专题31 四边形综合练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、专题31 四边形综合练习（基础）一选择题1下列说法中，正确的是（）A对角线互相垂直的四边形是菱形B对角线相等的四边形是矩形C四条边相等的四边形是菱形D矩形的对角线一定互相垂直【分析】利用菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形以及四条边相等的四边形是菱形，矩形的判定：对角线相等的四边形是矩形以及矩形的性质等知识分别判断得出即可【解答】解：A对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误；C、四条边相等的四边形是菱形，故C选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不垂直，故D选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了菱形的判定以及矩形的判定以及矩形的

2、性质等知识，熟练掌握矩形和菱形的判定定理是解题关键2如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，AE平分BED，PEAE交BC于点P，连接PA，以下四个结论：BE平分AEC；PABE；AD=32AB；PB2PC则正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出ADEBCE（SAS），进而求出ABE是等边三角形，再求出AEPABP（SSS），进而得出EAPPAB30，分别的得出AD与AB，PB与PC的数量关系【解答】解：在矩形ABCD中，点E是CD的中点，DEEC，在ADE和BCE中AD=BCD=CDE=EC，ADEBCE（SAS），AEBE，DEACE

3、B，AE平分BED，AEDAEB，AEDAEBCEB60，故：BE平分AEC，正确；可得ABE是等边三角形，DAEEBC30，AEAB，PEAE，DEA+CEP90，则CEP30，故PEBEBP30，则EPBP，在AEP和ABP中AE=ABAP=APEP=BP，AEPABP（SSS），EAPPAB30，又AEAB，APBE，故正确；DAE30，DEAD=tan30=33，3DE=3AD，AD=3DE，AD=32AB正确；CEP30，CP=12EP，EPBP，CP=12BP，PB2PC正确总上所述：正确的共有4个故选：A【点评】此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判

4、定与性质和等腰三角形的性质等知识，正确得出AEPABP是解题关键3如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分APC，PEPD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是（）A当P为BC中点，APD是等边三角形B当ADEBPE时，P为BC中点C当AE2BE时，APDED当APD是等边三角形时，BE+CDDE【分析】A、先判断出APBDPC，进而可以得出APD60，即可得出结论；B、虽然题目中有相似三角形和直角三角形，但没有告诉线段与线段之间的倍数关系和没出现含30的直角三角形，所以没办法得出点P是BC的中点；C、先求出BAP，进而得出ADEPDE，即可判断出ADEPDE，

5、最后用三角形三线合一的性质即可得出结论；D、先求出BPEAPEPAB30，再用含30的直角三角形的性质和勾股定理即可得出结论【解答】解：A、四边形ABCD是矩形，ABCD，BC90，点P是BC的中点，PBPC，在APB和DPC中，AB=DCABP=DCPPB=PC，APBDPC（SAS），PAPD，APBDPC，PD平分APC，APDCPD，APBAPDCPD，APB+APD+CPD180，APD60，PAPD，APD是等边三角形；A正确，故A不符合题意；C、PDPE，BPE+DPC90，APE+APD90，APDCPD，APEBPE，过点B作BGAP交PE的延长线于G，GAPEBPE，BGB

6、P，BGAP，BEGAEP，BGAP=BEAEBPAP=BEAE，AE2BE，BPAP=12，在RtABP中，sinBAP=BPAP=12，BAP30，APB60，BPEAPE30BAP，AEPE，EAAD，EPPD，ADEPDE，在ADE和PDE中，ADE=PDEDAE=DPEAE=PE，ADEPDE，AEDPED，AEPE，DEAP，C正确，故C不符合题意；D、APD是等边三角形，APDP，APD60，CPD60，APB60，BPEAPEPAB30AEPE设BEa，在RtPBE中，BP=3BE=3a，PE2a，AE2a，CDABBE+AE3a，易证APBDPC，PBPC，ADBC2BP23

7、a，在RtADE中，根据勾股定理，得，DE=AE2+AD2=4a，BE+CDa+3a4aDE，D正确，故D不符合题意；符合题意的只有B故选：B【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键：A、判断出APBDPC，C、求出BAP，D、求出BPEAPEPAB30，是一道综合性比较强的题目4如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出以下4个结论：FPD是等腰直角三角形；APEF；ADPD；PFEBAP其中，所有正确的结论是（）ABCD【

8、分析】用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形，从而判定正确；直接用正方形的性质和垂直得出正确，利用全等三角形和矩形的性质得出正确，由点P是正方形对角线上任意一点，说明AD和PD不一定相等，得出错误【解答】解：如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PAPC，BCD90，过点P作PEBC于点E，PFCD，PECDFPPFCBCD90，四边形PECF是矩形，PCEF，PAEF，故正确，BD是正方形ABCD的对角线，ABDBDCDBC45，PFCBCD90，PFBC，DPF45，DFP90，FPD是等腰直角三角形，故正确，在PAB和PCB中，AB=CBABP=CBPBP=BP，P

9、ABPCB（SAS），BAPBCP，在矩形PECF中，PFEFPCBCP，PFEBAP故正确，点P是正方形对角线BD上任意一点，AD不一定等于PD，只有BAP22.5时，ADPD，故错误，故选：C【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，解本题的关键是判断出四边形PECF是矩形5已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GEAD于点E，若AB2，且12，则下列结论正确个数的有（）DFAB；CG2GA；CGDF+GE；S四边形BFGC=3-1A1B2C3D4【分析】由四边形ABCD是菱形，得出对

