专题30 轴对称综合题中的面积问题(解析版).docx

1、专题30 轴对称综合题中的面积问题 【题型演练】一、单选题1如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足BPC90，连接PO若PO4，则四边形OBPC的面积为（）A6B8C10D16【答案】B【分析】先画出将OCP顺时针旋转90到OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证POQ是直角三角形，求出SPOQOPOQ448，最后由S四边形OBPCSOCP+SOBPSOBQ+SOBPSPOQ求解【详解】解：如图，四边形ABCD是正方形，OCOB，BOC90，将OCP顺时针旋转90，则到OBQ的位置，则OCPOBQ，BPC90，OCP

2、+OBP3609090180，OCPOBQ，OBQ+OBP180，Q、B、P在同一条直线上，PO4，OCPOBQ，QOPO4，COPBOQ，QOPBOC90，POQ是直角三角形，SPOQOPOQ448，S四边形OBPCSOCP+SOBPSOBQ+SOBPSPOQ8，故选：B【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPCSOCP+SOBPSOBQ+SOBPSPOQ是解题的关键2一副三角板按图1所示的位置摆放，将DEF绕点A(F)逆时针旋转60后(图2)，测得CG10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为()A75cm2；B（2525

3、)cm2；C(25)cm2；D(25)cm2【答案】C【分析】过点G作，根据题意及三角函数可得，结合图形求解即可得出结果【详解】解：过点G作，如图所示，在中，在中，阴影部分的面积为：，故选：C【点睛】本题考查旋转、三角形的面积公式，锐角三角函数解三角形等，掌握旋转的特征和三角形的面积公式是解答本题的关键3如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150；S四边形AOBO=6+4；SAOC+SAOB=6+，其中正确的结论是（）ABCD【答案】D【分

4、析】证明BOABOC，又OBO=60，所以BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到，故结论正确；由OBO是等边三角形，可知结论正确；在AOO中，由三边长为3，4，5，得AOO是直角三角形；进而求得AOB=150，故结论正确；S四边形AOBO=SAOO+SOBO=6+4，故结论正确；将AOC绕A点顺时针旋转60到ABO位置，S四边形AOBO=SAOO+SOBO=6+，故结论正确【详解】如图，由题意可知，1+2=3+2=60，1=3，又OB=OB，AB=BC，BOABOC，又OBO=60，BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到，故结论正确；如图，连接OO，OB=OB，且OBO=60，OBO是

5、等边三角形，OO=OB=4故结论正确；BOABOC，OA=5在AOO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，AOO是直角三角形，AOO=90，AOB=AOO+BOO=90+60=150，故结论正确；S四边形AOBO=SAOO+SOBO=34+42=6+4，故结论正确；如图2，将AOC绕A点顺时针旋转60到ABO位置，同理可得SAOC+SAOB= S四边形AOBO=SAOO+SOBO=6+，故正确；故选D【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点4如图，将绕点逆时针旋转60得到，连接若，则四边形面积

6、的最小值是（ ）ABCD【答案】D【分析】将四边形的面积转化为，再进行分析解答【详解】由旋转得：，设四边形面积为S，由旋转可知，ABAD，而DAB60，ABD是等边三角形，ADBABDDAB60，最大时，最小，作的外接圆， 易知，当为中点时，面积最大，过作于，则设，故选D【点睛】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大5将反比例函数y的图象绕坐标原点O逆时针旋转30，得到如图的新曲线A（3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则OCD的面积为（）A3B8C2D【答案】A【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以

7、及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C、D的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AMx轴，BNx轴，垂足为M、N，点A（3，3），B（，），OM3，AM3，BN，ON，OA6，OB3，tanAOM，AOM60，同理，BON30，因此，旋转前点A所对应的点A（0，6），点B所对应的点B（3，0），设直线AB的关系式为ykxb，故有，解得，k2，b6，直线AB的关系式为y2x6，由题意得，解得，因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C（1，4），D（2，2），如图2所示，过点C

