专题3.3 解三角形（分层练）（解析版）.docx

1、专题验收评价专题3.3 解三角形内容概览A常考题不丢分题型一 正弦余弦定理基本应用题型二 解三角形三线问题题型三 解三角形中周长面积问题题型四 解三角形中范围问题C挑战真题争满分题型一正弦余弦定理基本应用一、单选题1（2023江西赣州统考一模）在中，角，所对的边分别为，若，成等差数列，则（）ABCD【答案】C【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得、，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由，得，由成等差数列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.故选：C.2（2023下安徽滁州高三校考开学考试）在三角形中，记为的面积，已知，则（）ABCD【答案】A【分析】先根据三角形的面积公式结

2、合求出角，再根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的关系即可得解.【详解】，因为，即，又，则，所以.故选：A3（2023陕西西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（）A1BCD2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A4（2021下广东东莞高一东莞高级中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（）AB1CD【答案】C【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得，进而求得.【详解】依题意，由余弦定理得，由三角形的面积公式得，代入得，由于，所以.故选：C题型

3、二解三角形中三线问题一、单选题1（2023上江苏苏州高三常熟中学联考）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（）ABC3D或3【答案】A【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解.【详解】由，因为，可得，又由边上的角平分线，所以，在中，可得，在中，可得,因为，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因为，可得，即，可得，所以.故选：A.2（2023全国河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（）A1B2C3D4【答案】C【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系

4、求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值.【详解】在中，在中，故，因为，故，又角的平分线交于点，则，故.故.以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，故，设，则，即，故，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.故选：C二、填空题3（2023下河南周口高三期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，则的取值范围为 【答案】【分析】记BC的中点为D，利用重心的性质先得到，再由向量的知识可得，再利用锐角可得，最后利用函数的单调性可得的取值范围【详解】记BC的中点为D，由，G为的重心，可得又由，有，即，化简可得又由为锐角三角形

5、，故，即，化简可得又由令，由函数单调递增，可得，可得故答案为：.三、解答题4（2023上湖北武汉高三华中师大一附中校考期中）记的内角的对边分别为，已知.(1)求A的值；(2)若的平分线与交于点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，则，即，可得，因为，则，则，整理得，又因为，则，可得，所以.（2）因为平分且，所以，由，可得，整理得，则，当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为5（2023上湖北高三鄂南高中联考期中）在中，角A，B，C的对边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)若是线段的中点，且，求的面积.【答案】(1)(2)4【详解】（1），由正弦定理可得，整理

6、，即，又，则，又.（2）法一：如图，取中点，连接，是线段的中点，,在中，,由余弦定理可得,.法二：因为是线段的中点，即，.题型三解三角形中周长面积问题1（2023湖南校联考模拟预测）的内角，的对边分别为，已知(1)求；(2)若，的面积为，求的周长【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得又，所以因为，所以又，所以，（2）的面积，则由余弦定理：，得，所以，故的周长为2（2023四川绵阳四川省绵阳南山中学校考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)已知，边BC上有一点D满足，求AD【答案】(1)(2)（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.

7、【详解】（1），即由正弦定理，有又，即有，所以，故（2）设，由（1）知，在ABC中，由余弦定理，可知，又，可知，在ABD中，即，在ACD中，即，联立解得.3（2023上四川成都高二四川省成都市新都一中校联考）如图，在四边形中，与互补，(1)求；(2)求四边形的面积【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，在中，利用余弦定理分别求出,利用两值相反，建立等式，解出即可；（2）分别求出的面积，相加即可.【详解】（1）连接，如图，与互补，与互补，在中，即，得，在中，即，得，又与互补，故；（2）由（1）得，由（1）得，题型四解三角形中范围问题1 （2023广西南宁南宁二中校考模拟预测）已知中，角对应的边分

8、别为，是上的三等分点（靠近点）且，则的最大值是（）ABC2D4【答案】A【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得，再设，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到，从而得解.【详解】因为，由正弦定理得，则，即，所以，则，设，则，且，又，即，又由正弦定理知（为的外接圆半径），所以， 则，即，又，故当，时，.故选：A2（2023上福建高三校联考期中）已知中，内角所对的边分别为，且满足.(1)若，求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：因为，由正弦定理得，可得，即，又因为，由余弦定理得，即，联立方程组，可得，即，所以，由余弦定理定理得，因为，所以.解法二：因为，由正弦定

9、理得，整理得，又因为，可得，所以，即，可得，即，因为，所以，所以，所以.（2）由（1）知，可得，且，所以，由三角形三边关系，可得，可得，令，可得，其中，所以函数，所以，所以的取值范围是.3（2023上湖北高三湖北省天门中学校联考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)求的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）方法1：由及正弦定理可得：，所以，故，因为，即，故，所以，又，所以.方法2：由及余弦定理可得：，所以，所以，又，所以.（2）由正弦定理可知，即，其中，,故当时，的最大值为. 一、单选题1（2021全国甲卷）在中，已知，则（）A1BCD3【答案】D【分析

10、】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.二、填空题2（2021全国乙卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则 【答案】【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.三、解答题3（2023全国新高考卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且(1)若，求；(2)若，求【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解

11、作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，则，所以.方法2：在中，因为为中点，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，过作于，于是，所以.（2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.4（2023全国甲卷）记的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)若，求面积【答案】(1)(2)【分析】（1）

12、根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出【详解】（1）因为，所以，解得：（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为5（2022全国新高考卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知(1)求的面积；(2)若，求b【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.6（2021全国统

13、考卷）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即又因为，所以（2）方法一【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，在中，由得，整理得又因为，所以，解得或，当时，（舍去）当时，所以方法二：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而由，即，即，即，故，即，又，所以，则方法三：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得

14、在中，由正弦定理得又，所以，化简得在中，由正弦定理知，又由，所以在中，由余弦定理，得故方法四：平面向量基本定理因为，所以以向量为基底，有所以，即，又因为，所以由余弦定理得，所以联立，得所以或下同解法1方法六：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则由（1）知，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动设，则由知，即联立解得或（舍去），代入式得，由余弦定理得7（2021全国高考）在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.