专题4.12 相似三角形最值问题（分层练习）（综合练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题4.12 相似三角形最值问题（分层练习）（综合练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023春辽宁营口八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴和轴分别交于、两点，点的坐标为，点分别在直线轴上，则的最小值为（）A B C D2（2022秋广东深圳九年级校联考期末）如图，正方形 中， 是 的中点， 是线段 上的动点，则 的最小值是（）A B C D3（2023春广东惠州九年级校考开学考试）如图，在RtABC纸片中，ACB90，AC4，BC3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，

2、则AF的长的最小值为（）A B C D4（2022春九年级课时练习）如图所示，在中，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，则的最小值为（）A B C D5（2018秋湖北武汉八年级校联考阶段练习）如图 ，A（3，0）、B（0，4）、P（4，0），AB5，M、N两点分别在线段 AB、y轴上，则 PNMN的最小值为（）A4 B C D56（2019安徽蚌埠统考二模）如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A3.2 B2 C1.2 D17（2018春九年级单元

3、测试）如图，的顶点在射线上，射线和射线分别交射线于点、，当绕点转动时若，则的最小值是（ ）A B C D8（2017秋浙江温州九年级阶段练习）如图，ABCD是边长为1的正方形，对角线AC所在的直线上有两点M、N，使MBN=135.则MN的最小值是（）. A1+ B2+ C3+ D29（2022秋福建福州九年级校考期末）如图，直线与交于点H，在绕C点旋转过程中，线段的最大值是（）A1 B C2 D10（2022秋湖南长沙九年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）如图，已知中，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（）A4 B5 C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11

4、（2019四川泸州校联考一模）如图，在中，分别是，上的点，且，如果，的周长分别记为，则的最大值是 .12（2023春山东菏泽九年级统考期中）如图，在中，以点为圆心，以合适的长为半径画弧，分别交于点，分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点，过点作，交于点，若，则长度的最小值为 13（2023全国九年级专题练习）如图，在矩形中，E、F分别是AB、CD边上的动点，则的最小值为 14（2022陕西西安陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为正方形，点E在边的延长线上，连接并延长交直线于点F，若，则面积的最小值为 15（2020秋安徽亳州九年级校考阶段练习）如图，点P是矩形ABCD内一点

5、，连接PA、PB、PC、PD，已知AB3，BC4；则PA+PB+PC+PD的最小值为 ；若PABPDA，则PA 16（2022秋江苏盐城八年级校考阶段练习）如图，在锐角三角形ABC中，的面积为8，BD平分若M、N分别是BD、BC上的动点，则的最小值是 17（2021秋辽宁沈阳九年级沈阳市第一三四中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB15，BC20，把边AB沿对角线BD平移，点A，B分别对应点A，B给出下列结论：顺次连接点A，B，C，D的图形是平行四边形；点C到它关于直线AA的对称点的距离为50；ACBC的最大值为15；AC+BC的最小值为9其中正确结论的序号是 18（2023秋安徽芜湖九年

6、级校考开学考试）如图，在正方形中，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023秋九年级单元测试）如图，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足. （1）若，求的长；（2）当的长为何值时，的长最大，并求出这个最大值. 20（8分）（2020福建漳州统考二模）在中，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接（1）如图1，当点落在线段的延长线上时，直接写出的度数；（2）如图2，当点落在线段（不含边界）上时，与于点，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下

7、，若，求的最大值21（10分）（2022春九年级课时练习）（1）如图，RtABC中，A90，ABAC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且EDF90求证：DEDF；（2）如图2，RtABC中，BAC90，AC4，AB3，ADBC，EDF90求证：DFDADBDE；求EF的最小值22（10分）（2019春九年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E在OB上，且OAEOBA（1）如图，求点E的坐标（2）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB，BE设AAm，其中0m2，试用含m的式子表示AB2BE2，并求出使AB2BE2取得最小值时点E的坐标；当

8、ABBE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）23（10分）（2023四川达州统考二模）如图，正方形中，是边的中点，点是正方形内一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，（1）求证：；（2）若，三点共线，如图2，连接，求线段的长（3）求线段长的最小值24（12分）（2023江西赣州统考三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，为对角线上的一个动点，以为直角顶点，向右作等腰直角（1）操作发现：的最小值为_，最大值为_；（2）数学思考：求证：点在射线上；（3）拓展应用：当时，求的长参考答案1B【分析】过C点作于D，利用求出长，就是的最小值解：如图