8、、D，分别作CPx轴，DQx轴，垂足为P、Q，则，CP4，OP1，DQ2，OQ2，SCODSCODS梯形CPQD（24）（21）3，故选：A【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键6如图，在矩形ABCD中，ABD60，BD16，连接BD，将BCD绕点D顺时针旋转n（0n90），得到BCD，连接BB，CC，延长CC交BB于点N，连接AB，当BABBNC时，则ABB的面积为（）ABCD【答案】C【分析】过点D作DEAB，交的延长线于点E，利用直角三角形的边角关系可得AD的长，由旋转可知：DCDC，DBDB，CDCBDB，得到CD

9、CBDB，则DCCDBB，利用三角形的内角和定理可得BNC=CDB=60，于是BAB60；在中利用直角三角形的边角关系可得AE，DE，在中，利用勾股定理可求，则ABBEAE；利用平行线之间的距离相等可得ABB中AB边上的高等于DE，利用三角形的面积公式结论可求【详解】解：过点D作DEAB，交BA的延长线于点E，如图，在矩形ABCD中，ABD60，BD16，ADBCBDsinABD168由旋转可知：DCDC，DBDB，CDCBDB，CDCBDBDCCDBBBNCCDBCDBABD，BNCBAB，ABD60，BAB60BAD90，EAD180BABBAD30DE4，AEADcosEAD812BEA

10、BBEAE412BABABD60，ABBDABB中AB边上的高等于DE（412）4824故选：C【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，过点D作DE，添加适当的辅助线，利用直角三角形的边角关系求得的长是解题的关键二、填空题7如图，一副三角板如图1放置，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，此时四边形的面积是_【答案】【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和AED=75，推出ABCD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABC

11、D的面积即可【详解】解：如图2，延长CE交AB于点F，又，ABCD，四边形是平行四边形，即，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键8如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则AEB面积的最小值是_ 【答案】1【分析】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点在线段上时，点到的距离最小，从而可计算出的面积的最小值【详解】解：作于，如图，点是的中点，将绕着点逆时针旋转，

12、在旋转过程中点的对应点为点，即点在以为圆心，2为半径的圆上，点在线段上时，点到的距离最小，的面积的最大值为故答案为：1【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了勾股定理9如图在RtABC中，BAC=90，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，DAE=90，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则PMN面积的最小值是_【答案】【分析】通过和为等腰直角三角形，判定出，得到 通过已知条件，再设得到为等腰直角三角形，所以当BD最小时，的面积最小，

13、D是以A为圆心，AD=4为半径的圆上的点，所以点D在AB上时，BD最小，即可得到最终结果【详解】RtABC中，BAC=90，AB= AC =10，为等腰直角三角形，又DAE=90，AD= AE =4，为等腰直角三角形， 点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点， 设 是等腰直角三角形， 当BD最小时，的面积最小，是以A为圆心，AD=4为半径的圆上的点，点D在AB上时，BD最小， PMN面积的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，有一定难度和综合性，属于压轴题，熟练掌握这些性质，利用旋转解题是关键10如图所示，在和中，连接、，

14、将绕点旋转一周，在旋转的过程中，当最大时，_【答案】6【分析】先确定D的轨迹是以A为圆心，AD为半径的圆，再由，分析出当最大时，AH最大，再由直角三角形斜边大于直角边得在旋转过程中，即，时，AH取得最大值3，算出此时的面积为，再通过取BD中点G，连接AG并延长至F，使得FG=AG，证明即可【详解】解：如图，将绕点A旋转一周，D的轨迹为以点A圆心，AD为半径的圆，过A作BD垂线交BD延长线于H，当最大时，AH最大，在旋转过程中，即时，AH取得最大值3此时直角三角形中，的面积为，如图，取取BD中点G，连接AG并延长至F，使得FG=AG，故答案为：6【点睛】本题考查旋转的性质、锐角三角函数、全等三角

15、形的判定与性质等知识，难度较大，掌握相关知识是解题关键三、解答题11如图1，在等腰三角形中，点D、E分别在边、上，连接点M、N、P分别为的中点(1)观察猜想图1中，线段的数量关系是_，的大小为_(2)探究证明把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸将图1中的绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值【答案】(1)NM=NP；60；(2)是等边三角形，理由见解析(3)的最大面积为【分析】（1）先证明由AB=AC，AD=AE，得BD=CE，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得MNP的大小； （2）先证明ABDACE得BD