10、角线平分对角，求得GAD2，得出AGGD，AEED，由SAS证得AFGAEG，得出AFGAEG90，即可得出正确；由DFAB，F为边AB的中点，证得ADBD，证出ABD为等边三角形，得出BAC1230，由AC2ABcosBAC，AG=AFcosBAC，求出AC，AG，即可得出正确；由勾股定理求出DF=AD2-AF2，由GEtan2ED求出GE，即可得出正确；由S四边形BFGCSABCSAGF求出数值，即可得出不正确【解答】解：四边形ABCD是菱形，FAGEAG，1GAD，ABAD，12，GAD2，AGGD，GEAD，GE垂直平分AD，AEED，F为边AB的中点，AFAE，在AFG和AEG中，A

11、F=AEFAG=EAGAG=AG，AFGAEG（SAS），AFGAEG90，DFAB，正确；DFAB，F为边AB的中点，AF=12AB1，ADBD，ABAD，ADBDAB，ABD为等边三角形，BADBCD60，BAC1230，AC2ABcosBAC2232=23，AG=AFcosBAC=132=233，CGACAG23-233=433，CG2GA，正确；GE垂直平分AD，ED=12AD1，由勾股定理得：DF=AD2-AF2=22-12=3，GEtan2EDtan301=33，DF+GE=3+33=433=CG，正确；BAC130，ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，FG=12AG=33

12、，S四边形BFGCSABCSAGF=12231-12133=3-36=536，不正确；故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度6如图，已知矩形ABCD中，点E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB6，BC46，则下列说法中正确的个数有（）DEFGEF；GF：GB3：2；SBEF106；SBCF：SDFE1：1A1个B2个C3个D4个【分析】利用翻折不变性，根据HL可以证明RtEDFRtEGF（HL），推出DFFG，设DFx，

13、则BF6+x，CF6x，在RtBCF中，根据勾股定理可得（4 6）2+（6x）2（6+x）2，求出x即可一一判断【解答】解：E是AD的中点，AEDE，ABE沿BE折叠后得到GBE，AEEG，ABBG，EDEG，在矩形ABCD中，AD90，EGF90，在RtEDF和RtEGF中，ED=EGEF=EF，RtEDFRtEGF（HL），故正确，DFFG，设DFx，则BF6+x，CF6x，在RtBCF中，（4 6）2+（6x）2（6+x）2，解得x4，GF：GB4：62：3，故错误，SBEF=12BFEG=121026=106故正确，SDEF=1226446，SCBF=1246246，SBCF：SDFE

14、1：1故正确故选：C【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EDEG是解题的关键，本题的突破点是设DFx，则BF6+x，CF6x，在RtBCF中根据勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型7如图，过ABCD的对角线AC的中点O任作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE，有下面四个结论，OHOF；HGEFGE；S四边形DHOGS四边形BFOE；AHOAEO，其中正确的是（）ABCD【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OAOC，再根据两直线平行，内错角相等可得O

15、AEOCG，然后利用“角边角”证明AOE和COG全等，根据全等三角形对应边相等可得OEOG，同理可得OFOH，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到四边形EFGH是菱形，根据菱形的性质得到HGEFGE，根据全等三角形的判定得到DOGBOE，同理DOHBOF，于是得到S四边形DHOGS四边形BFOE，由于OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，得到AHO不一定全等于AEO，于是得到结论【解答】解：四边形EFGH是菱形证明：连接AC，BD，则AC，BD必过O，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EAOGCO，在EAO

16、和CGO中，EAO=GCOAO=COAOE=COG，EAOCGO（ASA），OEOG，同理OHOF，故正确；四边形EFGH是平行四边形，又HFEG，四边形EFGH是菱形，HGEFGE，故正确；四边形ABCD是平行四边形，ODOB，在DOG与BOE中，OD=OBBOE=DOGOG=OE，DOGBOE，同理DOHBOF，S四边形DHOGS四边形BFOE，故正确；OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，AHO不一定全等于AEO，故错误；故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键8在矩形ABCD中，AB1，AD=3，AF平

17、分DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中正确的是（）AF=12FH；BOBF；CACH；BE3EDABCD【分析】求出OAOCODBD，求出ADB30，求出ABO60，得出等边三角形AOB，求出ABBOAOODOCDC，推出BFAB，求出HCAH15，求出DEEO，根据以上结论推出即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，BAD90，AD=3，AB1，tanADB=13=33，ADB30，ABO60，四边形ABCD是矩形，ADBC，ACBD，AC2AO，BD2BO，AOBO，ABO是等边三角形，ABBO，AOBBAO60COE，AF平分BAD，BAFDAF45，ADBC，

18、DAFAFB，BAFAFB，ABBF，ABBO，BFBO，正确；BAO60，BAF45，CAH15，CEBD，CEO90，EOC60，ECO30，HECOCAH301515CAH，ACCH，正确；作HGBC的延长线于点G，AB1，AD=3，ACCH2，HGCHcosCHG232=3，ABFHGF，ABHG=AFFH，即13=AFFH，FH=3FA，AF=12FH错误，故错误；AOB是等边三角形，AOOBAB，四边形ABCD是矩形，OAOC，OBOD，ABCD，DCOCOD，CEBD，DEEO=12DO=12BD，即BE3ED，正确；即正确的有3个，故选：D【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的

19、性质，角平分线定义，定义三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用，难度偏大，对学生提出较高的要求9已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE过点A作AE的垂线交ED于点P若AEAP1，PB=5下列结论：APDAEB；点B到直线AE的距离为2；EBED；S正方形ABCD4+6；SAPD+SAPB1+6，其中正确结论的序号是（）ABCD【分析】由于EAP90，所以EABDAP，又因为APAE，ADAB，所以APDDAP，从而得出EBAPDA，即可知BEDBAD90，过点B作BFAE，交AE的延长线于点F，所以BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的

