专题3.22 弧长和扇形面积（知识讲解1）.docx

1、 专题3.22 弧长和扇形面积（知识讲解1）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)特别说明：(1)对于弧长公式，关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的表示1圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式

2、1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式 半径为R的圆中360的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n的圆心角所对的扇形面积公式：特别说明：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、求弧长1 如图，已知等边的边长为6，以为直径的与边，分别交于D，E两点，连结，（1）

3、求的度数（2）求劣弧的长【答案】（1）；（2）劣弧的长为【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解；（2）根据弧长计算公式可直接进行求解解：（1）是等边三角形，AOD、OBE都为等边三角形，；（2）由（1）及弧长计算公式可得：【点拨】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键【变式1】如图，内接于O，（1）求O的半径；（2）求劣弧的长【答案】（1）；（2）【分析】（1）连接OB、OC，根据圆周角定理求出BOC，根据等腰直角三角形的性质求出O的半径；（2）根据弧长公式计算，得到答案解：（1）连接OB、OC，由圆周角定理得，BOC=2BAC=90，OB=BC=，即O的半径为，（2）劣

4、弧BC的长=【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键【变式2】已知：如图，在O中，弦与相交于点，给出下列信息：；是O的直径；（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论你选择的条件是_，结论是_（只要填写序号）判断此命题是否正确，并说明理由；（2）在（1）的情况下，若，求的长度【答案】（1）选择作条件，结论是，命题正确，证明见详解；（2）【分析】（1）选择作条件，结论是，命题正确，根据圆周角定理、角的和与差及三角形外角性质即可得证；（2）连接OD，根据勾股定理即可求出，从而求出圆的半径，再根据同圆的半径相等及等边对等角和三角形内角和即可

5、求得，最后根据弧长公式即可得出答案解：（1）选择作条件，结论是，命题正确，证明如下：连接BD是O的直径所对（2）连接OD，在中，解得：（负值已舍去）【点拨】本题考查了圆周角定理、同圆的半径相等、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键类型二、求半径2 小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥，制作过程中，他将半圆剪成面积比为1：2的两个扇形(1)请你在图中画出他的裁剪痕迹(要求尺规作图，保留作图痕迹)(2)若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多大的圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗(不考虑损耗及接缝)？【答案】(1)见解析；(2)正好够剪.【分

6、析】（1）先作出直径AB的垂直平分线，找到圆心O，进而以点B为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于一点C，作直线OC即为裁剪的直线；（2）算出大扇形的弧长，除以2即为小圆的半径，比较即可(1)如图： (2)OA=3，l弧AC=3=2，小圆半径r=1，正好够剪【点拨】考查圆锥的作图及相关计算；用到的知识点为：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长【变式1】如图，已知（1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若的度数为120，的长是8，求所在圆的半径的长【答案】（1）作图见解析；（2）12【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，

7、作弦AC、弦BC的垂直平分线即可（2）根据弧长公式计算即可；（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求；（2）如图，连接AO，BO，弧AB的度数为，又弧AB的长是，解得：，所在圆的半径的长是12【点拨】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键【变式2】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，4)、B(-4，4)、C(-6，2)，请在网格图中进行如下操作：（1）利用网格图确定该圆弧所在圆的圆心D的位置（保留画图痕迹）；（2）连接AD、CD，则D的半径为_ _(结果保留根号)，ADC的度数为_ _；（3

8、）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径(结果保留根号)【答案】(1)详见解析；(2)，90；(3) . 【解析】【分析】(1)利用垂径定理得出点位置即可；(2)利用点的坐标结合勾股定理得出D的半径长，再利用全等三角形的判定与性质得出的度数；(3)利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出结论.解：(1)如图所示：作的中垂线，交点即为所求，坐标为：；故答案为：(-2，0)；(2)，即的半径长为，C(-6，2)，EC=2，DE=4，在和中，)，故答案为：，90；(3)设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得出：，解得：，故答案为：.【点拨】本题考查了垂径定理、弧长公式和全等三

9、角形的判定与性质.(1)关键是由垂径定理得：弦的垂直平分线经过圆心，进而由交点确定圆心；(2)关键是利用全等三角形的判定和性质得到圆心角的度数；(3)圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长是解题关键.类型三、求圆心角3 已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数【答案】【分析】根据弧长的计算公式计算即可解：圆心角的度数【点拨】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键【变式1】 如图,在O中,AB、CD是两条弦,O的半径长为rcm,弧AB的长度为cm,弧CD的长度为cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当=时,求证:AB=CD【答案】见解析【分析】利用弧

10、长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.解：令AOB=，COD=.=AB和CD在同圆中，r1=r2 =AB=CD【点拨】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.【变式2】如图，在ABC中，C=60，AB=4.以AB为直径画O，交边AC于点DAD的长为，求证：BC是O的切线.【答案】证明见解析.【分析】连接OD，根据弧长公式求出AOD的度数，再证明ABBC即可；证明：如图，连接,是直径且，.设，的长为，解得.即 在O中，. ， 即又为直径，是O的切线.【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵

