值点【答案】BD【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，当时，则在上单调递增.显然，令，得，分别作出，在区间上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.故选：BD.题型三、由极值点求参数的范围例3、【2018年高考北京理数】设函数=若在x=2处取得极小值，求a的取值范围【解析】由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a，则当x(，2)

4、时，f (x)0所以f (x)在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）变式1、【2018年高考全国卷理数】已知函数若是的极大值点，求【解析】（i）若，由（1）知，当时，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.如果，则当，且时，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.二、达标训练1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的

5、取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.故选：D.2、（2020山东省淄博实验中学高三上期末）已知、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（ ）ABCD1【答案】B【解析】f（x）x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f（x）有2个不相等的实数根，故4m240，解得：m1或m1，而alog0.552，0blog321、c20.31，0d（）21，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p，故选：B3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）ABCD【答案】AC【解析

6、】函数,是函数的极值点，即，,即A选项正确,B选项不正确;,即C正确,D不正确.故答案为:AC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数，.若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；【解析】，设，当时，在时，即，所以单调递减，在时，所以单调递增，所以函数有唯一的极小值点成立；当时，令，得，在时，即，所以单调递减，在时，所以单调递增，所以函数有唯一的极小值点成立；当时，令，得，当时不合题意，则，且，即且，设，在时，即，所以单调递减，在时，所以单调递增，在时，即，所以单调递减，所以函数有唯一的极小值点成立；综上所述，的取值范围为且.5、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数且a0）若函数f（x）的极小值为，试求a的值【解析】当a-1时，x变化时变化情况如下表：x1（1，+）-0+0-f（x）极小值极大值此时，解得，故不成立当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递减此时f（x）无极小值，故不成立当-1a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）极小值极大值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或因为-1a0，所以当a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）-0+f（x）极小值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或，故不成立综上所述