20、长度，从而可求出AB2，即正方形ABCD的面积，由于SAPD+SAPBSAEB+SAPBSAEP+SPEB，所以求出AEP与PEB的面积即可【解答】解：在正方形ABCD中，ABAD，BAD90，EAP90，EAB+BAPDAP+BAP，EABDAP，在APD与AEB中，AP=AEEAB=DAPAD=AB，APDAEB（SAS），故正确；APDAEB，EBAPDA，BEDBAD90，BEED，故正确，过点B作BFAE，交AE的延长线于点F，EAP90，AEAP，AEP45，FEB+AEP90，FEB+EBF90，AEPEBF45，EFBF，AEAP1，由勾股定理可求得：EP=2，PB=5，由勾股

21、定理可求得：BE=3，EF2+BF22BF2BE2，BF=62，故错误，BFEF=62，AFAE+EF1+62，由勾股定理可知：AB2AF2+BF24+6，故正确，APDAEB，SAPDSAEB，SAPD+SAPBSAEB+SAPBSAEP+SPEB=12+62，故错误，故选：A【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答10如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下

22、列结论：ADG22.5；tanAED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是菱形；BE2OG；若SOGF1，则正方形ABCD的面积是6+42，其中正确的结论个数为（）A2B3C4D5【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GADADO45，又由折叠的性质，可求得ADG的度数；由AEEFBE，可得AD2AE；由AGGFOG，可得AGD的面积OGD的面积；由折叠的性质与平行线的性质，易得EFG是等腰三角形，即可证得AEGF；易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE2OG；根据四边形AEFG是菱形可知ABGF，ABGF，再由BAO45，GOF90可得出OGF时等腰直角三角形，由SO

23、GF1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，GADADO45，由折叠的性质可得：ADG=12ADO22.5，故正确由折叠的性质可得：AEEF，EFDEAD90，AEEFBE，AE12AB，ADAE2，故错误AOB90，AGFGOG，AGD与OGD同高，SAGDSOGD，故错误EFDAOF90，EFAC，FEGAGE，AGEFGE，FEGFGE，EFGF，AEEF，AEGF，AEEFGF，AGGF，AEEFGFAG，四边形AEFG是菱形，故正确OGFOAB45，EFGF=2OG，BE=2EF=22OG2OG故正确四边形AEFG是

24、菱形，ABGF，ABGFBAO45，GOF90，OGF时等腰直角三角形SOGF1，12OG21，解得OG=2，BE2OG22，GF=(2)2+(2)2=2+2=2，AEGF2，ABBE+AE22+2，S正方形ABCDAB2（22+2）212+82，故错误其中正确结论的序号是：故选：B【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用11如图，在平行四边形ABCD中，AB3，BC4，ABC60，过对角线BD的中点O的直线GH分别交AD、BC于点E、F，交B

25、A的延长线于点G，交DC的延长线于点H，连接GD、BH，则下列结论：AGCH，DE+CF5，S四边形ABFE33，四边形BGDH为平行四边形其中正确的有（）ABCD【分析】利用平行四边形的性质得出ABCD即可得出OBGODH，进而得出BOGDOH即可判断出正确；进而判断出正确，同的方法判断出AEGCFH，进而得出AECF，即可求出DE+CF4，即可得出错误；利用平行四边形的面积公式求出平行四边形ABCD的面积，再判断出S四边形ABFES四边形CDEF即可【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BGODHO，OBGODH，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，OBOD，在BO

26、G和DOH中，BGO=DHOOBG=ODHOB=OD，BOGDOH，BGDH，AGCH，所以正确；BGDH，BGDH，四边形BGDH为平行四边形，所以正确；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，AEGBFG，BFGCFH，AEGCFH，在AEG和CFH中，AEG=CFHAGE=CHFAG=CH，AEGCFH，AECF，DE+CFDE+AEADBC4，所以错误；过点A作AMBC于M，在RtABM中，ABC60，AB3，AMABsinABC3sin60=332，S平行四边形ABCDBCAM4332=63，BOGDOH，AEGCFH，S四边形ABOES四边形CDOF，易证：BOFDOE，S

27、BOFSDOE，S四边形ABFES四边形CDEF=12S平行四边形ABCD=1263=33，所以正确；即：正确的有，故选：B【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出BOGDOH和AEGCFH12如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx（k0，x0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，NDx轴，垂足为D，连接OM，ON，MN，下列结论：OCNOAM；MNCN+AM；四边形DAMN与MON面积相等；若MON45，MN4，则点C的坐标为（0，22+2），其中正

28、确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到SONCSOAM=12k，即12OCNC=12OAAM，而OCOA，则NCAM，由SAS得出OCNOAM，正确；根据全等的性质得到ONOM，由于k的值不能确定，则MON的值不能确定，无法确定ONM为等边三角形，得出错误；根据SONDSOAM=12k和SOND+S四边形DAMNSOAM+SOMN，即可得到S四边形DAMNSOMN；正确；作NEOM于E点，则ONE为等腰直角三角形，设NEx，则OMON=2x，EM=2xx（2-1）x，在RtNEM中，利用勾股定理可求出x28+42，所以ON2（2x）216+82，易得B

29、MN为等腰直角三角形，得到BN=22MN22，设正方形ABCO的边长为a，在RtOCN中，利用勾股定理可求出a的值为22+2，从而得到C点坐标，正确；即可得出结论【解答】解：点M、N都在y=kx的图象上，SONCSOAM=12k，即12OCNC=12OAAM，四边形ABCO为正方形，OCOA，OCNOAM90，NCAM，在OCN和OAM中，OC=OAOCN=OAMCN=AM，OCNOAM（SAS），正确；ONOM，k的值不能确定，MON的值不能确定，ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，ONMN，MNCN+AM；错误；SONDSOAM=12k，而SOND+S四边形DAMNSOAM+SO

