专题32 函数与几何综合问题（共10道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练.docx

1、专题32 函数与几何综合问题(10道)一、单选题1(2023山东泰安统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，连接，点M是中点，连接将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是()A3BCD2【答案】A【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，点M为中点，点A为中点，是的中位线，；在中

2、，将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，的最小值为，的最小值为3，故选A【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键2(2023江苏无锡统考中考真题)如图中，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：若，与相交于，则点不一定是的重心；若，则的最大值为；若，则的长为；若，则当时，取得最大值其中正确的为()ABCD【答案】A【分析】有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已

3、知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；如图5，若，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可求解；如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，【详解】有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；如图，点不是中点，所以点不是重心；正确当，如图时最大，错误；如图5，若，错误；如图6，即，在中，当时，最大为5，正确故选：A【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键二、填空题3(2023江苏无锡统考中考真题)二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直

4、线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 【答案】或或【分析】先求得，直线解析式为，直线的解析式为，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则如图1，直线过中点，如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；如图5，直线，如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，设直线解析式为，解得：直线解析式为，当

5、时，则直线与y轴交于，点必在内部1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线的解析式为，解得：则直线的解析式为如图1，直线过中点，中点坐标为，代入直线求得，不成立；如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2)、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为如图4，直线，解得；如图5，直线，则，又，不成立；如图6，直线，同理可得，解得；综上所述，或或【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨

6、论是解题的关键三、解答题4(2023四川绵阳统考中考真题)如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】1可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点，可求得抛物线的解析式；2联立直线和抛物线解析式可求得、两点的坐标，那么可求得C点坐标和线段的长，可求得圆的半径，可证得结论；3过点C作于点H，连接，可求得，利用2中所求B、D的坐标可求得，那么可求

7、得和的长，可求得其比值【详解】(1)解：抛物线的图象的顶点坐标是，可设抛物线解析式为，抛物线经过点，解得，抛物线解析式为；(2)解：联立直线和抛物线解析式可得，解得或，为的中点，点的纵坐标为，圆的半径为，点到轴的距离等于圆的半径，圆与轴相切；(3)解：如图，过点作，垂足为H，连接，由2可知，在中，由勾股定理可求得，【点睛】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识在1中注意利用抛物线的顶点式，在2中求得B、D的坐标是解题的关键，在3中求得、的长是解题的关键此题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大5(2023浙江统考中考真题)小贺在复习

8、浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，(1)复习回顾：求的长(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F当点G是的中点时，求证：；设，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长【答案】(1)(2)见解析；的长为或【分析】(1)先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；(2)连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似

9、三角形的性质求解即可.【详解】(1)解：连接，的直径垂直弦AB于点E，且，在中，；(2)解：连接，点G是的中点，的直径垂直弦AB于点E，；，的直径垂直弦AB于点E，即，；当时， 在中，即，；当时，在中，在中，同理，即，；综上，的长为或【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件6(2023江苏泰州统考中考真题)在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接(1)，求函数的表达

10、式及的面积；(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由【答案】(1)函数的表达式为，的面积为(2)不变，理由见解析(3)在，理由见解析【分析】(1)由，可得，则，当，则；当，解得，则；当，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，则，根据，计算求解即可；(2)求解过程同(1)；(3)设直线的解析式为，将，代入得，解得，即，当，则直线与边的交点坐标为，当，进而可得结论【详解】(1)解：，当，则；当，解得，则；当，解得，则；设一次函数的解析式为，将，代入得，解得，当，则，；函数的表达式为，的面积为；(2)解：的面

11、积不变，理由如下：，当，则；当，解得，则；当，解得，则；设一次函数的解析式为，将，代入得，解得，当，则，；的面积不变；(3)解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下：设直线的解析式为，将，代入得，解得，当，直线与边的交点坐标为，当，直线与边的交点在函数的图像上【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用7(2023黑龙江牡丹江统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，的长是方程的两个根()请解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交

