专题36 一次函数中的将军饮马问题(解析版).docx

1、专题36 一次函数中的将军饮马问题 【模型展示】特点在直线上求一点，使最短将对称到，连接，与的交点即为点结论两点之间，线段最短【模型证明】解决方案1、在直线上分别求点，使周长最小分别将点关于两直线对称到，连接与两直线交点即为两点之间，线段最短2、在直线上分别求点，使四边形周长最小将分别对称到，连接与直线的交点即为两点之间，线段最短3、在直线上求两点（在左），使得，并使最短将向右平移个单位到，对称到，连接与交点即为，左平移个单位即为两点之间，线段最短4、在直线上求点，使最大将点对称到，作直线与的交点即为点三角形任意两边之差小于第三边【题型演练】一、填空题1（2021全国九年级专题练习）如图所示，

2、已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是_；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_【答案】 【详解】思路引领：（1）如图1，过x轴作点B的对称点B，连接AB与x轴的交点即为所求的点P根据点A、B的坐标可以求得直线AB的 解析式，根据该解析式可以求得点P的坐标；（2）如图2，求出AB的坐标，设直线AB的解析式是ykx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在ABP中，|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPBAB，此时线段AP与线段

3、BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可答案详解：把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y12，y2，A（，2），B（2，）（1）如图1，过x轴作点B的对称点B，连接AB与x轴的交点即为所求的点P，则B（2，）设直线AB为ykx+b（k0），则 解得故直线AB的解析式为：yx令y0，解得，x1.7故P（1.7，0）；（2）在ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPBAB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是yax+c（a0）把A、B的坐标代入得：，解得：，直线AB的解析式是yx，当y0时，x，即P

4、（，0）；故答案是：（1.7，0）；（，0）2（2021全国九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为_.【答案】【分析】设D（-1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ESx轴于S，根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE.【详解】解：设D（-1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ESx轴于S，ABDC，且AB=OD=OC=1，四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，

5、AD=OB，OA=BC，AD+OA=OB+BC，AE=AD，AE+OA=OB+BC，即OE=OB+BC，OB+CB的最小值为OE，由可知AFO=30，F（-4，0），FD=3，FDG=60，DG=DF=，DE=2DG=3，ES=DE=，DS=DE=，OS=，OE=，OB+CB的最小值为.【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，证得OE是OB+CB的最小值是本题的关键3（2021江苏常州二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的O与x轴的正半轴交于点A，点B是O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为_

6、【答案】2【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MNDE于N首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的M，设M交MN于C求出MN，当点C与C重合时，CDE的面积最小【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MNDE于N ACCB，AMOM，MCOB1，点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的M，设M交MN于C直线yx3与x轴、y轴分别交于点D、E，D（4，0），E（0，3），OD4，OE3，DE5，MDNODE，MNDDOE，DNMDOE， ，MN，当点C与C重合时，CDE的面积最小，CDE的面积最小值5（1）2，故答案为：2【点睛】本题考查三角形的中

7、位线定理，三角形的面积，一次函数的性质，圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型二、解答题4（2022江苏靖江外国语学校模拟预测）直线和双曲线交于点，(1)求，的值；(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标【答案】(1)，；(2)【分析】（1）将A、B两点坐标分别代入，即可解出m、n的值；（2）线段和的最短距离问题，首先想到的是利用“将军饮马”模型进行解决，做A点关于坐标轴的对称点，在之后再进行计算，需要注意的是，本题需要进行分情况进行讨论，最终确定最短距离下的M坐标【详解】（1）解：点，在直线上，点在双曲线上，；（2）如图，

8、作点关于轴的对称点，连接交轴与，则，设直线的解析式为，直线的解析式为，；如图，作点关于轴的对称点，连接交轴与，则，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形变化-轴对称、最短路线问题，注意待定系数法求直线解析式的运用5（2022辽宁沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）如图，一次函数ykx6过点A（2，2），与y轴交于点B(1)求一次函数表达式及点B坐标；(2)在x轴上找一点C，连接BC，AC当BCAC最小时，请直接写出点C的坐标为_；请直接写出直线BC的函数表达式为_；在坐标轴上找点D，连接BD，CD，使SABCSBCD，请直接写出点D的坐标

