专题3.5 指数与指数函数（解析版）.docx

1、专题3.5 指数与指数函数题型一指数幂的运算题型二指数函数的概念题型三指数函数的图象问题题型四指数型函数过定点问题题型五指数函数的定义域和值域问题题型六利用指数的单调性解不等式或比较大小题型七由指数函数的单调性求参数题型八指数函数的最值问题题型九指数函数的实际应用题型一指数幂的运算例1化简【答案】【分析】根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据指数幂的运算法则，可得：.例2（2022秋高一课时练习）计算：(1)；(2)已知：，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；（2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值.【

2、详解】（1）解：原式.（2）解：因为，则，所以，所以，可得，因此，.练习1（2022秋高一课时练习）的值为（）ABCD【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质求解即可.【详解】解：故选：D.练习2（2022秋高三课时练习）化简的结果为（）ABCD【答案】B【分析】利用平方差公式化简即可.【详解】=故选：B练习3（2022秋高三课时练习）化简求值：(1)；(2).【答案】(1)100(2)4【分析】根据指数幂运算性质运算求解即可.【详解】（1）解：.（2）解：练习4（2022秋高三课时练习）已知，则的值是（）A15B12C16D25【答案】A【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.【详解】因为，

3、所以，又由立方差公式，故选：A练习5（2022秋高三课时练习）化简：= _（用分数指数幂表示）.【答案】【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果.【详解】因为.故答案为：.题型二指数函数的概念例3（2022秋高三单元测试）（多选）下列函数中，是指数函数的是（）ABCD【答案】BC【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可.【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合；对于B，且，故符合.故选：BC例4（2021秋高三课时练习）如果指数函数的图象经过点，那么的值为_.【答案】/0.5【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值.【详解

4、】设幂函数，已知图象过点，所以，解得，所以.所以.故答案为：.练习6（2022秋高三课时练习）若有意义，则a的取值范围是()ABCD且【答案】D【分析】根据根式、指数幂的性质列不等式组求参数范围即可.【详解】由题设知：，可得.故选：D练习7（2022秋高三课时练习）（多选）下列函数中，是指数函数的为（）ABCD【答案】AD【分析】利用指数函数的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】形如(且)形式的为指数函数，以上满足的条件的为AD.故选：AD.练习8（2023秋云南大理高三统考期末）（多选）已知函数（a0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（）AB=2C=3D=6【答案】AD【分析】将点（

5、2,4），（4,2），代入求得的值.【详解】由已知得，两式相比得，所以，由得 ，所以，故选：AD练习9（2022秋高一课时练习）若函数为指数函数，则（）A或B且CD【答案】C【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.【详解】因为函数为指数函数，则，且，解得，故选：C练习10（2022秋浙江温州高三校考期中）（多选）若指数函数经过点，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】BD【分析】根据指数函数的定义，代入已知点，求得函数解析式，明确函数单调性，逐项验证可得答案.【详解】由题意，设，则，解得，即，易知在上单调递减，对于A、B，由，则，故A错误，B正确；对于C，由，则，故C错误；对于D，由，则，

6、故D正确.故选：BD.题型三指数函数的图象问题例5（2022秋内蒙古兴安盟高三乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（多选）若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（）ABCD【答案】BC【分析】根据函数(且)的图像经过第一、二、三象限，判断a， b的范围，再由指数函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为函数(且)的图像经过第一、二、三象限，所以，所以是增函数，是减函数，则，故选：BC.例6（2021秋高三课时练习）函数（）的图象可能是（）ABCD【答案】C【分析】结合指数函数的性质，分和两种情况求解即可.【详解】当时，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；当 时，因此，且函数在上单调递减

7、，故C符合，D不符合故选：C练习11（2022秋河南商丘高三校联考阶段练习）已知函数，若存在且，满足，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】画出函数的图象，结合，得到，再利用基本不等式求得，即可求解.【详解】如图所示，画出函数的图象，结合图象和题意，可得，所以，由，即，可得，由基本不等式可得，所以，所以.故选：B.练习12（2022秋高三单元测试）函数；的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，

8、d，a，b，而.故选：C练习13（2023秋河南安阳高三统考期末）已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（）ABCD【答案】C【分析】根据指数函数和二次函数的性质，判断图像的形状.【详解】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确；当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误故选：C练习14（2023秋湖南娄底高三校联考期末）（多选）函数 的图象的大致形状是（）ABCD【答案】AB【分析】化简得，分、，分别讨论和的单调性及取值范围，即可得答案.【详解】解：因为，当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；在上单调递减，当趋于时，趋于,故排除D；当时

9、，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于,故排除C.故选：AB.练习15（2022秋上海徐汇高一上海市第二中学校考期中）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（）ABCD【答案】D【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示：由图象知，当时，所以选项正确；作出直线，当时，若，则，所以选项正确；当时，若，则，所以选项正确所以不可能成立的是，故选：题型四指数型函数过定点问题例7（2023秋吉林松原高三松原市实验高级中学校考期末）函数且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为_.【答