16、=CE，再由三角形的中位线定理得NM=NP，由平行线性质得MNP=60，再根据等边三角形的判定定理得结论； （3）当最大，则最大，则等边的面积最大，则当时最大，再由等边三角形的面积公式进行计算便可(1)解：AB=AC，AD=AE， BD=CE， 点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点， MN=BD，PN=CE， MN=PN，ENM=EBA，ENP=AEB， MNE+ENP=ABE+AEB， ABE+AEB=180-BAE=60， MNP=60， 故答案为：NM=NP；60；(2)MNP是等边三角形 理由 如下：由旋转可得，BAD=CAE， 又AB=AC，AD=AE， ABDACE（SAS），

17、 BD=CE，ABD=ACE， 点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点 MN=BD，PN=CE， MN=PN，ENM=EBD，BPN=BCE， ENP=NBP+NPB=NBP+ECB， EBD=ABD+ABE=ACE+ABE， MNP=MNE+ENP=ACE+ABE+EBC+EBC+ECB=180-BAC=60， MNP是等边三角形；(3)由（2）得，当最大，则最大，则等边的面积最大，当时最大，此时BD=AB+AD=8， MN=PN=4， MNP的面积=， MNP的面积的最大值为【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性

18、质，锐角三角函数的应用，关键证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来12如图1，在矩形ABCD中，AB，ABD30，点E是边AB的中点，过点E作EFAB交BD于点F.(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF绕点B按逆时针方向旋转90如图2所示，得到结论：的值为；直线AE与DF所夹锐角的度数为；(2)小王同学继续将BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)在以上探究中，当BEF旋转至D、E、F三点共线时，则ADE的面积为 .【答案】(1)；(2)结论成立，理由见解析(3)【分析】（1）通过证明FBDEBA，可

19、得，BDFBAE，即可求解；（2）通过证明ABEDBF，可得，BDFBAE，即可求解；（3）分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解(1)解：如图1，ABD30，DAB90，EFBA，cosABD，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，BEF绕点B按逆时针方向旋转90，DBFABE90，FBDEBA，BDFBAE，又DOBAOF，DBAAHD30，直线AE与DF所夹锐角的度数为30，故答案为：，30；(2)结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，将BEF绕点B按逆时针方向旋转，ABEDBF，又，ABEDBF，BDFBAE，又DOHAOB，AB

20、DAHD30，直线AE与DF所夹锐角的度数为30(3)如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DGAE于G，AB4，ABD30，点E是边AB的中点，DAB90，BE2，AD4，DB8，EBF30，EFBE，EF2，D、E、F三点共线，DEBBEF90，DE，DEA30，DGDE，由（2）可得：，AE，ADE的面积AEDG（）；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DGAE，交EA的延长线于G，同理可求：ADE的面积AEDG（）；故答案为：或【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分情况讨论思想解决问题是解题的关键.13如图，矩

21、形中，为等边三角形点E，F分别为边上的动点，且，P为上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接(1)求证：；(2)当三条线段的和最小时，求的长；(3)若点E以每秒2个单位的速度由A点向D点运动，点P以每秒1个单位的速度由E点向F点运动E，P两点同时出发，点E到达点D时停止，点P到达点F时停止，设点P的运动时间为t秒求t为何值时，与相似；求的面积S的最小值【答案】(1)证明见解析(2)(3)；【分析】（1）等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质可得到，即可求证；（2）作，交于点，则，根据题意可得当G，M，P，E四点共线时，最小，再由为等边三角形，可得，然后根据，可即可求解；（3）根据题意可得

22、：，则再利用相似三角形的性质，即可求解；分两种情况讨论：当时，当时，即可求解(1)证明：为等边三角形又；(2)解：如图，作，交于点，则，为等边三角形，当G，M，P，E四点共线时，最小，为等边三角形，为等边三角形，当三条线段的和最小时，；(3)解：由题意得：，则，若，则，即（不合题意，舍去）；若，则需，即，解得；综上所述，当时，当时，所以当时，的面积最小为当时，故时，的面积最小为综上所述，的面积最小为【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角三角形，熟练掌握图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键14面直角坐标

