专题29.1 投影与视图（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题29.1 投影与视图（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】平行投影：1.定义理解：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的

2、大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西西北北东北东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.特别提醒：1平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.【知识点二】中心投影：若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”

3、.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.特别提醒： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方

4、向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.【知识点三】正投影： 正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 线段AB垂直于投影面P时，它的正

5、投影是一个点.(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； 当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. 当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.特别提醒：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体

6、的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.【知识点四】三视图：1.三视图的概念（1）视图从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.（2）正面、水平面和侧面用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.（3）三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图

7、之间的关系（1）位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.特别提醒：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.【知识点五】画几何体的三视图:画图方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1

8、)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.特别提醒：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.【知识点五】由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的

9、形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.特别提醒：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【考点目录】【考点1】平行投影概念理解、求值与证明【考点2】中心投影概念理解与相关证明与运算【考点3】正投影概念理解与相关证明与运算【

10、考点4】视点、视角和盲区概念理解与相关证明与运算【考点5】三视图物体三视图的判断与求值【考点6】三视图物体小正方体判断与求值【考点1】平行投影概念理解、求值与证明【例1】（2023上四川巴中九年级统考期中）已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻，在阳光下的投影 (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；(2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长【答案】(1)见解析，作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质；(2)【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质、平行投影：（1）利用平行投影的性质即可求解；（2）利用相似三角

11、形的判定及性质即可求解；熟练掌握平行投影的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键（1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影，作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质 （2），又，【举一反三】【变式1】（2023上山东青岛九年级统考期中）某一时刻太阳光下身高的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为（）AB8mCD7m【答案】A【分析】根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案解设旗杆高度为xm，有解得故选 A【点拨】本题考查了平行投影以及一元一次方程的应用，解题关键是理解在同一时刻物体的高与其影子长比值是相同的【变式2】（

12、2023上河北邢台九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为 ；（2）小山包的高为 （取）【答案】 【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高解：连接，过作于，由题意可知，圆锥底面周长为，解得，,小山包的高为故答案为：， 【考点2

13、】中心投影概念理解与相关证明与运算【例3】（2023上江苏泰州九年级校考期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上 (1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段(2)如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度【答案】(1)见解析； (2)1米【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：（1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案；（2）证明，根据相似三角形的性质得出答案（1）解：如图所示：路灯,即为所求； （2），灯距离地面，乙的身高，乙与灯

14、杆的距离，解得：乙影子的长度为【举一反三】【变式1】（2023上全国九年级专题练习）一块三角形板，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（ ） A24cmB20cmC15cmD5cm【答案】B【分析】由投影得，由相似性质得，求得解：，故选：B【点拨】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键【变式2】（2023上辽宁阜新九年级阜新实验中学校考期中）三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量，且三角板的面积为，则其投影的面积为 【答案】50【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，易得三角板与它的投影成相似图形，

15、再根据面积比等于相似比的平方，进行列式作答解：依题意，三角板与它的投影成相似图形，三角板的面积为三角板的面积其投影的面积即其投影的面积为故答案为：50【考点3】正投影概念理解与相关证明与运算【例3】（2018上九年级单元测试）如图，在底面是正三角形的三棱柱中，边AB，AB垂直于投影面P且AB，AB上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影长为2 cm，CC的投影长为6 cm.(1)画出三棱柱在投影面P上的正投影;(2)求出三棱柱的表面积. 【分析】（1）根据正投影的画法即可画出；解：(1) 三棱柱在投影面P上的正投影如图. (2)CDMH，CD=MH.又MH=2 cm，CD=2 cm.在Rt

16、ADC中，设AD=x cm，则AC=2x cm，又CD=2 cm，由勾股定理，解得AC=cm.三棱柱表面积S=2SABC+3S矩形ACCA，CC=HK=6 cm，因此，三棱柱表面积S=22+36 = (cm2).【点拨】本题考查了正投影的画法以及直三棱柱的表面积的求法.【举一反三】【变式1】（2023上广东深圳九年级北大附中深圳南山分校校考阶段练习）下列说法正确的是（）A物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影B正投影一定是平行投影C物体在灯光下产生的投影是物体的正投影D正投影可能是中心投影【答案】B【分析】先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答案解：

