专题3.4 二元一次方程组的解法【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题3.4 二元一次方程组的解法【十大题型】【沪科版】【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】1【题型2 根据二元一次方程（组）的解求字母的值】3【题型3 二元一次方程组的一般解法】6【题型4 换元法解二元一次方程组】9【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】12【题型6 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】14【题型7 同解方程组中求字母的值】16【题型8 二元一次方程有唯一解】18【题型9 二元一次方程组的错解和遮挡问题】20【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】23【知识点1 二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方

2、程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】【例1】（2023上海七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（）4x+y=2x-2y=-3；2x-y=1y+z=1；x=3y-5=0；x-2y2=3x+3y=1A4个B3个C2个D1个【答案】C【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程【详解】解：、符合二元一次方程组的定义，故符合题意；、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故不符合题意；、符合二元一次方程组的定义，故符合题意；、该方

3、程组中第一个方程是二次方程，故不符合题意故选：C【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：方程组中的两个方程都是整式方程方程组中共含有两个未知数每个方程都是一次方程【变式1-1】（2023春黑龙江哈尔滨七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的为（）A3x+2=-7Bx+3=5yC1x-yD23xy=1【答案】B【分析】根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程【详解】解：A3x+2=-7只有一个未知数，故A选项不符合题意；Bx+3=5y，B选项符合题意；C1x不是整式，且没有等号，故C选项不符

4、合题意；D23xy的次数是2，故D选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键【变式1-2】（2023春云南楚雄七年级统考期末）若mx-3y=2x-7是关于x,y的二元一次方程，则m满足的条件是（）Am0Bm2Cm-1Dm3【答案】B【分析】首先把所给的方程化为m-2x-3y+7=0，然后根据二元一次方程的定义可得x和y的系数不为零，即可求得m的取值范围【详解】解：mx-3y=2x-7，m-2x-3y+7=0，根据二元一次方程的定义可得：m-20，m2，故选：B【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最

5、高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键【变式1-3】（2023春浙江七年级专题练习）若方程组x+ya-2=0a-3x+9y=0是二元一次方程组，求a的值【答案】-3或3或2或-2【分析】根据二元一次方程组的定义得到a-2=1或a-2=0，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值【详解】解：方程组是二元一次方程组，a-2=1或a-2=0，a=-3或3或2或-2【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组【知识点2 二元一次方程（组）的解】1、 二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方

6、程的一个解。2、 二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。【题型2 根据二元一次方程（组）的解求字母的值】【例2】（2023春四川泸州七年级统考期末）若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整数，则a+b的可能取值为（）A4B5C7D9【答案】C【分析】把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17得3a+2b=17，再根据a，b是正整数，可得a、b值，据此即可解答【详解】解：把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17，得3a+2b=17，a，b是正整数，a=1b=7或a=3b=4或a=5b=1，a+b=8或7或

7、6，故选：C【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和求二元一次方程的整数解，理解方程解的意义是解答本题的关键【变式2-1】（2023春四川南充七年级校考期末）关于x，y的方程组2x-y=mx+my=n的解是x=1y=3，则m+n的值是（）A2B3C4D5【答案】B【分析】把x与y的值代入方程计算求出m与n的值，代入原式计算即可求出值【详解】解：把x=1y=3代入方程组得：2x-y=mx+my=n，解得：m=-1，n=-2，则原式=-1-2=-3=3，故选：B【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和绝对值，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值【变式2-2】（2023春浙江嘉兴七年级统

8、考期末）若二元一次方程组2x-y=-2018-x+2y=-2017的解为x=ay=b，则ab的值为 【答案】-4035【分析】方程组的两个方程相加，即可得出x+y=-4035，代入求出即可【详解】解：2x-y=-2018-x+2y=-2017，+得：x+y=-4035，二元一次方程组2x-y=-2018-x+2y=-2017的解为x=ay=b，a+b=-4035，故答案为：-4035【点睛】题考查了解二元一次方程组和二次一次方程组的解，能选择适当的方法解二元一次方程组是解此题的关键【变式2-3】（2023春黑龙江齐齐哈尔七年级校考期末）若x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4

9、的值是（）A5B6C7D8【答案】C【分析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可【详解】解：x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，3a+b=1，9a+3b=3，9a+3b+4= 7，故选：C【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键【知识点3 二元一次方程组的解法】1.代入消元法变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； 代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解