30、MN，四边形DAMN与MON面积相等，正确；作NEOM于E点，如图，MON45，ONE为等腰直角三角形，NEOE，设NEx，则ON=2x，OM=2x，EM=2xx（2-1）x，在RtNEM中，MN4，MN2NE2+EM2，即42x2+（2-1）x2，x28+42，ON2（2x）216+82，CNAM，CBAB，BNBM，BMN为等腰直角三角形，BN=22MN22，设正方形ABCO的边长为a，则OCa，CNa22，在RtOCN中，OC2+CN2ON2，a2+（a22）216+82，解得a122+2，a22（舍去），OC22+2，C点坐标为（0，22+2），正确正确结论的个数是3个，故选：C【点评

31、】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算二填空题13如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA=55，则下列结论：ACBD；ACCD；tanDAC2；四边形ABCD的面积为31；BD241正确的是【分析】根据勾股定理及其逆定理可得AC2+CD2DA2知ACD90，即ACCD，故错误，正确；根据正切函数的定义可判断；根据四边形ABCD的面积为SABC+SACD可判断；作DMBC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2AB2+BC225，求出AC2+CD

32、2AD2，由勾股定理的逆定理得出ACD是直角三角形，ACD90，证出ACBCDM，得出ABCCMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM2AB6，DM2BC8，得出BMBC+CM10，再由勾股定理求出BD即可判断【解答】解：ABC90，AB3，BC4，AC=AB2+BC2=5，在ACD中，CD10，DA55，AC2+CD225+100125DA2，ACD90，即ACCD，故错误，正确；在RtACD中，tanDAC=CDAC=105=2，故正确；S四边形ABCDSABC+SACD=12ABBC+12ACCD=1234+1251031，故正确；作DMBC，交BC延长线于M，如图所示：则M90，DCM

33、+CDM90，ABC90，AB3，BC4，AC2AB2+BC225，CD10，AD55，AC2+CD2AD2，ACD是直角三角形，ACD90，ACB+DCM90，ACBCDM，ABCM90，ABCCMD，ABCM=12，CM2AB6，DM2BC8，BMBC+CM10，BD=BM2+DM2=241，故正确；故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出ACD是直角三角形是解决问题的关键14如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB4，BC8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD

34、上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4；当点H与点A重合时，EF25以上结论中，你认为正确的有（填序号）【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CFFH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得BCHECH，然后求出只有DCE30时EC平分DCH，判断出错误；点H与点A重合时，设BFx，表示出AFFC8x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CFCD，求出BF4，然后写出BF的取值范围，判断出正确；过点F作FMAD于M，求出ME

35、，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出正确【解答】解：FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，FHCG，EHCF，四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CFFH，四边形CFHE是菱形，（故正确）；BCHECH，只有DCE30时EC平分DCH，（故错误）；点H与点A重合时，设BFx，则AFFC8x，在RtABF中，AB2+BF2AF2，即42+x2（8x）2，解得x3，点G与点D重合时，CFCD4，BF4，线段BF的取值范围为3BF4，（故正确）；过点F作FMAD于M，则ME（83）32，由勾股定理得，EF=MF2+ME2=42+22=25，（故正确）；综上所述，

36、结论正确的有共3个，故答案为【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合15如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC于点F，连接DF，分析下列五个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD=2；S四边形CDEF=52SABF，其中正确的结论有【分析】四边形ABCD是矩形，BEAC，则ABCAFB90，又BAFCAB，于是AEFCAB，故正确；由AE=12AD=12BC，又ADBC，所以AEBC=AFFC=12，故正确；过D作DMBE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BMDE=

37、12BC，得到CNNF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；根据三角函数的定义得到tanCAD=22，故错误；根据AEFCBF得到EFBF=AEBC=12，求出SAEF=12SABF，SABF=16S矩形ABCD；S四边形CDEFSACDSAEF=12S矩形ABCD-112S矩形ABCD=512S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=52SABF，故正确【解答】解：过D作DMBE交AC于N，四边形ABCD是矩形，ADBC，ABC90，ADBC，BEAC于点F，EACACB，ABCAFE90，AEFCAB，故正确；ADBC，AEFCBF，AEBC=AFCF，AE=12AD=12BC，A

38、FCF=12，CF2AF，故正确，DEBM，BEDM，四边形BMDE是平行四边形，BMDE=12BC，BMCM，CNNF，BEAC于点F，DMBE，DNCF，DFDC，故正确；由BAEADC，有ABAD=AD2AB，AD2AB2=12，ADAB=22，tanCAD=CDAD=ABAD，tanCAD=22，故错误；AEFCBF，EFBF=AEBC=12，SAEF=12SABF，SABF=16S矩形ABCDSAEF=112S矩形ABCD，又S四边形CDEFSACDSAEF=12S矩形ABCD-112S矩形ABCD=512S矩形ABCD，S四边形CDEF=52SABF，故正确；故答案为：【点评】此题

39、是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键16如图，已知正方形ABCD边长为1，EAF45，AEAF，则有下列结论：1222.5；点C到EF的距离是2-1；ECF的周长为2；BE+DFEF其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）【分析】先证明RtABERtADF得到12，易得1222.5，于是可对进行判断；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，利用RtABERtADF得到BEDF，则CECF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EBEH，FDFH，则可对进行判断；设BE

40、x，则EF2x，CE1x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=2（1x），解得x=2-1，则可对进行判断【解答】解：四边形ABCD为正方形，ABAD，BADBD90，在RtABE和RtADF中AE=AFAB=AD，RtABERtADF，12，EAF45，1222.5，所以正确；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，RtABERtADF，BEDF，而BCDC，CECF，而AEAF，AC垂直平分EF，AH平分EAF，EBEH，FDFH，BE+DFEH+HFEF，所以错误；ECF的周长CE+CF+EFCE+BE+CF+DFCB+CD1+12，所以正确；设BEx，则EF2x，CE1x，CEF为等腰直角三