9、为_【答案】(1)y=-2x-6，B（0，-6）(2)（-，0）；y=-4x-6；或或（0，-2）或（0，-10）【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数的解式，进入求得B的坐标；（2）作B关于x轴的对称点为（0，6），连，交x轴于点C，此时BC+AC最小，用待定系数法求出，进一步求出C点坐标；利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；求得ABC的面积，然后根据三角形面积公式得CD和BD的长度进而即可求得D的坐标(1)解：一次函数ykx6过点A（2，2）-2=-2k-6，解得k=-2y=-2x-6B（0，-6）(2)B点关于x轴的对称点是，连接交x轴于点C，此时AC+BC最小，设直线的解析式

10、为y=ax+b，则 解得 y=4x+6当y=0时，x=-，点C（-，0）故答案为：（-，0）设直线BC的解析式为y=mx+n，则，解得 y=-4x-6故答案为：y=-4x-6A（-2，-2），B（0，-6） ，C 当D在x轴时， ，即 CD=1点D为 或 当D在y轴上时，即BD=4点D为（0，-2）或（0，-10）故答案为： 或或（0，-2）或（0，-10）【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称一最短路线问题，熟练掌握待定数法是解题的关键6（2020新疆乌鲁木齐市第九中学八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是

11、格点（1）画出ABC关于直线MN对称的（2）若B为坐标原点，请写出、的坐标，并直接写出的长度（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小（保留作图痕迹）【答案】（1）画图见解析；（2），；（3）画图见解析【分析】（1）分别确定关于对称的对称点 再顺次连接从而可得答案；（2）根据在坐标系内的位置直接写其坐标与的长度即可；（3）先确定关于的对称点，再连接 交于 则 从而可得答案.【详解】解：（1）如图1，是所求作的三角形，（2）如图1，为坐标原点，则（3）如图2，点即为所求作的点.【点睛】本题考查的是画轴对称图形，建立坐标系，用根据点的位置确定点的

12、坐标，轴对称的性质，掌握“利用轴对称的性质得到两条线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.7（2022江苏八年级专题练习）如图1，在RtABC中，C90，AB10，BC6，AC8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PDAB于点D，求PB+PD的最小值请在横线上补充其推理过程或理由解：如图2，延长BC到点B，使得BCBC，连接PB ACB90（已知） （垂直的定义） PB （线段垂直平分线的性质） PB+PDPB+PD（等式性质） 过点B作BDAB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB，在ABC和ABC中， ACAC，ACBACB90， ABCABC（理由： ） SABBSAB

13、C+ 2SABC（全等三角形面积相等） SABBABBD10BD5BD又SABB=2SABC2BCAC26848 （同一三角形面积相等） BD 【答案】ACBB；PB；BC=BC；SAS；SABC；ABBD48；PB+PD的最小值为【分析】作点B关于AC的对称点B，过点B作BDAB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB，根据对称性的性质，BP=BP，证明ABCABC，根据SABB=SABC+SABC=2SABC，即可求出PB+PD的最小值【详解】解：如图2，延长BC到点B，使得BC=BC，连接PB，ACB=90（已知）， ACBB（垂直的定义），PB=PB（

14、线段垂直平分线的性质），PB+PD=PB+PD（等式性质），过点B作BDAB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB在ABC和ABC中，AC=AC，ACB=ACB=90，BC=BC，ABCABC（理由：SAS），SABB=SABC+SABC=2SABC（全等三角形面积相等），SABB=ABBD=10BD=5BD，又SABB=2SABC=2BCAC=268=48，ABBD48（同一三角形面积相等），BD=， PB+PD的最小值为故答案为：ACBB；PB；BC=BC；SAS；SABC；ABBD48；PB+PD的最小值为【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是轴对称-最

15、短路线问题的处理：作对称点8（2021全国八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD（1）求边AB的长；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）AB=；（2）C（1，3），D（3，2）；（3）M（1，0）【分析】（1）分别求出点A、B坐标，根据勾股定理即可求出AB；（2）作CEy轴，DFx轴，垂足分别为E、F，证明BCEDAFABO，得到BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，进而得到OE=3，OF

16、= 3，即可求出点C、D坐标；（3）连接BD，作点B关于x轴的对称点B，连接BD，与x轴交于点M，此时BMD周长最小，求出直线BD的解析式为y=x1，令y=0，即可求出点M坐标【详解】解：（1）由一次函数y=x+1得，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=2，A（2，0），B（0，1），在RtAOB中，OA=2，OB=1，根据勾股定理得：；（2）如图，作CEy轴，DFx轴，垂足分别为E、F，CEB=AFD=AOB=90，DAF+ADF=90，BAO+ABO=90，四边形ABCD是正方形，BC=AB=AD，DAB=ABC=90，DAF+BAO=90，ABO+CBE=90，BAO=ADF=CBE