11、活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型类型四、求点的运动路径长4 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，三个顶点的坐标分别为、（1）请画出关于原点O成中心对称的；（2）请画出将绕点A顺时针旋转90后得到的；（3）求（2）中点C所经过的路径长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）解：（1）如解图所示， 即为所求；（2）如解图所示， 即为所求；（3），点C所经过的路径长【变式1】 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，是由顺时针旋转得到的（1）求阴影部分的面积；（2）求旋转过程中，点A经过的路径长【答案】（1）；（2）解：（

12、1）如解图，连接，阴影部分的面积为；（2），点A经过的路径长为【变式2】如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以点O为原点建立平面直角坐标系（1）在图中画出向上平移6个单位后的;（2）在图中画出绕点O逆时针旋转后的，并求出点C旋转到点所经过的路径长（结果保留）【答案】（1）答案见解析；（2）作图见解析，路径长为【分析】（1）分别作出三个顶点向上平移6个单位所得到的对应点，再收尾依次连接即可；（2）将三个顶点分别绕点O逆时针旋转90后得到对应点，再首尾顺次连接即可，继而根据弧长公式求解即可解：（1）根据平移的性质将三个顶点分别向上平移6个单位所得到的对应点，再收尾依次连接，答案如图所示：（2

13、）将三个顶点分别绕点O逆时针旋转90后得到对应点，再首尾顺次连接即可，答案如图所示：，【点拨】本题主要考查了旋转和平移作图，勾股定理以及弧长公式，解题的关键在于能够准确找出对应点的位置类型五、求扇形面积5 如图，ABC的边AC与分别交于C、D两点，且CD是的直径，AB是的切线，切点为B，求图中阴影部分的面积【答案】【分析】连接OB，证明，在中，由，求解，从而可得答案解：连接OB，AB是的切线，在中，即，解得：，.【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，切线的性质，扇形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键【变式1】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（1）作出关于

14、原点对称的；（2）将绕点逆时针旋转，根据三角形扫过的痕迹，求图中阴影部分的面积【答案】（1）所作图形如图所示，见解析；（2）图中阴影部分的面积为【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1，然后描点即可；（2）由题意，阴影部分的面积等于线段绕点逆时针旋转90所得到的扇形面积，即可求出答案解：（1）所作图形如图所示：（2）由题意可知，所求阴影部分的面积等于线段绕点逆时针旋转90所得到的扇形面积：【点拨】本题考查了作图旋转变换，旋转的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键也考查了三角形的面积和扇形面积公式【变式2】 如图，以正三角形的边为直径画，分别交，于点，c

15、m，求弧的长及阴影部分的面积【答案】【分析】连接OD，OE，AE，根据等边三角形的性质先求的圆的半径和弧ED对应的圆心角DOE=60，再分别求出弧DE的长，根据S阴影=SOBE+SAOD+S扇形ODE求出阴影部分的面积连接OD，OE，AE，ABC是等边三角形，AB是直径，AEBC，BE=OB，B=60，OE平行且相等AD，OA=OE，四边形OAED是菱形，DOE=AOD=OBE=60，AB=6cm，OD=OE=BE=3cm，AE=（cm），OBE中底边BE上的高以及AOD中底边OD上的高都为：cm，S阴影=SOBE+SAOD+S扇形ODE=【点拨】本题考查了等边三角形的性质及扇形的面积计算，运

16、用各部分面积之间的和差关系求解阴影部分面积，求出小等边三角形和扇形的面积是解题关键类型六、求旋转扫过的面积6 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位 RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90后得到AB1C1；（1）作出AB1C1；(不写画法）（2）求点C转过的路径长；（3）求边AB扫过的面积【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据旋转的性质可直接进行作图；（2）由（1）图及旋转的性质可得点C的运动路径为圆弧，其所在的圆心为A，半径为3，然后根据弧长计算公式可求解；（3）由题意可得边AB扫过的面积为扇形的面积，其扇形的圆心角为9

17、0，半径为5，然后可求解解：（1）如图所示：（2）由已知得，CA=3，点C旋转到点C1所经过的路线长为：3= ；（3）由图可得：AB=5，S=52 =【点拨】本题主要考查旋转的性质、弧长计算及扇形的面积，熟练掌握旋转的性质、弧长计算及扇形的面积公式是解题的关键【变式1】 如图，一根长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域【答案】见解析.【分析】以B为圆心，BE为半径，作圆弧交BA和BC边延长线于F，G两点，再以C为圆心，BE-BC为半径，交BC延长线于点G，交CD于点H，扇形FBG和扇形GCH即为所求.以B为圆心，BE为半径，作圆弧交BA和BC边与F

18、，G两点，再以C为圆心，BE-BC为半径，交BC延长线于点G，交CD于点H，如图所示：扇形FBG和扇形GCH即为羊的活动区域.【点拨】本题是对扇形知识的考查，找到扇形GCH是解决本题的关键.【变式2】 如图，已知点的坐标分别为，（1）将向上平移2个单位长度得到，画出；（2）将绕点按逆时针方向旋转得到，画出；（3）在（2）的条件下，边扫过的面积是_（保留）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据网格结构找出点A、O、B向上平移2个单位的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、O、B绕点O按逆时针方向旋转90的对应点A2、O、B2的位置，然后