10、案】【分析】由已知可得，待定系数法设出，代入求出，即可求出的值.【详解】由可得，所以.设，由可得，所以，即有，所以.故答案为：.例8（2020秋广东梅州高三校考期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（）A(1,5)B(1,4)C(0,4)D(4,0)【答案】A【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即得.【详解】当时，所以.故选：A.练习16（2022秋高三课时练习）函数（且）的图象恒过定点（）ABCD【答案】C【分析】令指数为零，求出的值，代入函数解析式可得出函数图象所过定点的坐标.【详解】对于函数，则，可得，则，所以，函数（且）的图象恒过定点坐标为.故选：C.练习17（2023秋四

11、川眉山高三眉山市彭山区第一中学校考期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象必经过定点_【答案】【分析】先设出，代入点可得，则可得到，令即可得定点.【详解】设，则由已知，得，令，得，则所以函数的图象必经过定点.故答案为：.练习18（2022秋河北沧州高三统考期中）已知函数且，当任意变化时，的图像恒过点，则实数_.【答案】【分析】根据的图像恒过点，由求解.【详解】解：因为的图像恒过点，所以，当任意变化时，该式恒成立，所以，即.故答案为：-1练习19（2022秋内蒙古呼和浩特高三铁路一中校考期中）已知函数（，且）的图象过定点，则（）ABCD【答案】D【分析】由指数函数过定点，可求得，即有，再根据指

12、数幂的运算法则即可求得答案.【详解】解：因为指数函数过定点 ,所以（，且）的图象过定点，所以，所以，所以.故选：D练习20（2022秋上海长宁高三上海市延安中学校考期末）函数的图像恒过定点，若点的坐标满足方程，则的最小值_【答案】【分析】先判断出，代入得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得.【详解】令，解得：.由可得：函数的图像恒过定点.因为点的坐标满足方程，所以.因为，所以.所以（当且仅当，即时等号成立）所以的最小值为.故答案为：题型五指数函数的定义域和值域问题例9（2021全国高一专题练习）定义区间（）的长度为已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（）AB1CD2

13、【答案】B【分析】作出函数在值域为上的图象，由图象可得出长度最小和最大的区间，由此可得结论【详解】如图是函数在值域为1，2上的图象使函数的值域为1，2的定义域区间中，长度最小的区间为或0，1，长度最大的区间为，从而由定义可知区间的长度的最大值与最小值的差为故选：B例10（2022秋高三单元测试）若定义运算，则函数的值域是（）ABCD【答案】A【分析】根据函数定义写出在对应区间上的解析式，结合指数函数性质求值域.【详解】若，即时；若，即时；综上，值域为.故选：A练习21（2023秋河南许昌高三校考期末）若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（）A1B2C3D4【答案】C【分析】由指数函数的单调性

14、可得最大值和最小值，列方程可得结果.【详解】在R上单调递增，在 上单调递增，当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ，解得：a=3.故选：C.练习22（2022秋高三课时练习）函数的定义域为_.【答案】【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为.故答案为：.练习23（2023春重庆永川高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A定义域为B值域为C在上单调递增D在上单调递减【答案】ABD【分析】根据指数函数的定义域与值域可判断AB；根据指数函数、二次函数及复合函数的单调性可判断CD

15、.【详解】函数，可得函数定义域为，故A正确；设，由指数函数的单调性得到，函数值域为，故B正确；在上是单调递增的，而在定义域内是单调递减的，根据复合函数单调性法则，得到函数在上单调递减，故C错误；D正确故选:ABD练习24（2023秋江苏镇江高三统考期末）已知函数，则的值域为_函数图象的对称中心为_.【答案】 【分析】将函数的解析式变形为，结合不等式的基本性质可求得的值域；利用函数对称性的定义可求得函数的对称中心的坐标.【详解】因为，则，所以，所以，函数的值域为，因为，则，因此，函数图象的对称中心为.故答案为：；.练习25（2023全国高三专题练习）函数的定义域为_【答案】【分析】利用根号的性质

16、及指数单调性求解即可.【详解】由题，即，即，因为为单调递增函数，所以，即故答案为：题型六利用指数的单调性解不等式或比较大小例11（2022海南校联考模拟预测）不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，将不等式转化为，利用单调性可解.【详解】构造函数，易知函数在上为单调递增函数因为不等式等价于，又，所以，所以由函数的单调性知，即，解得或，所以原不等式的解集为.故选：D例12（2021秋高三课时练习）已知，则a，b的大小关系为_(用“”连接).【答案】a，得到，再利用函数y=是R上的减函数求解.【详解】解：因为，所以，又函数y=是R上的减函数，所以ab.故答案为：a甲丙.故选：A练习4

17、4（2023全国高三专题练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2022年年底该地区的农民人均年收入为_元.(精确到个位)(附：1.0661.42，1.0671.50，1.0681.59)【答案】4 500【分析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，即可得到答案；【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y3 0001.06x，因为2014年年底到2022年年底经过了7年，故把x7代入，即可求得y3 0001.0674 500.故答案为：4 500

18、练习45（2020秋江苏苏州高三昆山市第一中学校考阶段练习）若一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（）A3B4C5D6【答案】C【解析】先根据题意设小时后才能开车再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于的不等关系,代入选项验证即可求解.【详解】设小时后才能开车,则有,即,由于没有对数参考值， 根据选项代入验证，当时不等式不成立，当时，不等式成立，故最小为5.故选：C【点睛】关键点点睛：根据问题的实际背景，抽象出指数不等式，利用验证的的方式寻求不等式成立的最小正整数解.