17、，BCEDAFABO，BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，C（1，3），D（3，2）；（3）如图，连接BD，BD为定值，作点B关于x轴的对称点B，连接BD，与x轴交于点M，此时BMD周长最小，B坐标为（0，1），B坐标为（0，1），设直线BD的解析式为y=kx+b，把B与D坐标代入得：，解得：，即直线BD的解析式为y=x1，令y=0，得到x=1，点M坐标为（1，0）【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，综合性较强，根据题意添加辅助线，求出点C、D坐标是解题关键9（2021全国

18、九年级专题练习）作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点（1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若点P的坐标为（4，2）请求出M的半径；填空：若Q是M上的点，且PMQ90，则点Q的坐标为 【答案】（1）见解析；（2）；或【详解】思路引领：（1）连接OP，作OP的垂直平分线交x轴于M点，以MO我半径作M，即为所求；（2）连接PM，作PHx轴，垂足为H，设O的半径为r，则PMMOr，MH4r，PH2，在RtPHM中，由勾股定理求r即可；过M点作PM的垂线，交M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，利用三角形全等求Q点坐标答案详解

19、：（1）M如图所示；（2）连接PM，作PHx轴，垂足为H，设O的半径为r，则PMMOr，MH4r，PH2，在RtPHM中，PH2+MH2PM2，即22+（4r）2r2，解得r；如图，过M点作PM的垂线，交M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，垂足为N1，N2，利用互余关系，PMQ1MQ2M，可证RtPMHRtQ1MN1RtQ2MN2，PHMN1MN22，MHQ1N1Q2N24r，Q（，）或（，）故答案为：（，）或（，）10（2021全国九年级专题练习）如图，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处（1

20、）求点、的坐标；（2）如图，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；（3）如图，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）点的坐标是，点坐标为；（2）；（3）存在， 在轴、轴上分别存在点、，使得四边形的周长最小，最小值为【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；（3）作点F关于y轴的对称点F，点E关于x轴的对称点E，连接EF交y轴于点N，交x轴于点

21、M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E和F的坐标直接求线段长度即可【详解】解：（1）点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），OA=3，OC=2，根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，由折叠知DA=DF=OC=2，OD=OA-DA=1，点F坐标为（1，2），点E是AB的中点，EA=1，点E的坐标是（3，1）；（2）如图2将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，BF=AB=2，OD=CF=3-2=1，若设OP的长为x，则，PD=x-1，在RtABD中，AB=2，AD=2，ADB=45，在RtPDH中，PH=DH=DP=（x-1），S=DHPH=（x-1）（x-1）=（

22、1x3）；（3）如图3作点F关于y轴的对称点F，点E关于x轴的对称点E，连接EF交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E（3，-1），用两点法可求直线EF的解析式为：y=-，当x=0时，y=，当y=0时，x=，N（0，），M（，0），此时，四边形MNFE的周长=EF+EF=；在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关

23、键11（2021全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值【答案】周长的最小值为【分析】分别作点关于轴、直线的对称点、，连接，分别交轴、直线于点、，由对称性质可得，此时的周长为【详解】如图，分别作点关于轴、直线的对称点、，连接，分别交轴、直线于点、，由对称性质可得，此时的周长为此时的周长最小，最小值为的长、，过点作轴于点，周长的最小值为【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称正确找到点的位置12（2022湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个

24、三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”如图1，在ABC中，AB=AC=1，BAC=108，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD(1)证明直线AD是ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度(3)如图3，射线CF平分ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求QAC的正弦值【答案】(1)直线AD是ABC的自相似分割线；(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；(3)QAC的正弦值为【分析】（1）根据定义证明DBAABC即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与

25、重合时，,此时最小，设，则根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可（1）ABC中，AB=AC=1，BAC = 108B =C =（180-BAC）= 36DE垂直平分ABAD = BDB =BAD = 36C =BAD又B =BDBAABC直线AD是ABC的自相似分割线（2）如图，连接，垂直平分AB，当点与重合时，,此时最小，设，则解得：PA+PC=当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；（3）如图，过点作于点，过点作于点，

26、连接，设与交于点，由（2）知，平分点落在上时，点与点重合，即此时的值最小，最小值为QAC的正弦值为【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键13（2022重庆开州八年级期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写