23、系中，O为原点，点，点，线段的中点为点C将绕着点B逆时针旋转，点O对应点为，点A的对应点为(1)如图，当点恰好落在上时，此时的长为_；点P是线段上的动点，旋转后的对应点为，连接，试求最小时点P的坐标；(2)如图，连接，则在旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由【答案】(1)1.5(2)存在最大值，最大值为69【分析】（1）利用勾股定理求出AB，可得结论如图2中，连接AA1，OO1利用相似三角形的性质解决问题即可（2）因为O1A1=12是定值，直线O1A1与B为圆心，OB为半径的圆相切，当CO1最大时，O1A1C的面积最大（1）解：点，点，OA=12，OB=

24、5，AB=，线段的中点为点C，BC=6.5，由旋转可得，BO1=OB=5，O1C=BC-BO1=6.5-5=1.5，故答案为：1.5；作点B关于x轴的对称点，连接，过点作于G，则，由对称性可知，与x轴的交点即为所求的点P，易求得直线的解析式为，令，得，满足条件的点P的坐标为；（2）解：如图，因为O1A1=12是定值，直线O1A1与B为圆心，OB为半径的圆相切，当CO1最大时，O1A1C的面积最大，面积最大时，O1在CB的延长线时，此时CO1=5+6.5=11.5，O1A1C的面积的最大值=的面积存在最大值，最大值为69【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判

25、定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题15如图，在中，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线，于点，连结，将绕点逆时针旋转得到设点的运动时间为t（秒）(1)用含的代数式表示线段的长(2)当点落在边上时，求的长(3)当点在内部时，求的取值范围(4)当线段将的面积分成 的两部分时，直接写出的值【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）设点已运动，由题意可用表示，根据锐角三角函数知识能用表示；（2）设点已运动，由题意可用表示，和来，由旋转的性质可得，还有的长，根据勾股定理可得关于的方程，解之即可；（3）由题意，点从点运动到点共需，当恰

26、好落在边上时，在，和中，根据锐角三角函数，可得到关于的方程，求出此时的值，从而得解；（4）首先根据题意求出的面积，然后用表示出的面积，再根据线段将的面积分成 的两部分，构造方程，解之即可(1)，点以每秒4个单位长度的速度由向匀速运动，设点已运动，(2)设点已运动，将绕点逆时针旋转得到，(3)，点从点运动到点共需，当恰好落在边上时，如图，将绕点逆时针旋转得到，在中，(4)，设，线段将的面积分成 的两部分，或，或【点睛】本题主要考查了三角形的动态问题，旋转的性质，锐角三角函数的知识，根据题意化动为静，找出临界状态，并根据题意画出图形列出相应的方程是解本题的关键16如图1，在中，AO是BC边上的中线

27、，点D是AO上一点，E是垂足，可绕着点O旋转，点F是点E关于点O的对称点，连接AD和CF(1)问题发现：如图2，当时，则下列结论正确的是_（填序号）；点F是OC的中点：AO是的角平分线；(2)数学思考：将图2中绕点O旋转，如图3，则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)拓展应用：在图1中，若，将绕着点O旋转则_CF；若，在旋转过程中，如图4，当点D落在AB上时，连结BE，EC，求四边形ABEC的面积【答案】(1)(2)，见解析(3)；【分析】（1）根据中心对称的性质与是中线定义可判定，证DEAB，利用平行线分线段成比例可判定，利用ABAC,AO是BC边中线可确定AO不能平分BAC

28、，可判定；由勾股定理求得AO=，又因为，BE=OE=CF，可得出AD与CF关系，从而判定；（2）证即可求得结论；（3）由（2）知：即可求解；作于M，根据求解即可（1）解：点F是点E关于点O的对称点，OE=OF，AO是BC边上的中线，BO=COCF=BE，故正确；DEBC，DEO=90，B=90，DEO=B=90，DEAB，BE=OE，OF=CF，即点F是OC的中点，故正确；，ABQP，因而2MM=2PRQP+QP=PP，从而SS，如图2，若旋转的角度等于（30-），则S-S=（2ME+EP)-（2ME+EP)=PP-2MM，在DQ、DP上分别取点R、P，使DR=DR.DP=DP，连接PR、QP