41、角形，EF=2CE，即2x=2（1x），解得x=2-1，EF2（2-1），CH=12EF=2-1，所以正确故答案为【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和角平分线的性质定理解决本题的关键是证明AC垂直平分EF17如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：BECD；DGF135；ABG+ADG180；若ABAD=23，则3SBDG13SDGF其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）【分析】先求出BAE45，判断出ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ABBE，AEB45，从而得到

42、BECD，故正确；再求出CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CGEG，再求出BEGDCG135，然后利用“边角边”证明DCGBEG，得到BGEDGC，由BGEAEB，得到DGCBGE45，DGF135，故错误；由于BGEDGC，得到ABG+ADGABC+CBG+ADCCDGABC+ADC180，故正确；由BGD是等腰直角三角形得到BD=AD2+AB2=13a，求得SBDG，过G作GMCF于M，求得SDGF，进而得出答案【解答】解：AE平分BAD，BAE45，ABE是等腰直角三角形，ABBE，AEB45，ABCD，BECD，故正确；CEFAEB45，ECF90，CEF是等腰直角三

43、角形，点G为EF的中点，CGEG，FCG45，BEGDCG135，在DCG和BEG中，BE=CDBEG=DCGCG=EG，DCGBEG（SAS）BGEDGC，BGEAEB，DGCBGE45，CGF90，DGF135，故错误；BGEDGC，ABG+ADGABC+CBG+ADCCDGABC+ADC180，故正确；ABAD=23，设AB2a，AD3a，DCGBEG，BGEDGC，BGDG，EGC90，BGD90，BD=AD2+AB2=13a，BGDG=262a，SBDG=12262a262a=134a23SBDG=3134a2，过G作GMCF于M，CECFBCBEBCABa，GM=12CF=12a，

44、SDGF=12DFGM=123a12a=34a2，13SDGF=1334a2，3SBDG13SDGF，故正确故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键18如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连接CG下列说法：AGGE；AEBF；点G运动的路径长为；CG的最小值为5-1其中正确的说法是（把你认为正确的说法的序号都填上）【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故错误；求得BAEC

45、BF，根据正方形的性质可得ABBC，ABCC90，然后利用“角角边”证明ABE和BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AEBF，判断出正确；根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度【解答】解：在正方形ABCD中，BFAE，AGB保持90不变，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，AGGE，故错误；BFAE，AEB+CBF90，AEB+BAE90，BAECBF，在ABE和

46、BCF中，BAE=CBFABE=BCF=90AB=BC，ABEBCF（AAS），故正确；当E点运动到C点时停止，点G运动的轨迹为14圆，圆弧的长=142=2，故错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，OC=OB2+BC2=1+4=5，CG的最小值为OCOG=5-1，故正确；综上所述，正确的结论有故答案为【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出ABE和BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观19如图，正方形ABCD中，连接BD点E在边BC上，且CE2BE连接AE交BD于F；连接

47、DE，取BD的中点O；取DE的中点G，连接OG下列结论：BFOF；OGCD；AB5OG；sinAFD=255其中正确结论的是【分析】由条件四边形ABCD是正方形可以得出ABBCCDDA，ADBC，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，平行线的性质就可以求出相应的结论【解答】解：CE2BE，BECE=12，BEBC=13四边形ABCD是正方形，ABBCCDDA，BEAD=13，ADBC，BFEDFA，BFDF=BEAD=13，O是BD的中点，G是DE的中点，OBOD，OG=12BE，OGBC，BFOF，正确，OGCD，正确OG=12BE=1213BC=1

48、6BC=16AB，即AB6OG，错误，连接OA，OAOB2OF，OABD，由勾股定理得；AF=5OF，sinAFD=OAAF=2OF5OF=255，正确，故答案为【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，三角形中位线的性质以及平行线的性质等知识此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择20如图，已知正方形ABCD，M，N分别是BC，CD上的点，MAN45，连接BD分别交AM，AN于E，F，下面结论错误的是CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长；EF2BE2+DF2；EMO与FNO均为等腰直角三

49、角形；SAMN=2SAEF；S正方形ABCD：SAMN2AB：MN【分析】将ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADH证明MANHAN，得到MNNH，根据三角形周长公式计算判断；根据全等三角形的性质判断；将ADF绕点A顺时针性质90得到ABH，连接HE证明EAHEAF，得到HBE90，根据勾股定理计算判断；根据等腰直角三角形的判定定理判断；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断，根据点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长、三角形的面积公式计算，判断【解答】解：将ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADH则DAHBAM，四边形ABCD是正方形，BAD90，MA

50、N45，BAN+DAN45，NAH45，在MAN和HAN中，AM=AHMAN=HANAN=AN，MANHAN，MNNHBM+DN，CMN的周长CM+CN+MNCM+BM+CN+DNCB+CD，CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍，结论正确；MANHAN，点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长AD，结论正确；如图2，将ADF绕点A顺时针性质90得到ABH，连接HEDAF+BAE90EAF45，DAFBAE，EAHEAF45，EAEA，AHAD，EAHEAF，EFHE，ABHADF45ABD，HBE90，在RtBHE中，HE2BH2+BE2，BHDF，EFHE，EF2BE2+DF2，结论正

51、确；四边形ABCD是正方形，ADC90，BDCADB45，MAN45，EANEDN，A、E、N、D四点共圆，ADN+AEN180，AEN90AEN是等腰直角三角形，同理AFM是等腰直角三角形；结论正确；AEN是等腰直角三角形，同理AFM是等腰直角三角形，AM=2AF，AN=2AE，SAMN=12AMANsin45，SAEF=12AEAFsin45，SAMN：SAEF2，SAMN2SAEF，结论错误；点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，S正方形ABCD：SAMN=ABAB12MNAB=2AB：MN，结论正确故答案为：【点评】本题考查了本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点