27、出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)点C的坐标为(2)(3)存在，点Q的坐标为：，【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标；（2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可；（3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标(1)解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得：，解得，直线的解析式为，又

28、直线与直线交于点C，解得，当时，则，点C的坐标为；(2)解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，直线与x轴的交点为，又点D和点关于y轴对称，点，设直线的解析式为，可得，解得，直线的解析式为，令，则，得点，又，；(3)解：由题意可得直线的解析式为，联立线与直线，即，解得， 设，当ED为菱形对角线时，即，解得，；当EQ为菱形对角线时，解得或，；当EF为菱形对角线时，即，解得，综上：存在，点Q的坐标为：，【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质、菱形的判定与性质，分类讨论是解题的关

29、键14（2022贵州铜仁八年级期末）如图，已知一次函数ykxb的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D(1)求该一次函数的表达式；(2)若y轴存在一点P使PAPB的值最小，求此时点P的坐标及PAPB的最小值；(3)在x轴上是否存在一点M，使MOA的面积等于AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由【答案】(1)y-x5(2)；(3)存在，或【分析】(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可写出一次函数的表达式(2)先作出A(1，4)关于y轴的对称点A(-1，4)，连接AB与y轴的交点即为P点求出直线AB的函数表达

30、式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出AB的长，即PA+PB的最小值(3)先求出AOB的面积，再根据MOA的面积等于AOB的面积列方程求出M点的横坐标，即可求出M点的坐标（1）把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得，解得，一次函数的表达式为：y=-x+5；（2）作A(1，4)关于y轴的对称点A(-1，4)，连接AB交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，且PA+PB=PA+PB=AB，设AB的表达式为y=mx+n，则，解得，直线AB的表达式为，当x=0时，y=，P(0， )，且，PA+PB的最小值为；（3）由y=-x+5得C(5，0)，SAOB=SAOC-S

31、BOC，设M(xM，yM)，SMOA=SAOB，或，M(，0)或（，0），存在一点M，使MOA的面积等于AOB的面积，且M点的坐标为(，0)或（，0）【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值(即将军饮马)，两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键15（2022浙江义乌市宾王中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA2，SABC12，点C在x轴的正半轴上，且OCOB(1)求直线AB的解析式；(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，

32、与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y2x+4(2)(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，2）或（0，10）【分析】（1）设OBOCm，由SABC12，可得B（0，4），设直线AB解析式为ykxb，利用待定系数法即可求解；（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y2x2，可得E（0，2），垂线l2的解析

33、式为y2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为yx4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y2于Q，此时PDPQDQ的最小，根据D（2，2），D（2，6），得直线DD解析式为y2x2，从而P（0，2），Q（0，2），故此时PD2，PQ0，DQ，PDPQDQ的最小值为4（3）设P（p，2p4），N（0，q），而A（2，0），D（2，2），以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0，2）；以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；以AN、DM为对角线，同理可得N（0，2）（1）解：（1）设OB

34、OCm，OA2，ACm+2，A（2，0），SABC12，ACOB12，即m（m+2）12，解得m4或m6（舍去），OBOC4，B（0，4），设直线AB解析式为ykx+b，解得，直线AB解析式为y2x+4；（2）将直线ABy2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y2x2，令x0得y2，E（0，2），垂线l2的解析式为y2，B（0，4），C（4，0），设直线BC解析式为ypx+q，解得，直线BC解析式为yx+4，由得：，D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：D（2，2），D（2，6），设直线DD解

35、析式为ysx+t，则，解得，直线DD解析式为y2x2，令x0得y2，即P（0，2），令y2得x0，即Q（0，2），此时PD2，PQ0，DQ2，PD+PQ+DQ的最小值为4（3）存在，理由如下：设P（p，2p+4），N（0，q），而A（2，0），D（2，2），以AD、MN为对角线，如图：此时AD中点即为MN中点，解得，N（0，2）；以AM、DN为对角线，如图：同理可得：，解得，N（0，10）；以AN、DM为对角线，如图：同理可得，解得，N（0，2），综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，2）或（0，10）【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图

36、象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题16（2021四川南充一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A（4，0）、B（0，4）、C其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，（，）或（，-）或（，-）【分析】（1）把点A（4，