10、：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； 联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.2.加减消元法化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； 加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数

11、的值，联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.【题型3 二元一次方程组的一般解法】【例3】（2023春江苏淮安七年级统考期末）解方程组：(1)2x+y=4x=y-1；(2)3x-y=135x+2y=7【答案】(1)x=1y=2(2)x=3y=-4【分析】（1）利用代入消元法，把代入求出y的值，再将y的值代入求出x的值即可；（2）利用加减消元法，2得出的式子再加即可求出x的值，再将x的值代入求出y的值即可【详解】（1）解：2x+y=4x=y-1，把代入得：2y-1+y=4，解得：y=2，把y=2代入得：x=2-1=1，故原方程组的解是：x=1y=2；（2）3x-y=135x+

12、2y=7，2得：6x-2y=26，+得：11x=33，解得：x=3，把x=3代入得：9-y=13，解得：y=-4，故原方程组的解是：x=3y=-4 【点睛】本题主要考查代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法【变式3-1】（2023春湖北咸宁七年级统考期末）解方程组：x=2y3x-5y=94x-2y=73x+2y=104x+5y=92x-3y=7x+y=03x-4y=1比较适宜的方法是（）A用代入法，用加减法B用代入法，用加减法C用代入法，用加减法D用代入法，用加减法【答案】D【分析】根据代入消元法和加减消元法的特性选择适宜方法，转化一元一次方程，即可

13、解得方程组的解【详解】解：中的第一个方程为x=2y，显然可用代入法；中的y的系数互为相反数，显然用加减法；中的第二个方程可以乘以2得4x-6y=14，即可用加减法进行消元；中的第一个方程可以转化为x=-y，即可用代入法进行消元用代入法，用加减法选第二个答案故答案选 D【点睛】根据代入消元法和加减消元法的定义，细心观察方程组的特点，灵活选择简便方法是解题的关键是否熟练掌握代入消元法（即用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，转化为一元一次方程，进而求解）和加减消元法（即将其中一个未知数的系数化为相同或相反时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程）是解题的重点【变式3-2】

14、（2023春山西阳泉七年级统考期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务解方程组：x+3y=1,3x+y=-5.现有两种思路，思路一：第一步将转化为用含y的代数式表示x，得到方程；第二步将代入，可消去未知数x思路二：第一步给3，得到方程；第二步用-，可消去未知数x任务：(1)我选择思路_，该思路解二元一次方程组的方法为_；(2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程；(3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_A转化B公理化C演绎D数形结合【答案】(1)一，代入消元法（或二，加减消元法）(2)见解析(3)A【分析】（1）根据自己的意愿选择思路即可；（2）根

15、据（1）根据中选择的思路解方程组即可；（3）根据（3）中解方程组的过程即可得出答案【详解】（1）解：一，代入消元法（或二，加减消元法）；（2）解：思路一：由得：x=1-3y，将代入得：3(1-3y)+y=-5，解得：y=1；将y=1代入，得x=-2，所以原方程组的解为x=-2y=1，思路二：3，得3x+9y=3，-，得8y=8，解得：y=1，将y=1代入，得x=-2，所以原方程组的解为x=-2y=1；（3）解：根据（2）中解二元一次方程组中体现的数学思想是转化，故答案为：A【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键【变式3-3】（2023春河南南阳七年级统考期末）解方

16、程组3x4+2y5=31202x3-3y5=-815【答案】x=1y=2【分析】先将原方程组化简，使得含未知数的各项系数均为整数，再将化简后的一个方程进行变形，然后用代入消元法进行求解【详解】解：原方程组化简，得15x+8y=31,10x-9y=-8,由得y=31-15x8，把代入，得10x-931-15x8=-8，解这个方程，得x1，把x1代入，得y2，所以这个方程组的解是x=1y=2【点睛】本题考查了解二元一次方程组，化简原方程组是解题的关键【题型4 换元法解二元一次方程组】【例4】（2023春河南南阳七年级统考期末）先阅读，再解方程组解方程组x-y-1=04(x-y)-y=5时，可由得x