29、，则PR=PR，QP=QP，因为QPP=QPG=DPP+PDPDPP.所以QPQP，同理QPPR，SS，因而2MM=2PRS，综上所述，当CDG=30时，四边形DFMP的面帜最小，如下图所示：AB=AC=4，DE=DF=2，延长DF交AC于T，则TDE=30，DTM=60，即，故答案为：【点睛】本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键18如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，点D在边AC上，CDDE，且CDDE，连接BE，取BE的中点F，连接DF(1)请直接写出ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的CD

30、E绕点C按逆时针旋转，如图2，（1）中ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接AF，若AC3，CD1，求SADF的取值范围【答案】(1)ADF=45，AD=DF；(2)成立，理由见解析；1SADF4.【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明DEFHBF，得BH=CD，再证明ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；（2）过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明DEFHBF，延长ED交BC于M，再证明ACD=ABH，得ACDABH，得AD=AH，等量代换可得DAH=90，即ADH为等腰直角三角形，利用

31、三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入SADF=求解即可（1）解：ADF=45，AD=DF，理由如下：延长DF交AB于H，连接AF，EDC=BAC=90，DEAB，ABF=FED，F是BE中点，BF=EF，又BFH=DFE，DEFHBF，BH=DE，HF=FD，DE=CD，AB=AC，BH=CD，AH=AD，ADH为等腰直角三角形，ADF=45，又HF=FD，AFDH，FAD=ADF=45，即ADF为等腰直角三角形，AD=DF;（2）解：结论仍然成立，ADF=45，AD=DF，理由如下：过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，

32、如图所示，则FED=FBH，FHB=EFD，F是BE中点，BF=EF，DEFHBF，BH=DE，HF=FD，DE=CD，BH=CD，延长ED交BC于M，BHEM，EDC=90，HBC+DCB=DMC+DCB=90，又AB=AC，BAC=90，ABC=45，HBA+DCB=45，ACD+DCB=45，HBA=ACD，ACDABH，AD=AH，BAH=CAD，CAD+DAB=BAH+DAB=90，即HAD=90，ADH=45，HF=DF，AFDF，即ADF为等腰直角三角形，AD=DF由知，SADF=DF2=AD2，由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为31=2，当A、C、

33、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，1SADF4【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线19已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB，BE2以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转度(090)，连结AE，CG（如图）(1)求证：ABECBG(2)当点E在BD上时，求CG的长(3)当时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积（参考数据：，）【答案】(1)见解析；(2)；

34、(3)【分析】（1）由正方形ABCD，正方形BEFG，可知，结合，可得，即可证得；（2）连结AC，交BD于点H，利用，点E在正方形ABCD的对角线BD上，可知旋转的角度为45，根据正方形的边长可得其对角线的长度，即可求出AH，进而在RtAEH中求出AE，再根据（1）中的结论可知AE=CG，即可求出CG；（3）点E的轨迹为一段圆弧MN，AE扫过的面积为图中阴影部分的面积，记为S，利用，可在RtAEB中，求出AE，进而求出，得到，即，则ABE的面积和扇形MBE的面积可求，即可求出S（1）证明正方形ABCD，正方形BEFG，结论得证；（2）如图1所示，连结AC，交BD于点H，正方形ABCD，点E在B

35、D上，在RtAEH中，根据（1）的结论可知有：AE=CG，则CG=；（3）如图2所示，由题意可知，点E的轨迹为一段圆弧MN，AE扫过的面积为图中阴影部分的面积，记为S，当时，在RtAEB中，则有，【点睛】本题是考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理、锐角的三角函数以及旋转的性质等知识，是一道综合性的大题，本题题难度不大，合理构造出辅助线以及准确确定直线扫过的面积是解答本题的关键20问题探究（1）如图1，中，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_；（2）如图2，在中，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；问题解决

36、（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由（结果保留根号）【答案】（1）；（2）存在最小值是；理由见解析；（3）存在，最大值是平方米【分析】（1）根据旋转可得，根据勾股定理求出BC的值，进而可得AC的值，再根据勾股定理可得AA的长；（2）如图2，作的外接圆，连接，过点作于，设，根据垂线段最短得，则，所以x的最小值是2，根据三角形的