37、0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作点B关于直线l的对称轴B，连接BC交l于一点P，点P即为使PBC周长最小的点，由对称可知，PB=PB，即PBC周长的最小值为：BC+CB；（3）设M（m，-m2+3m+4），当EF为边时，则EFMN，则N（m，-m+4），所以NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，求出m的值，代入即可；当EF为对角线时，EF的中点为（，），由中点坐标公式可求得点N的坐标，再由点N是直线AB上一点，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可（1）解：把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，得，解

38、得，抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；（2）解：由抛物线解析式可知，对称轴直线l：x=，点A（4，0），点C（-1，0），如图，作点B关于直线l的对称轴B，连接BC交l于一点P，点P即为使PBC周长最小的点，此时B（3，4），设直线BC的解析式为y=kx+b1，解得：，直线BC的解析式为：y=x+1，把x=代入得：y=+1=，P（，），B（0，4），C（-1，0），B（3，4），BC=，CB=4，PBC周长的最小值为：；（3）解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）理由如下：由抛物线解析式可知，E（，），A（4，0）、B（0，4），直

39、线AB的解析式为：y=-x+4，F（，）EF=设M（m，-m2+3m+4），当EF为边时，则EFMN，N（m，-m+4），NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，解得m=（舍）或或或，M（，）或（，-）或（，-）当EF为对角线时，EF的中点为（，），点N的坐标为（3-m，m2-3m+），-3+m+4=m2-3m+，解得m=（舍），m=，M（，）综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨论17（2022全国八年级课时练习）在中，D为BC延长

40、线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED（1）如图1，当时，则_；（2）当时，如图2，连接AD，判断的形状，并证明；如图3，直线CF与ED交于点F，满足P为直线CF上一动点当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_，并证明【答案】（1）80；（2）是等边三角形；（3）【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，再结合等腰三角形性质可得，利用平角定义和四边形内角和定理可得，由此求解即可；（2）根据（1）的结论求出即可证明是等边三角形；（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当的值最大时的P点位置，再证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形，利用

41、旋转全等模型即可证明，从而可知，再根据30直角三角形性质可知即可得出结论【详解】解：（1）点E为线段AC，CD的垂直平 分线的交点，在中，故答案为：（2）结论：是等边三角形证明：在中，由（1）得：，是等边三角形结论：证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，如解图2，P、E、三点在一条直线上，由（1）得：，又，又，点D、点是关于直线AF的对称点，是等边三角形，是等边三角形，在和中， ，（SAS），在中，【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定，全等三角形性质和判定等知识点，解题关键是利用对称将转化为三角形三边关系找

42、到P的位置，并证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形18（2021湖北沙市中学九年级阶段练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）求的最小值；（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与的面积分别为，设，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值【答案】（1）x22x6；（2）QOQA有最小值10；（3）P（3，）时，S有最大值【分析】（1）运用待定系数法设ya（x2）（x6），将C（0，6）代入，即可求得答案；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O，连接AO，QO，CO，BO，由O、O关于直线BC对称，得出四边形BOCO是正

43、方形，根据QAQOAO，QOQO，得出答案；（3）运用待定系数法求出直线BC、AC、PQ的解析式，设P（m，m22m6），联立方程组，得：，求得Q（，），再运用三角形面积公式求得答案【详解】解：（1）抛物线交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，设ya（x2）（x6），将C（0，6）代入，得：12a6，解得：a，y（x2）（x6）x22x6，抛物线的解析式为x22x6；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O，连接AO，QO，CO，BO，OBOC6，BOC90，BCO45，O、O关于直线BC对称，BC垂直平分OO，OO垂直平分BC，四边形BOCO是正方形，O（6，6），在RtABO中，AO，

44、QAQOAO，QOQO，QOQAQAQOAO5，即点Q位于直线AO与直线BC交点时，QOQA有最小值10；（3）设直线BC的解析式为ykxd，B（6，0），C（0，6），解得：，直线BC的解析式为yx6，设直线AC的解析式为ymxn，A（2，0），C（0，6），解得：，直线AC的解析式为y3x6，PQAC，直线PQ的解析式可设为y3xb，由（1）可设P（m，m22m6），代入直线PQ的解析式，得：m22m63mb，解得：bm2m6，直线PQ的解析式为y3xm2m6，联立方程组，得：，解得：，Q（，），由题意：SSPAQSPBQSPABSQAB，P，Q都在第四象限，P，Q的纵坐标均为负数，S|A

45、B|（m22m6）|AB|（），由题意，得0m6，m3时，S最大，即P（3，）时，S有最大值【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键19（2021全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，