17、-y=1，然后再将代入，得41-y=5，解得y=-1，从而进一步得x=0y=-1这种方法被称为“整体代入法”请用上述方法解方程组2x-3y+2=05-2x+3y7+2y=9【答案】x=5y=4【分析】将变形为2x-3y=-2，再整体代入中，即可求出y的值再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解【详解】解：2x-3y+2=05-2x+3y7+2y=9由得，2x-3y=-2，代入得5+27+2y=9，解得y=4，把y=4代入得，2x-34=-2，解得x=5故原方程组的解为x=5y=4【点睛】本题考查解二元一次方程组读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键【变式4-1】（2023春山西忻州七年

18、级统考期末）综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3+6x-y8=84x+3y6+6x-y2=11观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x-y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题设4x+3y=m，6x-y=n，则原方程组可化为_，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，所以4x+3y=186x-y=16，解方程组，得_探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y-2x-2y=2622x+y+3x-2y=13【答案】（1）m3+n8=8m6+n2=1

19、1，x=3y=2；（2）x=3y=2【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；【详解】解：（1）设4x+3y=m，6x-y=n，则原方程组可化为m3+n8=8m6+n2=11，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，所以4x+3y=186x-y=16，解方程组，得x=3y=2，故答案为：m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；（2）设2x+y=m，x-2y=n，则原方程组可化为3m-2n=262m+3n=13，解关于m，n的方程组，得m=8n=-1，所以2x+y=8x-

20、2y=-1，解方程组，得x=3y=2；【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键【变式4-2】（2023春吉林长春七年级长春市第五十二中学校考期中）阅读材料：解方程组x-y-5=03x-y+2y=9时，可由得x-y=5，然后再将代入，得35+2y=9，解得y=-3，将y=-3代入可求得x=2，从而求得方程组的解为x=2y=-3，这种解方程组的方法被称为“整体代入法”利用上述方法解方程组：3x+y+1=03x+y-67+2y=7【答案】x=-53y=4【分析】由得：3x+y=-1，把3x+y=-1代入可求出y，把y=4代入即可求出x【详解】解：3x+y+1

21、=03x+y-67+2y=7可由得：3x+y=-1，把3x+y=-1代入得：-1-67+2y=7，解得：y=4，把y=4代入得：x=-53，方程的解为x=-53y=4；【点睛】本题考查新定义下的计算，读懂题意是关键【变式4-3】（2023春福建泉州七年级校考期中）先阅读下列材料；再解决相关问题：解方程组a-1+2b+2=62a-1+b+2=6解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可转化为x+2y=62x+y=6解方程组得x=2y=2，即a-1=2b+2=2，所以a=3b=0此种解方程组的方法叫换元法(1)如果用换元法解方程组：1m+1n=2,1m-1n=7，可以设x=_，y=_，则该方程组可以

22、转化为关于x、y的方程组：_；(2)用换元法解方程组：2a3-1+3b5+2=7,5a3-1-2b5+2=8【答案】(1)1m,1n，x+y=2x-y=7(2)a=9b=-5【分析】（1）观察方程组的特点，可以设x=1m,y=1n，即可解决问题；（2）设x=a3-1,y=b5+2，然后根据题目提供的解方程组的方法解答即可【详解】（1）解：用换元法解方程组：1m+1n=2,1m-1n=7，可以设x=1m,y=1n，则该方程组可以转化为关于x、y的方程组x+y=2x-y=7；故答案为：1m,1n，x+y=2x-y=7；（2）设x=a3-1,y=b5+2，则原方程组可以转化为关于x、y的方程组2x+

23、3y=75x-2y=8，解这个方程组，得x=2y=1，即a3-1=2b5+2=1，解得a=9b=-5【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、掌握换元法求解的方法是解题的关键【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】【例5】（2023春上海浦东新七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=3k-1x+2有唯一解？无解？有无数解？【答案】当k12时，方程组有唯一解；当k=12，b2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可【详解】解：y=kx+by=3k-1x+2-可得：kx+b=3k-1x+2，化

24、简可得：2k-1x=b-2（1）当2k-10时，即k12，方程2k-1x=b-2有唯一解，即方程组y=kx+by=3k-1x+2有唯一解；（2）当2k-1=0，b-20时，即k=12，b2，方程2k-1x=b-2无解，即方程组y=kx+by=3k-1x+2无解；（3）当2k-1=0，b-2=0时，即k=12，b=2，方程2k-1x=b-2有无数解，即方程组y=kx+by=3k-1x+2有无数解；综上，当k12时，方程组有唯一解；当k=12，b2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法【