9、，过C点作于D，垂线段最短，的最小值，一次函数与x轴和y轴分别交于A、B两点，点的坐标为，即的最小值故选：B【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路径问题，掌握一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键2C【分析】当时，最短，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理即可求得最小值解：当时，最短，；四边形为正方形，；为 的中点，；，即，在中，由勾股定理得：，解得：；故选：C【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定垂直最短，从而运用相似三角形的判定与性质是关键3A【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G根据菱形的性质可得点F在AB

10、C的平分线上运动，从而得到当AFBF时，AF的长最小再证明BEOBAF，可得，再证明AGEACB，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G四边形BEFD是菱形，BF平分ABC，点F在ABC的平分线上运动，当AFBF时，AF的长最小在菱形BEFD中，BFED，OB=OF，EFBC，EOAF，BEOBAF，在中，AC=4，BC=3，AB=5，BE=AE=2.5，AFBF，EF=2.5，EFBC，AGEACB，GF=EF-EG=1，AGF=AGE=90，故选：A【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似

11、三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在ABC的平分线上运动是解题的关键4B【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论解：连接AE E点的运动轨迹为射线AE当DE最短时，即当 时，DE有最小值在 中， 是等腰直角三角形 DE的最小值是2故答案为：B【点拨】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键5B【分析】如图，连接PN，作NMAB于M，作PMAB于M交y轴于点N根据垂线段最短可知，PNMN的最小值为线段PM的长，再证明ABOAPM，可得，由此即可解决问题；解：如图，连接PN，

12、作NMAB于M，作PMAB于M交y轴于点NPNMNPNNM，即PNMNPM，根据垂线段最短可知，PNMN的最小值为线段PM的长，BAOPAM，AOBAMP90，ABOAPM，PMPNMN的最小值为，故选B【点拨】本题考查垂线段最短，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用垂线段最短解决问题6C【分析】如图，延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小，利用AFMABC得到求出FM即可解决问题解：如图，延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FPAB时，点P到AB的距离最小）AA，AMFC90，AFMABC，FM3.2，PFCF

13、2，PM1.2点P到边AB距离的最小值是1.2故选C【点拨】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型7A【分析】由PAQ=MBN=30、ACB=BCD证ABCBDC得，即CACD=BC2，当BCAQ时，BC取得最小值，结合RtABC中 得BC的最小值为，即可得答案解：PAQ=MBN=30，ACB=BCD，ABCBDC，,即CACD=BC2，而当BCAQ时，BC取得最小值，此时在RtABC中, BC的最小值为，则CACD的最小值为3，故选A.【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键

14、.8B解：依题意知，可证明NCBBAM（AAA）故MN=AC+AM+CN=当AM1时，则CN1，如AM=0.5，则CN=2.当AM=0.8，CN=1.25，则可知当AM1时，AM+CN2.当AM1时，则当AM=1，则CN=1.此时MN=2+为最小值考点：相似三角形点评：本题难度中等，主要考查学生对相似三角形性质的掌握抓住相似三角形对应边成比例为解题关键9C【分析】根据等腰直角三角形斜边与一直角边的比是，先证明 ，得，根据8字形和三角形的内角和定理得出 是等腰直角三角形，利用垂线段最短可得结论解：过点B作于G，如图，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即，线段的最大值是2故选：

15、C【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，旋转变换等，解题的关键有两个：找出为最大值的位置，证明两个三角形相似10C【分析】由，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案解：，当有最大值时，有最大值，点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，是圆的直径，的最大值为，故选：C【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆的判定和性质，正确掌握四点共圆的性质是解题的关键11【分析】设BC=a，AC=b，由B=ADE=DAC，得到ABCEBDDAC，通过相似比得到，则，得到，

16、即可求出最大值.解：设BC=a，AC=b，B=ADE=DAC，ABCEBDDAC，则的最大值是.【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，周长的比等于相似比也考查了用配方法求最值12/【分析】如图所示，设交于点，过作于，根据两点之间线段最短和垂线段最短，求长度的最小值转换为求的最小值，再证，根据相似三角形的性质即可求解解：由题意的作图得：平分，如图所示，设交于点，过作于，且根据两点之间线段最短和垂线段最短，在中，根据平分，可知，是公共边，即：，解得：，故答案为：【点拨】本题主要考查对称轴-最短路径，相似三角形的判定和性质的综合，掌握