46、点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KMMNNK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线yx2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx；（2）3，（3）存在，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）【详解】试题解析：（1）yx2x，y（x1）（x3）A（1，0），B（3，0）当x4时，yE（4，）设直线AE的解析式为ykxb，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k，b直线AE的解析式为yx（2）设直线CE的解析式为ymx，

47、将点E的坐标代入得：4m，解得：m直线CE的解析式为yx过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP（x）（x2x）x2xEPC的面积（x2x）4x2x当x2时，EPC的面积最大P（2，）如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点，k（，）点H与点K关于CP对称，点H的坐标为（，）点G与点K关于CD对称，点G（0，0）KMMNNKMHMNGN当点O、N、M、H在条直线上时，KMMNNK有最小值，最小值GHGH3.KMMNNK的最小值为3.（3）如图3所示：y经过点D，y的顶点为点F，点F（3，）点G为CE

48、的中点，G（2，）FG当FGFQ时，点Q（3，），Q（3，）当GFGQ时，点F与点Q关于y对称，点Q（3，2）当QGQF时，设点Q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a，解得：a点Q1的坐标为（3，）综上所述，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）20（2021广东岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线yx2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上（1）求直线BC的解析式；（2）若点C关于原点的对称点为C，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得GBC的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由（3）设点P是直

49、线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQx轴交直线AC于点Q，过点Q作QMx轴于点M，再过点P作PNx轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长【答案】（1）；（2）存在，；（3）或【分析】（1）由可求得，结合，即可求得直线BC的解析式；（2）由可知当、三点共线时，的周长取得最小值，分别在和利用勾股定理计算相关线段即可得到周长最小值的数值，此时点横坐标为，通过计算得到直线表达式，代入求解即可（3）设正方形的变成为,则用表示出、四点坐标，由，分两种情况，列式计算即可【详解】解：（1）分别与x、y轴交于A、C两点，令，得 ，即，令，得，即，设直线

50、BC的解析式为：，将,代入中，得：，解得：.直线BC的解析式为：，（2）存在，理由如下：据题意，作图如下：点与点关于原点对称，且, 为定长，当取得最小值时，的周长取得最小值，即当、三点共线时，取得最小值作图如下：设线段所在的直线函数表达式为：， 将点，代入，得：，解得：线段所在的直线函数表达式为：，点G为线段AB垂直平分线上的点，点G的横坐标为：，点G的纵坐标为：，又点G为线段AB垂直平分线上，在中，,，在中，（3）当点在线段BC之间时，存在正方形PQMN，如下图：设正方形的边长为，点在直线上，点在直线上，点，点，点,点，即，解得： 当点在直线BC的左下方时，存在正方形PQMN，如下图：同理可

51、得：，此时：，解得：，综上所述，正方形PQMN的边长为或【点睛】本题考查一次函数综合，一次函数解析式求法，勾股定理等，灵活应用知识点解题是关键21（2021全国九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接，点是抛物线在第四象限上一点，连接，求面积的最大值；（3）如图，点为抛物线的顶点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接将抛物线沿轴向右平移个单位，点，的对应点分别为、，连接、，当四边形的周长取最小值时，求的值【答案】（1）；（2）当时，取得最大值，最大值为；（3）【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先利用抛物线的解析式

52、求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，设，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可；（3）先求出顶点D的坐标，再根据点坐标、对称性分别求出点E的坐标、DE、AB的长，然后根据平行四边形的判定与性质、轴对称的性质得出，又根据两点之间线段最短得出当、三点共线时，取最小值，从而得出此时四边形的周长最小，最后利用待定系数法求出直线的解析式，从而得出点的坐标，据此即可得出答案【详解】（1）将，代入抛物线解析式，得，解得，故抛物线的解析式为；（2）如解图，过点作轴的垂线，交于点，抛物线的解析式为，令，则，解得，设直线的解析式为，将点，代入得，解得，则

53、直线的解析式为，设，则，且，在范围内，当时，取得最大值，最大值为；（3）抛物线的解析式为，点和点关于抛物线的对称轴对称，由平移的性质得：，如解图，将点向右平移4个单位得到点，作点关于轴的对称点，连接，由轴对称的性质得：，四边形为平行四边形，四边形的周长为，且为定值，当的值最小，即的值最小时，四边形的周长最小，由两点之间线段最短得：当、三点共线时，取最小值，即，设直线的解析式为，将，代入得，解得，则直线的解析式为，当时，解得，则【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定周长取得最小值时点的位置是解题关键