52、与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质三解答题21已知，点P在正方形ABCD的边BC上，过点P作垂直于AP的直线l，过点C作平行于BD的直线m，直线l与直线n相交于点Q，连接AQ交BD于点E，连接PE（1）依题意补全图形；（2）求证：PAPQ；（3）探究线段AB，BP，PE之间的数量关系，并给予证明【分析】（1）根据题意作图；（2）APQ90，利用K字模型导角关系可得BAPQPC，截取等边构造全等，可得APQP；（3）DCQ45，所以CDDMAD，可证D、E都是中点，根据APQ等腰直角三角形三边关系可得AB，BP，PE之间得数量关系

53、【解答】解：（1）如图（2）如图，在AB上截取BFBPBEP为等腰直角三角形AFPC，AFPPCQ135FAPQPCAFPPQCPAPQ（3）如图，AD的延长线交CQ于点MDECM，DMCDADAEEQ=ADDM=1点E为AQ的中点在RtAPE中AP=2PEAP22PE2AP2AB2+BP2AB2+BP22PE2【点评】本题考查了全等的证明和等腰直角三角形的性质，（2）需要根据现有的边角条件添加辅助线构造全等关系，是本题的难点，（3）问利用等腰直角三角形三边的特殊关系获得三条线段之间的数量关系，是一道很好的综合证明问题22阅读以下材料，并按要求完成相应的任务如图（1），已知四边形ABCD的对角

54、线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作MEAC交BD于点E，作MFBD交AC于点F我们称四边形0EMF为四边形ABCD的“伴随四边形”（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是矩形，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：菱形（在横线上填特殊平行四边形的名称） （2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由【分析】（1）根据矩形、菱形的性质定理和判定定理进行证明即可；（2）根据平行四边形的性质得到OEMF，得到OB+MFBE，根据平行线的性质和等腰三角形的

55、性质得到EBEM，证明结论【解答】（1）如图1，MEAC，MFBD，四边形OEMF是平行四边形，四边形ABCD是菱形，ACBD，BOC90，四边形OEMF是矩形；如图2，MEAC，MFBD，四边形OEMF是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OBOC，M是BC边的中点，ME=12OC，MF=12OB，MEMF，四边形OEMF是菱形；故答案为：矩形；菱形（2）MEAC，MFBD，四边形OEMF是平行四边形，OEMF，OB+MFOB+OEBE，四边形ABCD是矩形，OBCOCB，MEAC，EMBOCB，EBMEMB，EBEM，EMOB+MF【点评】本题考查的是矩形、菱形的性质和判定，理解伴随四边形的

56、定义、灵活运用矩形、菱形的性质定理和判定定理是解题的关键23如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（2m6，0），B（4，0），C（1，2），点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度（1）求m的值；（2）在x轴上是否存在点M，使COM面积=13ABC面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，把线段AB向上平移2个单位得到线段EF，连接AE，BF，EF交y轴于点G，过点C作CDAB于点D，将长方形GOBF和长方形AECD分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AECD

57、A运动，当长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1时，求此时点M的坐标【分析】（1）根据坐标轴上两点间的距离公式建立方程求解即可；（2）先确定出ABC的面积，进而求出COM的面积，利用面积建立方程求解即可；（3）分两种情况讨论，由重叠面积为1，列出方程可求解【解答】解：（1）点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度，B（4，0）4（2m6）6，解得m2；（2）存在，AB6，C（1，2），SABC=12AB|yC|6，COM的面积=13ABC的面积，SCOM2，当点M在x轴上时，设M（a，0），OM|a|，SCOM=12OM|yC|=12|a|22，a2，M（2，0）或（2

58、，0）；（3）设经b秒后长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1，由题意可得，bs后，点D（1+2b，0），O（b，0），B（4+b，0），当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF左侧时，高必为2，底为12，1+2bb0.5，b1.5，点M（1，1.5）；当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF右侧时，高必为2，底为12，1+2b（4+b）0.5，b5.5，点M（9.5，0），综上所述：点M坐标为（1，1.5）或（9.5，0）【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的面积的计算方法，矩形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题，是一道中等难度的中考常考题

59、24已知，在ABC中，BAC90，ABC45，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出：BC，CD，CF三条线段之间的数量关系为CF+CDBC（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请你写出正确的结论，并给出证明（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变请直接写出：BC，CD，CF三条线段之间的数量关系【分析】（1）如图1，由BAC90，ABC45可得ABAC，再根据正方形性质得ADAF，

60、DAF90，接着根据等角的余角相等得BADCAF，于是可根据“SAS”判断BADCAF，得到BDCF，所以CF+CDBD+CDBC；（2）和（1）的方法一样可证明BADCAF得到BDCF，而BDBC+CD，则CFCDBC；（3）根据等角的余角相等得BADCAF，则根据“SAS”可判断ABDACF，得到BDCF，所以BCCDCF【解答】解：（1）BCCD+CF，如图1，BAC90，ABC45，ACBABC45，ABAC，四边形ADEF是正方形，ADAF，DAF90，BAD90DAC，CAF90DAC，BADCAF，在BAD和CAF中，AB=ACBAD=CAFAD=AF，BADCAF（SAS），B

