专题4.11 线段公理与直线公理（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题4.11 线段公理与直线公理（知识讲解）【学习目标】1 认识并理解公理的含义；2 理解并掌握两点之间距离公式；3 理解并掌握线段、直线公理；4 初步认识最短路径问题，并求最简单的最短路径问题。【要点梳理】要点一、公理概念：公理是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。要点二、直线公理经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单说成：两点确定一条直线特别说明：（1）“有一条直线”中的有表示“存在”，“只有一条直线”中“只有”表示“唯一”；（2）过一点有无数条直线。要点三、线段公理两点的所有连线中，线段最短简记为：两点之间，线段最短如图1所示，在A

2、，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的图1要点四、两点之间距离两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离【典型例题】类型一、线段公理两点确定一条直线1木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？【答案】两点确定一条直线【分析】根据确定一条直线的方法求解即可解：根据直线公理：两点确定一条直线，答案为：两点确定一条直线【点拨】此题考查了确定一条直线的方法，解题的关键是熟练掌握确定一条直线的方法：两点确定一条直线举一反三：【变式1】小明和小亮在讨论“射击时为什么枪管上要准星？”小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星小亮：若将人眼看成一点，准星看成一点，

3、目标看成一点，这不就有三点了吗？多了一个点呀！请你说说你的观点【答案】两点确定一条直线试题分析：此题根据直线的性质两点确定一条直线进行解答即可解：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线，应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即达到看到哪打到哪儿换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上【变式2】如图，将甲乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？【答案】见分析【分析】根据经过两点有且只有一条直线分析即可解：乙尺不是直的，因为如果乙尺是直的，那么过两点A，B就有两条直线了，

4、这是不可能的，所以乙尺不是直的【点拨】本题考查了过两点有且只有一条直线，掌握过两点有且只有一条直线是解题的关键类型二、线段公理两点之间，线段最短2如图，已知平面上有四个村庄，用四个点，表示（1）连接，作射线，作直线与射线交于点；（2）若要建一供电所，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由【答案】（1）如图所示见分析；（2）如图，见分析；供电所应建在与的交点处理由：两点之间，线段最短【分析】（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处解：（1

5、）如图所示：点E即为所求；（2）如图所示：点M即为所求理由：两点之间，线段最短【点拨】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短举一反三：【变式1】知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面下面就两个情景请你作出评判 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题 情景二：A、B 是河流l两旁 的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由： 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【答

6、案】情景一：两点之间线段最短；情景二：画图见分析；两点指点线段最短解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短，所以这样走比较近；情景二：抽水站点P的位置如右图所示：理由：两点之间的所有连线中，线段最短；赞同情景二中运用知识的做法，应用数学知识为人类服务时应注意：不能以破坏环境为代价【变式2】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：（1）画射线AB；（2）连接BC；（3）反向延长BC至D，使得BD=BC；（4）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析【分析】（1）根据题意作图即可（2）

7、根据题意作图即可（3）以BC为半径，B点为圆心画弧，交BC反向延长线于点D，点D即为所求（4）根据两点之间线段最短，即连接AC交l于点E，点E即为所求解：（1）如图，射线AB即为所求作射线；（2）如图，连接BC；（3）如图，BD=BC；（4）连接AC，交直线l于点E，根据两点之间，线段最短，可得此时AE+CE小 【点拨】本题考查几何作图，熟练掌握作图的方法和理解两点之间线段最短是解答本题的关键类型三、两点之间距离3如图，线段AB20，BC15，点M是AC的中点（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB2：3求MN的长【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据图示知AMAC，A

8、CABBC；（2）根据已知条件求得CN6，然后根据图示知MNMC+NC解：（1）线段AB20，BC15，ACABBC20155又点M是AC的中点AMAC5，即线段AM的长度是（2）BC15，CN：NB2：3，CNBC156又点M是AC的中点，AC5，MCAC，MNMC+NC，即MN的长度是【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键举一反三：【变式1】如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3的三部分，M为AD的中点，BM9cm，求CM和AD的长【答案】CM=6cm，AD=30cm【分析】由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，

9、所以设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm所以AD=AB+BC+CD=10xcm 因为M是AD的中点所以AM=MD=AD=5xcm所以BM=AMAB=5x2x=3xcm 因为BM=9 cm，所以3x=9，x=3故CM=MDCD=5x3x=2x=23=6cm，AD=10x=103=30 cm考点：两点间的距离【变式2】如图，已知线段AB12 cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC和BC中点（1）若点C恰好是AB的中点，则DE cm；（2）若A

10、C4 cm，求DE的长；（3）试说明无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变【答案】（1）6；（2）6cm；（3）见分析【分析】（1）由AB12 cm，点D，E分别是AC和BC的中点，得出DEDC+CE（AC+CB），即可求解；（2）由AC4 cm，推出CD2cm，根据AB12cm，AC4 cm，得出BC8cm，由DEDC+CE即可求DE的长；（3）根据点D，E分别是AC和BC的中点，得出DCAC，CECB，由DC+CE（AC+CB），即可得证解：（1）点D，E分别是AC和BC的中点，DCAC，CECB，DEDC+CE（AC+CB）6 cm；故答案为：6（2）AC4 cm，CD2cm，AB12cm，AC4 cm，BC8cm，CE4cm，DEDC+CE6cm；（3）点D，E分别是AC和BC的中点，DCAC，CECB，DC+CE（AC+CB），即DEAB6cm，故无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变【点拨】本题考查了线段的和差倍分，解题的关键是正确的识别图形