25、变式5-1】（2023春江苏南通七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,c的值应满足的条件是()AabBbcCacDac且c1【答案】A【分析】先消去y，得到关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件【详解】x+y=1ax+by=c，-b得：a-bx=c-b，x=c-ba-b，要使方程有唯一解，则ab，故选：A【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组以及解一元一次方程，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法【变式5-2】（2023春七年级课时练习）若方程组y=kx+by

26、=3k-1x+2有无穷多组解，则2k+b2的值为 【答案】5【分析】方程组有无数解，则这个方程组包含两个相同方程【详解】解：由题意知，方程组包含的两个方程是同一个方程等式，k=3k-1，b=2，解得k=12,b=2，2k+b2=1+4=5，故答案为5【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组有无数解是解题关键【变式5-3】（2023春浙江七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（）A

27、0B1C2D3【答案】D【分析】将k=5代入，得到方程组3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判断；解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=45代入6x+15y=16，即可做出判断；解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2-203k-15y=4k-5，根据k为整数即可作出判断【详解】解：当k=5时，方程组为3x+5y=63x+5y=10，此时方程组无解；故正确；解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=45代入6x+15y=16，方程左右两边相等，故正确；解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2-2

28、03k-15y=4k-5，又k为整数，若y是整数，则k-5=4，-4，2，-2，1，-1此时x不是整数，x、y不能均为整数，故正确故选：D【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值【题型6 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】【例6】（2023春湖南怀化七年级溆浦县第一中学校考期中）已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=2y=-1，则关于x，y的方程组a1(x+2022)+b1(y-2022)=c1a2(x+2022)+b2(y-2022)=c2的解是 【答案】x=-2020y=2021【分析】设x+202

29、2=my-2022=n，可得m=2n=-1，即可求解【详解】解：设x+2022=my-2022=n，由a1(x+2022)+b1(y-2022)=c1a2(x+2022)+b2(y-2022)=c2得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，因为方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=2y=-1，所以m=2n=-1是方程组a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2的解，所以x+2022=2y-2022=-1，解得x=-2020y=2021故答案：x=-2020y=2021【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键【变式6-1】（2023春

30、福建泉州七年级校联考期中）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=-6y=4，则关于x，y的方程组3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2的解是 【答案】x=-10y=5【分析】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可【详解】解：方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=-6y=4，-6a1+4b1=c1-6a2+4b2=c2，3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2可变形为：35a1x+45b1y=c135a2x+45b2y=c2，35x=-645y=4，解得：x=-10y=5，故答案为：x=-10y=5【点

31、睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值【变式6-2】（2023春湖南七年级期末）若关于x，y的方程组4x+1+3ax-2y=16-bx+1+2x-2y=15（a，b是常数）的解为x=3y=5，则方程组4x+3ay=16-bx+2y=15的解为（）Ax=4y=-7Bx=2y=-7Cx=2y=-4Dx=4y=-4【答案】A【分析】根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组4x+3ay=16-bx+2y=15的解为x=3+1y=3-25，进而可得出结论【详解】解：关于x，y的方程组4x+1+3ax-2y=16-bx+1+2x-2y=15（a，b是常数）的解

32、为x=3y=5，方程组4x+3ay=16-bx+2y=15的解为x=3+1y=3-25，即x=4y=-7故选：A【点睛】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键【变式6-3】（2023春福建泉州七年级泉州七中校考期中）已知关于x，y的方程组ax+by=10mx-ny=8的解是x=1y=2，则关于x，y的方程组12ax+y+13bx-y=1012mx+y-13nx-y=8的解为（）Ax=1y=2Bx=2y=1Cx=4y=-2Dx=3y=2【答案】C【分析】根据题意，可得：12x+y=113x-y=2，解方程组即可【详解】解：关于x，y的方程组ax+by=10m

33、x-ny=8的解是x=1y=2，方程组12ax+y+13bx-y=1012mx+y-13nx-y=8的解为12x+y=113x-y=2，解得：x=4y=-2；故选C【点睛】本题考查解二元一次方程组解题的关键是得到12x+y=113x-y=2【题型7 同解方程组中求字母的值】【例7】（2023春山东泰安七年级统考期末）已知方程组5x+y=3px+5y=4和x-2y=55x+qy=1有相同的解，则p，q的值为（）Ap=1q=2Bp=-4q=-6Cp=-6q=2Dp=14q=2【答案】D【分析】由题意解方程组5x+y=3x-2y=5，把求得的解代入方程组5x+qy=1px+5y=4中，即可求得结果【