61、DCF，BD+CDBC，CF+CDBC；故答案为：CF+CDBC；（2）解：不成立BCCFCD，理由如下：如图2，BAC90，ABC45，ACBABC45，ABAC四边形ADEF为正方形，ADAF，DAF90，BAD90+CAD，CAF90+CAD，BADCAF，BADCAF（SAS），BDCF，BDBC+CD，CFBC+CD，BCCFCD，（3）解：BCCDCF，如图3，理由如下：四边形ADEF为正方形，ADAF，DAF90，BAC90，DAFBACBACBAF，BADCAF，在ABD和ACF中，AB=ACBAD=CAFAD=AF，ABDACF（SAS），BDCF，BCCDCF【点评】本题考

62、查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角25以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和等边三角形ADE，连接EB，FD，交点为G（1）当四边形ABCD为正方形时，如图，EB和FD的数量关系是BEDF；（2）当四边形ABCD为矩形时，如图，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）如图，四边形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四边形的变化过程中，EB和FD具有怎样的数量关系？请直接写出结论，无需证明【分析】（1）根据题意可得ABAF，ADAE，FABEAD，即可得FAD

63、EAB，则可证AFDAEB，可得BEDF（2）根据题意可得ABAF，ADAE，FABEAD，即可得FADEAB，则可证AFDAEB，可得BEDF（3）根据题意可得ABAF，ADAE，FABEAD，即可得FADEAB，则可证AFDAEB，可得BEDF【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形ABAD，BAD90BAF和AED是等边三角形AFAB，ADAE，FABEAD60AEADAFAB，FADEABABEADFDFBE故答案为DFBE（2）EBFD理由如下：BAF和AED是等边三角形AFAB，ADAE，FABEAD60FAB+BADEAD+BADFADEAB又AFAB，AEADABEAFDDFB

64、E（3）BEDF理由如下BAF和AED是等边三角形AFAB，ADAE，FABEAD60FAB+BADEAD+BADFADEAB又AFAB，AEADABEAFDDFBE【点评】本题考查了四边形的综合题，等边三角形的性质，灵活运用等边三角形的性质是解决问题的关键26如图1，在ABCD中AB6AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AC，CD上的动点（点E，F不与A，C，D重合）AECF设ACDa，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转a得到AP，连接PE，BE，BF（1）求证：APECBF：（2）如图2，若BOA90，ACD40，且点B、E、P在一条直线上，求BE+BF的值；（3）当OBOC，ACD60时

65、，BE+BF长的最小值是67【分析】（1）由已知条件APBC，AECF，PAEBCF可证明APECBF；（2）点B、E、P在一条直线上时，由（1）可知BFEP，所以BE+BFBP，等腰三角形ABP中，P30，可求BP长；（3）由OBOC可知，ABCD为矩形，由（2）可知EB+FB的最小值即为B、E、P在一条直线上时BP长，可建立直角三角形，运用勾股定理求BP长【解答】解：（1）ACDPAD，DACACBPAEBCFAPBC，AECFAPECBF（SAS）（2）由（1）可知APECBFEPBFBPBE+PFBE+BFBOA90ABCD为菱形APADABPAD40PAB120P30如图，作AHPB

66、，垂足为H在RtAHP中AP6HP33BP63BE+BF63（3）如图，PH垂直BA的延长线于HOBOCABCD为矩形由（1）可知APECBFBE+BF的最小值即为BP长在RtAHP中，AP63，PAH30HP33，AH9在RtBHP中，BH15，HP33BP=HP2+BH2=67BE+BF的最小值67【点评】本题考查了全等的性质与判定，平行四边形，特殊的平行四边形的性质与判定，勾股定理计算，难度不大，很好的综合了全等的内容，是一道很好的综合练习题27如图1，在四边形ABCD中，ADBC，B90，BCm，ADn，动点P从点B出发依次沿线段BA，AD，DC向点C移动，设移动路程为z，BPC的面积

67、S随着z的变化而变化的图象如图2所示，m，n是常数（1）写出线段AB和AD的长度（2）求m的值（3）当APD是等腰三角形时，求s的值【分析】（1）由点E的横坐标为2，可得AB2，由点F的横坐标为3，可得AD321；（2）过D作DGBC于G，则DGAB2，由图2可得，CD734，在RtCDG中，根据勾股定理可得CG的长，进而得到BC1+23，即m的值为1+23；（3）分三种情况：当点P在AB上时，若APAD1，则ADP是等腰三角形；当点P在AD上时，ADP不存在；当点P在CD上时，若DPDA1，则ADP是等腰三角形，分别根据点P的位置，运用三角形面积计算公式求得S的值【解答】解：（1）由图可得，

68、当点P在BA上移动时，BPC的面积S随着z的增加而增加，当点P与点A重合时，BPC的面积最大，由点E的横坐标为2，可得AB2，当点P在AD上移动时，BPC的面积不变，由点F的横坐标为3，可得AD321，故AB的长为2，AD的长为1；（2）如图1，过D作DGBC于G，则DGAB2，由图2可得，CD734，RtCDG中，CG=CD2-DG2=42-22=23，又BGAD1，BC1+23，即m的值为1+23；（3）分三种情况：当点P在AB上时，若APAD1，则ADP是等腰三角形，此时，BP211，S=12BCBP=12（1+23）1=12+3；当点P在AD上时，ADP不存在；当点P在CD上时，若DP

69、DA1，则ADP是等腰三角形，如图所示，过P作PGBC于G，交AD的延长线于H，则矩形ABGH中，HGAB2，AHBC，DPHCPG，DPPC=HPPG，即13=2-GPGP，解得GP=32，S=12BCGP=12（1+23）32=34+323【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了直角梯形，矩形的性质，勾股定理以及相似三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线构造矩形，运用分类思想进行求解，解题时注意：矩形的对边相等，相似三角形的对应边成比例28如图，E是正方形ABCD中CD边上的一点，AE交对角线BD于点P，过点P作AE的垂线交BC于点G，连AG交对角线BD于点Q（1）求证：APPG（2）线段