17、尺规作角平分线，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形的判定和性质是解题的关键135【分析】过点C作，且，连接，则当点A、F、G三点共线时，有最小值，根据平行四边形的性质得，根据点A、F、G三点共线得，根据四边形是矩形得，根据四边形是平行四边形得，根据可判定四边形是菱形，则，设，则，在中，由勾股定理得，计算得，即可得，在中，由勾股定理得，得，即可得，根据可判定，则计算，根据，即可得解：如图所示，过点C作，且，连接，则当点A、F、G三点共线时，有最小值，四边形是平行四边形，点A、F、G三点共线，四边形是矩形，四边形是平行四边形，四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，故答案

18、为：5【点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形的相似与判定，勾股定理，最短距离问题，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点，作辅助线，三点共线时两条线段的和最小148【分析】根据正方形的性质可得BCEAFB，从而得到，进而得到，然后设BE=x，则，可得，再由，可得，即可求解解：四边形为正方形， BCAD，BC=CD=AD=AB=2，BCAF，BCEAFB，即，设BE=x，则，即 ，故答案为：8【点拨】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的应用，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的性质是解题的关键15 10， 2.4

19、【分析】当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PAPBPCPD的值最小，根据勾股定理可得PAPBPCPD的最小值，即可判断；根据相似三角形的性质可得PABPDA，PABPADPDAPAD90，利用三角形内角和定理得出APD180（PDAPAD）90，同理可得APB90，那么BPD180，即B、P、D三点共线，根据三角形面积公式可得PA2.4，即可判断解：当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PAPBPCPD的值最小，根据勾股定理得，ACBD=5，所以PAPBPCPD的最小值为25=10；若PABPDA，则PABPDA，PABPADPDAPAD90，APD180（PDAPAD）90，同理可得AP

20、B90，那么BPD180，B、P、D三点共线，P是直角BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2.4故答案为：10；2.4【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键164【分析】过点C作于点E，交BD于点M，过点M作于N，则CE即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值解：过点C作于点E，交BD于点M，过点M作于NBD平分，于点E，于N当点M与M重合，点N与N重合时，有最小值ABC的面积为8，即的最小值为4故答案为：4【点拨】本题考查了线段的最值问题，掌握角平分线的性质、三角形的面积公式是解题

21、的关键17【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可；作点C关于直线AA的对称点E，交直线AA于点T，交直线BD于点O，则CE=4OC，利用等面积法求出OC即可；根据，当线段AB平移至B与D点重合，即：A，B，C三点共线时，即可判断；作D关于直线AA的对称点，连接交直线AA于点J，过点作，交CD延长线于E点，连接，交直线AA于点A，此时满足AC+BC的值最小，即为的长度，结合相似三角形的判定与性质求解即可解：由平移的性质可知：，由矩形的性质可知：，四边形为平行四边形，当点B与D重合时，四边形不存在，故错误；如图1所示，作点C关于直线AA的对称点E，交直线AA于点T，交直线BD于点O，则CE=4O

22、C，四边形ABCD为矩形，BCD=90，CD=AB=15，EC=412=48，故错误；由三角形三边关系可知：，如图2所示，当线段AB平移至B与D点重合，即：A，B，C三点共线时，最大值为15，故正确；如图2所示，由可知，作D关于直线AA的对称点，连接交直线AA于点J，过点作，交CD延长线于E点，连接，交直线AA于点A，此时满足AC+BC的值最小，即为的长度，由对称的性质可知：AJD=90，由平行的性质可知：BDJ=180-AJD=90，即：ADJ+ADB=90，ABD+ADB=90，ABD=ADJ，ABDJDA，即：，DJ=12，又，E=BAD=90，即：，由勾股定理：，故正确，故答案为：【点

23、拨】本题考查矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，理解并掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键182【分析】以为对称轴作的对称点，连接并延长交于，连，依据，可得当，三点共线时，取等于号，再求得，即可得出，再根据为等腰直角三角形，即可得到解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连，根据轴对称性质可知，当，三点共线时，正方形边长为，为中点，为中点，为等腰直角三角形，即的最大值为，故答案为：【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要

24、作点关于某直线的对称点19（1）；（2）当时，的最大值为8.【分析】（1）先利用互余的关系求得，再证明，根据对应边成比例即可求得答案；（2）设为，则，根据，求得，利用二次函数的最值问题即可解决解：（1）如图，可知，；（2）设为，则， （1）可得，当时，的最大值为8【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数等综合知识，根据线段比例来求线段的长是本题解题的基本思路20（1）ADE30，理由详见分析；（2）（1）中的结论成立，证明详见分析；（3）【分析】（1）利用SAS定理证明ABDACE，根据相似三角形的性质得到ADAE，CAEBAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证