12、延长线于点N，求的值；(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，等腰三角形的个数是8个， ， 【分析】(1)解方程得到，的长，从而得到点B的坐标；(2)由，得由，是中点，得到点M的坐标，代入直线中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得过点C作于H，过点N作于K从而，进而得到，易证，可得，因此，由可得，从而通过解直角三角形在中，得到，在中，因此求得，最终可得结果；(3)分，三大类求解，共有8种情况【详解】

13、(1)解方程，得， ；(2)，四边形是平行四边形，是中点，将代入，得，过点C作于H，过点N作于K，在中，在中，(3)解：由(2)知：直线解析式为，设，当时，解得或，或，如图，、都是以5为腰的等腰三角形，；当时，由知：，不可能等于5，如图，都是以5为腰的等腰三角形，；当时，由知：，当时，解得(舍去)，如图，当时，解得(舍去)，如图，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q坐标为， ， 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键8(2023湖南统考中考真题)如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点(不与

14、点A，C重合)，过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M(点M在劣弧上)(1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记的面积分别为，若，求的值；(3)若的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围【答案】(1)是的切线，证明见解析(2)(3)【分析】(1)依据题意，由勾股定理，首先求出，从而，然后根据，可以得解；(2)由题意，据得，再由，进而进行变形利用方程的思想可以得解；(3)依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解【详解】(1)解：是的切线证明：如图，在中，又点A，B，C在上，是的直径，又，是的切线(2)由题意得，又，又，由题意

15、，设，(3)设，如图，连接在中，在中，在中，(，)在中，即，最大值为F与O重合时，即为1综上，【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用9(2023江苏无锡统考中考真题)如图，四边形是边长为的菱形，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形(1)当时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式【答案】(1)(2)【分析】(1)连接、，根据菱形的性质以及已知条件可得为等边三角形，根据，可得为等腰直角三角形，则，根据翻折的性质，可得，则，；同理，；进而根据，即可求解；(2)等积法求得，则，根据三角形

16、的面积公式可得，证明，根据相似三角形的性质，得出，根据即可求解【详解】(1)如图，连接、， 四边形为菱形，为等边三角形为中点，为等腰直角三角形，翻折，；.同理，；(2)如图，连接、，延长交于点 ，则，【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键10(2023湖北鄂州统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，直线轴，交y轴的正半轴于点，且，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接(1)请直接写出点A的坐标；(2)如图2，若动点B满足，点C为的中点，点为线段上一动点，连接在平面内，将沿翻折，点B的对应点为点P，

17、与相交于点Q，当时，求线段的长；(3)如图3，若动点B满足，为的中位线，将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；(4)如图4，平分交于点，于点，交于点，为的一条中线设，的周长分别为，试探究：在B点的运动过程中，当时，请直接写出点B的坐标【答案】(1)(2)(3)或(4)【分析】(1)根据，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；(2)根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出，再过点D作，得出，解三角形即可求出，从而求出，(3)将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将绕点B在平面内逆时针旋转，可得点、F恰好落在x轴，从而可得直线与x轴

18、交点的坐标；当将绕点B在平面内逆时针旋转到上方时，可得，从而得出，继而可求，再由即可求出交点坐标(4)由已知可证明，进而可得，由此可得，延长交于H点，可得，然后由双勾股求出，进而求出点B坐标【详解】(1)解：，点A位于y轴的正半轴，点A坐标为，(2)，直线轴，点C为的中点，又，由折叠可知：，如解(2)图，过点D作，即，(3)解：，又为的中位线，I如图，将绕点B在平面内逆时针旋转，到如解(3)-1图所示位置时，直线轴，又，四边形是矩形，点、F恰好落在x轴，此时直线EB与x轴交点的坐标为，II如图，将绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，如解(3)-2图所示位置时，延长交x轴于点K，在中，即：，解得：，直线轴，直线轴，在中，此时直线EB与x轴交点的坐标为，综上所述：将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线与x轴交点的坐标为或；(4)直线轴，于点D， ，又平分交于点，即：，又，为的一条中线，即：，设，的周长分别为，延长交于H点，如解(4)图，解得： (不合题意，舍去)，故，所以点B坐标为【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、解三角形、相似三角形的判定和性质，难度较大，确定运动后线段之间的位置关系、正确作出辅助线是解题的关键