70、BQ、PQ、PD有何数量关系？证明你的结论；（3）若AB4，过点G作GFBD于F，直接写出GF+PD22【分析】（1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明AMPPNG，得APPG；（2）如图2，作BMBD，BMPD，连AM，依次证明ADPABM，MAQPAQ，得出MBQ是直角三角形，根据勾股定理得结论；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，先利用勾股定理求BD的长，则可得DH的长，证明APHPGF，FGPH，则GF+PDPD+PHDH22【解答】证明：（1）如图1，过P作MNAD，交AD于M，交BC于N，四边形ABCD为正方形，ADBC，MNBC，AMPGNP90，PGN+GPN90，AE

71、PG，APG90，APM+GPN90，PGNAPM，BD平分ADC，ADB45，PMD是等腰直角三角形，PMDM，ADCDMN，ADDMMNPM，即AMPN，AMPPNG，APPG；（2）结论：PQ2PD2+BQ2作BMBD，BMPD，连AM，MQ，如图2，ABD45，ABM45，ABMADB，ABAD，ADPABM（SAS），AMAP，BAMDAP，由（1）得：APPG，APPG，PAQ45，DAP+BAQBAM+BAQ45，即MAQ45，易证MAQPAQ（SAS），MQPQ，MBQMBA+ABD90，MQ2BM2+BQ2，PQ2PD2+BQ2（3）如图3，过A作AHBD于H，ABAD4，B

72、AD90，BD=42+42=42，DH=12BD22，AHPGFP90，HAP+APH90，APH+GPF90，HAPGPF，APPG，APHPGF，FGPH，GF+PDPD+PHDH22，故答案为：22【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质，是正方形中常考题型，难度适中，本题的三问证明三角形全等是关键29如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边AB交y轴于D点（1）若C点坐标为（3，1），求B点坐标；（2）E为BC上一点，且ODEDOC，求DOE的值；（3）如图2，若M为OB的中点，过C点作CNx轴，连接MN，探索NO，

73、NM，NC三条线段之间的数量关系，并证明【分析】（1）作BGy轴于G，作CPx轴于P，BG与CP交于H；由AAS证明BCHCOP，得出对应边相等BHCP1，CHOE3，求出BG、HP即可；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明OADOQD（AAS），得OAOQ，再证明RtOQERtOCE（HL），根据全等三角形的对应角相等可得DOE45；（3）结论：2MNON+NC，作辅助线，构建直角梯形，根据直角梯形的中位线定理得：MH=12（AG+CN），再证明AOGOCN，得AGON，由O、N、C、M四点共圆，可知ONMOCM45，则MHN是等腰直角三角形，所以MN=2MH，代入可得结论【解答】解

74、：（1）作BGy轴于G，作CPx轴于P，BG与CP交于H，如图1，则BHCCPO90，HBC+BCH90，C点坐标为（3，1），OP3，CP1，四边形ABCO是正方形，BCOC，BCO90，BCH+OCP90，HBCOCP，在BCH和COP中，BHC=CPOHBC=OCPBC=OC，BCHCOP（AAS），BHCP1，CHOP3，BG312，HP3+14，点B的坐标为：（2，4）；（2）如图2，过O作OQDE于Q，四边形AOCB是正方形，ABOC，AOCBAOC90，AOOC，ADODOC，ODEDOC，ADOODE，AOQD90，ODOD，OADOQD（AAS），OAOQ，AODDOQ，OE

75、OE，RtOQERtOCE（HL），QOECOE，AOC90，AOD+DOQ+QOE+EOC90，DOQ+QOE45，即DOE45；（3）结论：2MNON+NC，理由是：如图3，过M作MHx轴于H，过A作AGx轴于G，连接AC，则四边形AGNC是直角梯形，在正方形ABCD中，M是OB的中点，AC过M点，AMMC，AGMHCN，GHNH，MH是直角梯形AGCN的中位线，MH=12（AG+CN），AOC90，AOG+CON90，AGOONC90，GAO+AOG90，CONGAO，AOOC，AOGOCN，AGON，ONCOMC90，ONC+OMC180，O、N、C、M四点共圆，ONMOCM45，MH

76、N是等腰直角三角形，MN=2MH，2MN2MH212（AG+CN）AG+CNON+CN【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质和作辅助线构建三角形全等是本题的关键，并能进行推理论证与计算，使问题得以解决30在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中（1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN求证：DFCN；连接AC求DH：HE：EF的值；（2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点，假设点E从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，同时点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，运动

77、时间为t（t0），连接DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由【分析】（1）证明ADFDNC，即可得到DFCN；利用勾股定理和相似三角形的判定与性质以及直角三角形面积公式分别求出DH，EF，DF的长，进而得出EH的长，即可得出DH：HE：EF的值；（2）首先证明AFECDE，利用比例式求出时间t=13a，进而得到CM=13a=13CD，所以该命题为真命题【解答】（1）证明：由题意可得，AFDN，在ADF与DNC中，AF=DNFAD=NDCAD=CD，ADFDNC（SAS），DFCN；解：ADCDA

78、Ba，N，F分别是AD，AB中点，DNAF=a2，DF=52a，AFCD，AFECDE，EFDE=AFCD=12，EFDF=13，EF=56a，DHCNDNCD，DH=DNCDNC=12aa52a=55a，EH=52a-56a-55a=2515a，DH：HE：EF=55a：2515a：56a6：4：5；（2）解：该命题是真命题理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=12AB=12CDABCD，AFECDE，AEEC=AFCD=12，AE=12EC，则AE=13AC=23a，t=AE2=13a则CM1t=13a=13CD，点M为边CD的三等分点【点评】此题主要考查了几何综合题和相似三角形、全等三角形、正方形、命题证明等知识点解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系