25、明；（2）同（1）的证明方法相同；（3）证明ADFACD，根据相似三角形的性质得到AF，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值解：（1）ADE30理由如下：ABAC，BAC120，ABCACB30，ACMACB，ACMABC，在ABD和ACE中，ABDACE，ADAE，CAEBAD，DAEBAC120，ADE30；（2）（1）中的结论成立，证明：BAC120，ABAC，BACB30ACMACB，BACM30在ABD和ACE中，ABDACEADAE，BADCAECAE+DACBAD+DACBAC120即DAE120ADAE，ADEAED30；（3）ABAC，AB6，AC6，ADEA

26、CB30且DAFCAD，ADFACDAD2AFACAD26AF当AD最短时，AF最短、CF最长当ADBC时，AD最短，故AF最短、CF最长，此时【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键21（1）见分析；（2）见分析；【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得ADEBDF，从而得到BDFADE，即可求证；（2）先证得BDFADE，BDAE，可证得BDFADE，即可求证；连接EF，根据勾股定理可得BC5，根据三角形的面积可得AD，从而得到DC，再由ADBCAB，可得，再根据，可得到，从而得到EDFCAB，进而得到EF，

27、可得到当DE最小时，EF取最小值，即可求解解：证明：（1）如图1，连接AD，ABAC，BAC90，BDCD，ADBC，ADBDDC，BDAE45，ADBEDF90，ADBADFEDFADF，即ADEBDF，在BDF和ADE中，BDFADE（ASA），DEDF；（2）证明：ADBC，ADB90，ADBEDF，ADBADFEDFADF，即BDFADE，BAD+DAE90，BAD+B90，BDAE，BDFADE，DFDADBDE；解：如图2，连接EF，在RtABC中，BAC90，AC4，AB3，则BC5，AD，由勾股定理得：DC，BB，ADBCAB=90， ADBCAB，由可知，EDFCAB90，E

28、DFCAB，即，EF，当DE最小时，EF取最小值，当DEAC时，DE最小，此时，DE，EF的最小值为：【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键22（1）（0，1）（2）（1，1）；（，1）【分析】（1）根据相似三角形OAEOBA的对应边成比例得到，则易求OE=1，所以E（0，1）；（2）如图，连接EE在RtABO中，勾股定理得到AB2=（2-m）2+42=m2-4m+20，在RtBEE中，利用勾股定理得到BE2=EE2+BE2=m2+9，则AB2+BE2=2m2-4m+2

29、9=2（m-1）2+27所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E的坐标是（1，1）时，AB2+BE2取得最小值解：（1）如图，点A（-2，0），点B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90，OAEOBA，即，解得OE=1，点E的坐标为（0，1）；（2）如图，连接EE由题设知AA=m（0m2），则AO=2-m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2-m）2+42=m2-4m+20AEO是AEO沿x轴向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90，EE=m又BE=OB-OE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m2

30、-4m+29=2（m-1）2+27当m=1时，AB2+BE2可以取得最小值，此时，点E的坐标是（1，1）如图，过点A作ABx，并使AB=BE=3则ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA当点B、A、B在同一条直线上时，AB+BA最小，即此时AB+BE取得最小值则ABAOBA，AO=2，AA=2=，EE=AA=，点E的坐标是（，1）【点拨】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握23（1）见分析；（2）；（3）【分析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质，得，根据全等三角形的判定，即可；（2）过作的垂线，交的延长线于，

31、当，三点共线，根据勾股定理求出；根据，得，根据相似三角形的判定和性质，得，；设，则，根据勾股定理，求出；再根据，即可；（3）以为圆心，为半径作圆，延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得，得，根据当最小时，为、三点共线，再根据，即可解：（1）四边形是正方形，线段绕点逆时针旋转得，（2）过作的垂线，交的延长线于，是的中点，三点共线，设，在中，解得：，（舍），在中，（3）如图3，以为圆心，为半径作圆，延长到点，使得，连接，当最小时，为、三点共线，的最小值是【点拨】本题考查几何图形和动点的结合，正方形，全等三角形，相似三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相

32、似三角形的判定和性质，折叠的性质24（1）8，；（2）见分析；（3）当时，【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大（2）思路：分点P在线段与两种情况讨论：连接，只需证明，利用三点构成的平角为时处在同一条直线上即可证明（3），利用即可求解解：（1）如图2，由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合，由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：，则；（2）连接，连接交于点，则是等腰直角三角形如图2，当点在线段上时， 点在线段的延长线上 如图3，当点在线段上时，同理点在线段上综上所述，点在射线上上（3）如图2，设，正方形边长为8，即， 解得，当时，【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键灵活运用这些知识点