37、面积公式可得结论；（3）存在，如图3，过点作于，则，根据等腰直角三角形的判定得，将绕点E顺时针旋转135得到，证明M，B，C三点共线，根据面积差得S四边形EFCH，则当的面积最小时，四边形EFCH的面积最大，作EMF F的外接圆，连接，过点作于，设米，最后计算出FM的最小值即可求解【详解】解：（1）如图1，根据旋转可知：，根据勾股定理，得，在中，根据勾股定理，得：，故答案为：；（2）的面积存在最小值，最小值是；理由如下：如图2，作的外接圆，连接，过点作于，设，即的最小值是2，的最小值是，此时，的面积存在最小值，最小值是；（3）存在，如图3，过点作于，则，将绕点顺时针旋转得到，三点共线，当的面积

38、最小时，四边形的面积最大，作的外接圆，连接，过点作于，设米，是等边三角形，此时的最小值是，（平方米），四边形的面积的最大值是平方米【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，勾股定理，三角形高的最小值问题，三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作辅助线，利用辅助圆和旋转的知识作三角形解决问题21如图1，在中，点D是边上的一点，且，过点D做边的垂线，交边于点E，将绕点B顺时针方向旋转，记旋转角为(1)【问题发现】当时，的值为_，直线相交形成的较小角的度数为_；(2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证

39、明；(3)【问题解决】当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的面积【答案】(1)，；(2)无变化 ，见详解；(3)或【分析】（1）根据CD=BC-DB，求出CD，利用勾股定理求出BE，AB，再求出AE即可求出，根据等腰直角三角形ABC求出，即可求出AE，CE相交形成较小的度数；（2）延长AE，CD交于F，证，根据相似三角形的性质得，利用三角形的内解得，求得的度数即可求解；（3）分情况讨论：当点D在线段AE上时，过点C作于点F，先证出 ，再在中，求出AD，在中，求出CF，最后求出的面积；当点E在线段AD上时，过点C作于点F，先求出，再求出AD ，CD，CF，最后求出的面积即可求解（1

40、）解：中， ， ， ， 故答案为：；（2）解：（1）中的两个结论不发生变化，理由如下：如图，延长AE，CD交于F， 由旋转可得， ， ，即 ， （1）中的两个结论不发生变化（3）解：分情况讨论：如图，当点D在线段AE上时，过点C作于点F，在中，由（2）知， 在中，；当点E在线段AD上时，如图，过点C作于点F，在中，由（2）知， ， ，由（2）知， 综上，的面积为或【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质及计算三角形的面积，利用勾股定理及相似三角形的判定和性质是解本题的关键22在中中，点E在射线CB上运动连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接C

41、F(1)如图1，点E在点B的左侧运动；当，时，则_；猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系(3)点E在射线CB上运动，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）【答案】(1)30；AC+CF=CE；(2)CA-CF=CE；(3)当点E在点B左侧运动时，y=；当点E在点B右侧运动时，y=【分析】（1）利用三角函数求出，即可得到答案；过点F作FDBC于D，证明 DF，得到AB = E

42、D = BC，可得CF =CD，AC =AB =ED，由此得到AC + CF=CE；（2）过F作FHBC交BC的延长线于H，易证ABEEHF，得到FHC是等腰直角三角形，CH=BE=FC，即可证得EC=BC-BE=AC-FC，由此得到结论；（3）分两种情况：当点E在点B左侧运动时，直接利用面积公式计算即可；当点E在点B右侧运动时，连接AF，勾股定理求出AE，利用代入计算即可（1）解：AB=，BE=2，ABC=90，EAB=30，故答案为：30；过点F作FDBC于D，如图3，BAE+ AEB = 90，DEF+AEB=90，BAE = DEF，AE = EF，ABE =EDF= 90， DF，A

43、B = ED = BC，FD = DC，CF =CD，AC =AB =ED，AC + CF=CD+ED= (CD + ED)=CE；故答案为：AC+CF=CE；（2）过F作FHBC交BC的延长线于H，如图4，AEF=90，AE=EF，易证ABEEHF，FH=BE，EH=AB=BC，FHC是等腰直角三角形，CH=BE=FC，EC=BC-BE=AC-FC，即CA-CF=CE；（3）如图3，当点E在点B左侧运动时，=；如图4，当点E在点B右侧运动时，连接AF，根据勾股定理，得，由旋转得AE=EF，EC=EH-CH=BC-BE=，=，综上，当点E在点B左侧运动时，y=；当点E在点B右侧运动时，y=【点