19、顺次连接即可；（3）利用勾股定理列式求出OB，再根据AB边扫过的面积等于AB扫过的面积减去OB扫过的面积列式计算即可得解解：（1）A1O1B1如图所示；（2）A2OB2如图所示；（3）由题意得：OA=4，由勾股定理得，AB边扫过的面积=故答案为：【点拨】本题考查了利用平移变换作图，利用旋转变换作图，扇形的面积熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于观察出（3）AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差类型七、求弓形的面积7 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表其中方田章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦矢+矢）如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢

20、”等于半径长与圆心到弦的距离之差按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为，弦长的弧田（1）计算弧田的实际面积（2）按照九章算术中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7）【答案】（1）；（2）解：（1）在中，设半径，则在中，由，解得（负值舍去），半径（3分），弧田面积（2）圆心到弦的距离等于1，所以矢长为1按照上述弧田的面积公式计算，得弧田面积两者之差为【变式1】 如图，AB是O的直径，BC为O的切线，D为O上的一点，CDCB，延长CD交BA的延长线于点E（1）求证：CD为O的切线；（2）若OFBD于点F，且O

21、F2，BD4，直接写出图中阴影部分的面积 【答案】（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）连接OD，由BC是O的切线，得到ABC90，根据CDCB，OBOD，推出ODCABC90，即ODCD，由此证得结论；（2）根据垂径定理和勾股定理求得BFBD2，OB4，由此得到BOD2BOF120，再利用S阴影S扇形OBDSBOD计算即可得到答案（1）证明：连接OD，如图所示：BC是O的切线，ABC90，CDCB，CBDCDB，OBOD，OBDODB，ODCABC90，即ODCD，点D在O上，CD为O的切线；（2）4（解：OFBD，BFBD2，OB4，OFOB，OBF30，BOF60，BOD2BOF120

22、，S阴影S扇形OBDSBOD424【点拨】此题考查圆的切线的判定定理，垂径定理和勾股定理，利用圆的扇形面积计算公式求不规则图形的面积，熟练掌握各定理知识是解题的关键【变式2】 如图，点在直径为2的上，求图中阴影部分的面积（结果中保留）【答案】【分析】连接OB、OC，得出BOC的度数，再求出扇形BOC和BOC的面积，即可得出答案解：连接，.，的直径为2，.【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，能求出扇形BOC和BOC的面积是解此题的关键类型八、求不规则图形面积8 如图，是的弦，点P是上一点，且，求图中阴影部分的面积【答案】【分析】证明OAB是等边三角形，再根据S

23、阴=S扇形OAB-SOAB计算即可解：AOB=2APB，APB=30，AOB=60，OA=OB，OAB是等边三角形，OA=OB=AB=4，S阴=S扇形OAB-SOAB=【点拨】本题考查扇形的面积，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【变式1】 如图，已知直线PA交O于A、B两点，AE是O的直径，点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D（1）求证：CD为O的切线；（2）若AEC30，O的半径为10，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析（2）25【分析】（1）连接OC，根据OAOC推出OCAOAC，根据角平分线得出OCAOACCAP，推出

24、OCAP，得出OCCD，根据切线的判定推出即可；（2）根据圆周角定理证明AOC是等边三角形，利用扇形面积和等边三角形的面积即可求出结果（1）证明：如图，连接OCOCOA，OACOCA，AC平分PAE，DACOAC，DACOCA，ADOCCDPA，ADCOCD90，即 CDOC，点C在O上，CD是O的切线（2）解：AEC30，AOC60，OAOC，AOC是等边三角形，O的半径为10，等边三角形AOC面积为：10525，扇形AOC的面积为：图中阴影部分的面积扇形AOC的面积等边三角形AOC面积25【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，圆周角定理，扇形面积的

25、计算，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力【变式2】如图，在O中，直径AB24，点C、D在O上，AB与CD交于点E，CEED，OHBD，垂足为点H，DF交BA延长线于点F，CDF2B（1）求证：DF是O的切线；（2）若FDBD，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OD，易证CDFFOD，根据垂径定理的推论可得ABCD，即可得CDO+FOD=90，所以CDF+COD=90，由此即可证得DF是O的切线；（2）已知FDBD，根据等腰三角形的性质可得BF，再由FOD2B，FOD+F=90，即可求得B=F=30，FOD=60；在RtODH中，ODH=30，OD=12，可得OH=6，DH=，根据即可求得图中阴影部分的面积（1）连接OD，FOD2B，CDF2B，CDFFOD，CEED，AB为直径，ABCD，CDO+FOD=90，CDF+CDO=90，即ODF=90，DF是O的切线；（2）FDBD，BF，AB为直径，AB=24，OD=12，FOD2B，FOD+F=90，B=F=30，FOD=60，DO=BO，BODH=30，在RtODH中，ODH=30，OD=12，OH=6，DH=，【点拨】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理，熟练运用相关定理进行证明是解决问题的关键