17、A物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；B正投影一定是平行投影，正确，符合题意；C物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；D正投影是平行投影，错误，不合题意 故选：B【点拨】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点【变式2】（2023上山东青岛九年级统考期中）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为 【答案】/60度【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题过A作，交于C点求出的值，可得结论解：过A作，交于C点 线段在平面内的正投影为，且，则即为所求，故答案为：【考点4】视点、视

18、角和盲区概念理解与相关证明与运算【例4】（2021福建厦门统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区 （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由【答案】（1）；（2）见详解【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出

19、监控盲区的面积，即可得到结论 解：（1）设小正方形的边长为1，荣誉室面积=22+22+26=20，盲区面积=22-21=3，站在监控盲区的概率=320=；（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=212=2，若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=(CM+2)22 【点拨】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键【举一反三】【变式1】（2013上河北保定九年级统考期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（） ABCD四边形【答案】C【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆

20、盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，故选：C【点拨】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断【变式2】（2019九年级单元测试）电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了 【答案】增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等【分析】从减小盲区角度可理解后一排总比前一排高，从满足有相同的视角可理解每一横排呈圆弧形解：电影院的座位排列时，后一排总比前一排高是为了增加视野，后面的观众看清屏幕，每一横排呈圆弧形

21、是利用圆周角相等，保证同一排上的人看屏幕的视角相等故答案为增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等【点拨】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角视线到达不了的区域为盲区【考点5】三视图物体三视图的判断与求值【例5】（2023上全国七年级期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：_；(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图【答案】(1)； (2)画图见

22、解析【分析】本题考查简单组合体的三视图，（1）三视图面积和的2倍即可；（2）利用三视图的画法画出图形即可解：（1），故答案为：；（2）根据三视图的画法，画出相应的图形如下： 【举一反三】【变式1】（2023上陕西西安七年级统考阶段练习）如图是由8个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状是（）A B C D【答案】B【分析】根据从上面看到的几何体形状及个数即可得到从正面看到的形状及对应的个数【详解】解：根据从上面看到的几何体形状及个数可知：该几何体从正面看到的形状共三列，从左往右依次是2、2、3，故选：B【点拨】本题考查了

23、三种视图之间的关系，解题的关键是通过空间想象能力得到相应位置上正方体的个数【变式2】（2021上山东菏泽九年级统考期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 【答案】俯视图【分析】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，故答案为：俯视图【点拨】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提【考点6】三视图物体小正方体判断与求值【例6】（2023上陕西西安七年级校考期中）用若

24、干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题： (1)搭成满足如图所示的几何体最多需要_个小正方体，最少需要_个小正方体；(2)请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图【答案】(1)10，7； (2) 见解析【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义（1）在俯视图中，写出最多时，写出最少时，小正方体的个数，可得结论；（2）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可解：（1）搭成满足如图所示的几何体最多需要：个小正方体，最少需要 个小正方体故答案为：10，7；（2）左视图如图所示 【举一反三】【变式1】（2023上全

25、国七年级专题练习）小颖同学到学校领来n盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则n的值是（） A6B7C8D9【答案】B【详解】由俯视图可得最底层有4盒，由正视图和左视图可得第二层有2盒，第三层有1盒，共有7盒故选B【变式2】（2023上江西九江七年级校考阶段练习）用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要块小立方体，最多需要块小立方体，则的值为 【答案】【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体；根据从左面看到的图形，可得这个几何体共有层，再分最少和最多两种情况进行讨论，即可得出答案解：最少分布个数如下所示，共需块，则； 最多分布个数如下所示，共需块，则 ；故答案为：