34、详解】解：解方程组5x+y=3x-2y=5，得：x=1y=-2，把x=1y=-2代入5x+qy=1px+5y=4中，得5-2q=1p-10=4，解得：p=14q=2；故选：D【点睛】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是本题的关键与难点【变式7-1】（2023春陕西西安七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=74x+y=9和-x+5y=35x+by=8同解，则a+b= 【答案】0【分析】由系数已知两方程组成方程组，求解得x=2y=1，分别代入含参数方程，求得参数【详解】解：由题意，得4x+y=9-x+5y=3求解得，x=2y=1，代入ax+

35、3y=7得，2a+3=7，解得a=2，代入5x+by=8得，10+b=8，解得b=-2，a+b=0故答案为：0【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解；理解方程组的定义是解题的关键【变式7-2】（2023春湖南常德七年级统考期中）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x-y=3nx+m-1y=3有相同的解，(1)求这个相同的解；(2)求m、n的值；(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由【答案】(1)x=2y=-1(2)m=6n=4(3)对，见解析【分析】（1）根据两个方程组有相同的解

36、，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；（3）将（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化简，即得出5=5，即说明这句话对【详解】（1）由题意可得：x+y=1x-y=3，解得x=2y=-1；（2）将x=2y=-1代入含有m，n的方程得：2m-2n=42n-m-1=3，解得：m=6n=4；（3）将x=2y=-1代入3+ax+2a+1y=5，得：3+a2+2a+1-1=5，化简得：6+2a-2a-1=5，即5=5所以无论a取何值，x=2y=-1都是方程3+ax+2a+1y=3的解【点睛】本题考查

37、同解方程组，由二元一次方程组的解求参数理解同解方程组的概念是解题关键【变式7-3】（2023春四川自贡七年级统考期末）下列方程中，与方程组x+y=52x-y=4同解的是（）Ax+y=5B2x-y=4Cx+y-52+2x-y-4=0D2x-y-4x+y-5=0【答案】C【分析】利用方程组的定义，结合非负数的性质，有理数的乘法分别分析即可.【详解】解：A、x+y=5是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；B、2x-y=4是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；C、x+y-52+2x-y-4=0，可得：x+y-5=02x-y-4=0，可知与原方程组同解，故选项符合；D、2x-y-4x+y-5=0

38、，2x-y-4=0或x+y-5=0，有无数组解，故选项不符合；故选C.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及非负数的性质，掌握方程组的解的定义是解题的关键.【题型8 二元一次方程有唯一解】【例8】（2023春浙江七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程(a-2)x+(a+1)y+8-a=0无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（）Ax=3y=-2Bx=2y=-1Cx=4y=6Dx=4y=-9【答案】A【分析】如果当a取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论a取何值，都不影响方程，即含a的项的系数相加为0【详解】解：方程整理为ax2xayy8a0

39、，a（xy1）2xy80无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，x+y-1=0-2x+y+8=0，解得：x=3y=-2故选：A【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解与a无关得出方程组是解题关键【变式8-1】（2023春江苏南通七年级校考期中）已知关于x，y的二元一次方程(3a+2)x-(2a-3)y-11-10a=0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为 【答案】x=4y=1【分析】根据题意先给a取任意两个值，然后代入，得到关于x、y的二元一次方程组，解之得到x、y的值，再代入原方程验证即可【详解】无论a取何值，方程都有一个固定的解，a值可任意取两个值，可取a=0，方程

40、为2x+3y-11=0，取a=1，方程为5x+y-21=0，联立两个方程解得x=4,y=1，将x=4,y=1代入(3a+2)x-(2a-3)y-11-10a=0，得(3a+2)4-(2a-3)1-11-10a=12a+8-2a+3-11-10a=0对任意a值总成立，所以这个固定解是x=4y=1，故答案为：x=4y=1【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握带有参数的方程的解法是解答的关键【变式8-2】（2023春福建龙岩七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是 【答案】x=-4y=3【分析】将等式移项，然后根据等式恒成