44、睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的全等，线段之间关系的猜想与证明，分类思想，图形的面积，熟练掌握分类思想，学会构造直角三角形，图形面积的分割是解题的关键23已知：与中，现将和按图的方式摆放，使点与点重合，点、在同一条直线上，并按如下方式运动运动一：如图，从图的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点，当点与点重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图，绕着点顺时针旋转，与交于点，与交于点，此时点在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图，以的速度沿向终点匀速运动，直到点与点重合时为止设运动时间为，中间的暂停不计时，解答下列问题

45、(1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 ；(2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)10(2)(3)t3.5或【分析】（1）运动一，停止时，EC4cm，运动二，停止时，DQcm；运动三，点C与点F重合时，CF4cm，根据路程除以速度即可求解；（2）运动一，RtABC与RtDEF的重叠部分为直角QCE的面积，表示出即可；运动二，连接CD，可得ECDQ，ECPECQ，ECDC，所以ECPDCQ，RtABC与Rt

46、DEF的重叠部分不变：y8（4t6）；运动三，四边形QDPC为矩形，CF10t，EC8CFt2，然后求得矩形QDPC的面积；（3）点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，可得AQQB，所以，ACCQ，又AC16cm，BC12cm，得，CQ3.5cm，又由DEF45，即可求得EC（1）根据题意得，运动一：DEF是等腰三角形，ACB90，EF8cm，EC4cm，运动一所用时间为：414（秒），运动二：当QCDF时暂停旋转，CDCF，DQQFcm运动二所用时间为：（秒），运动三：CF4cm，运动三所用的时间为：414（秒），整个过程共耗时42410（秒）；故答案为：10；（2）运动一：如图2，设EC为t

47、cm，则CQ为tcm，SECQtt，S与t之间的函数关系式为：t2（0t4），运动二：如图3，连接CD，在ECP和DCQ中，ECPDCQ（ASA），S与t之间的函数关系式为：8（4t6），运动三：如图4，四边形QDPC为矩形，CF4（t6）10t，EC8CFt2，S矩形QDPC（t2）（10t），S与t之间的函数关系式为：（6t10）；（3）存在点Q，理由如下：如图5，运动一：点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，AQQB，ACCQ，又AC16cm，BC12cm，解得，CQ3.5cm，DEF45，EC3.5cm，此时，t为：3.513.5秒 如图6，运动二：同理：CQ3.5，过点C作CMDF交D

48、F于点M，CM，在RtQCM中，QM，DQ，t；运动三时，CQ最大为，所以无解综上，t3.5或时，点Q正好在线段AB的中垂线上【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点Q的位置，是解答的关键24问题提出(1)如图1，在中，则面积的最大值是_；(2)问题探究如图2，在中，点P是边BC上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90，得线段PE，过点E作交BC于点H，求PH的长(3)问题解决如图3，在中，P为边AC上一动点（C点除外）将线段BP绕点P顺时针旋转90，得线段PE，连接CE，则的

49、面积是否存在最大值？若存在请求出面积的最大值，若不存在请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，最大值为8【分析】（1）设AC=x，则AB=6-x，表示出ABC的面积，然后利用二次函数的性质求最大值；（2）作AGBC于G，利用AAS证明APGPEH，得PH=AG，再利用含30角的直角三角形的性质求出AG的长即可；（3）结合（1）（2）的方法，过点E作EGCA，交CA延长线于G，BHCA，交CA延长线于H，作ADBC于D，首先利用等积法求出BH的长，设CP=x，则AP=6-x，表示出面积，利用二次函数的性质解决问题(1)解：设，则，当时，最大为，故答案为：；(2)作于，将线段绕点顺时针旋转90度，得线段，；(3)的面积存在最大值，理由如下：过点作，交延长线于，交延长线于，作于，由（2）同理知，由勾股定理得，在中，设，则，的面积为，当时，的面积最大值为8【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键