41、立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可【详解】解：2x+3y-1-2k-4y+x+16=0，2x+3y-1=2k-4y+x+16，无论k取何值，等式2x+3y-1-2k-4y+x+16=0恒成立，2x+3y-1=0-4y+x+16=0，解得：x=-4y=3，故答案为：x=-4y=3【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键【变式8-3】（2023秋山东枣庄七年级校考期末）在关于m，n的方程m+2n-8+4m+3n-7=0中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的和为 【答案】3【分析】要使无论取何值时，方程恒成立，必须满足m+2n-8

42、=0且4m+3n-7=0联立方程组成方程组，解方程组得出m、n即可【详解】解：由题意，得：m+2n-8=04m+3n-7=0 ，解得：m=-2n=5，mn3，故答案为：3【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握方程为0的条件和根据题意正确列出二元一次方程组【题型9 二元一次方程组的错解和遮挡问题】【例9】（2023春江苏七年级专题练习）马虎的小李同学在解方程组y=kx+by=2x-1的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为x=1y=1；而粗心的小杨同学把方程组抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为x=3y=7，则

43、题目中的b= 【答案】28【分析】把方程组的解为x=1y=1代入y=kx+8，求出k，把k的值代入y=kx+b中，再把方程组的解为x=3y=7代入即可求出b【详解】解：由题意，方程y=kx+8的解为x=1y=1，1=k+8，解得k=-7，当k=-7时，方程组y=kx+by=2x+1为y=-7x+by=2x+1，由于该方程组的解为x=3y=7，所以7=-21+bb=28故答案为：28【点睛】本题考查方程组的解和解一元一次方程方程组的解是使方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，故可将所得方程组的解代入其中一个方程，依次求出对应的k和b【变式9-1】（2023春河南南阳七年级统考期中）小刚解出了方

44、程组3x-y=32x+y=的解为x=4y=因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则、分别为 【答案】17，9【分析】把x=4代入3x-y=3中求出y，再把x，y代入另外一个不等式计算即可；【详解】将x=4代入3x-y=3，12-y=3，y=9，将x=4，y=9代入2x+y=中，=8+9=17；故答案是：17，9【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键【变式9-2】（2023春河南洛阳七年级偃师市实验中学校考期末）已知x+y=1x-7y=1是一个被墨水污染的方程组圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=-1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x

45、=-2y=1”请你根据以上信息，把方程组复原出来【答案】2x+5y=1-2x-7y=1【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，这个方程组的解是x=3y=-1，3a-b=13c+7=1，c=-2看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=-2y=1，-2a+b=1，-2a+b=13a-b=1，解得：a=2b=5原方程组为2x+5y=1-2x-7y=1【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键【变式9-3】

46、（2023春江西七年级校考阶段练习）已知方程组2x+my=10nx-2y=-6，小聪由于看错了方程中的系数m，得到方程组的解为x=26y=42；小明由于看错了方程中的系数n，得到方程组的解为x=14y=-18；请你根据上述条件求原方程组的解【答案】x=2y=6【分析】根据题意得到关于m、n得二元一次方程组，求出m、n的值，再代入原方程组，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案【详解】解：由题意可知，26n-242=-6214-18m=10，整理得：26n-84=-628-18m=10，解得：m=1n=3，原方程组为2x+y=103x-2y=-6，2+得：7x=14，解得：x=2，将x=2代入

47、得：22+y=10，解得：y=6，方程组的解为x=2y=6【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】【例10】（2023春黑龙江牡丹江七年级统考期中）若方程组3x-y=4k-102x+6y=k的解满足x+y=2022，则k等于 【答案】2024【分析】用整体思想+，得5x+5y=5k-10，等是两边都除以5，得x+y=k-2，再根据x+y=2022 ，从而计算出k的值【详解】解：3x-y=4k-102x+6y=k，+得5x+5y=5k-10，x+y=k-2x+y=2022，k-2=2022，k=2024

48、故答案为：2024【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键【变式10-1】（2023春广西贵港七年级统考期中）若关于x、y的方程组2x+y=1-3kx+2y=2的解互为相反数，则k的值为（）Ak=-1Bk=0Ck=1Dk=2【答案】C【分析】由+得x+y=1-k，由方程组的解互为相反数得x+y=0，进而可求出k=1【详解】2x+y=1-3kx+2y=2，+，得3x+3y=3-3k，x+y=1-k，方程组2x+y=1-3kx+2y=2的解互为相反数，x+y=0，1-k=0，k=1故选C【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值