专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(解析版).docx

1、5.1 平面向量的概念及其线性运算思维导图知识点总结1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作ab.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba(

2、2)结合律：(ab)ca(bc)减法求两个向量差的运算aba(b)数乘规定实数与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘，记作a(1)|a|a|；(2)若a0，则当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；特别地，当0时，0a0；当a0时，00(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理设a为非零向量，如果有一个实数，使ba，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.常用结论1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则().2.(，为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则1.3.解决向量的概念问题要注意两

3、点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.典型例题分析考向一 平面向量的有关概念例1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A.ab B.abC.a2b D.ab且|a|b|答案C解析因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a2b时，故a2b是成立的充分条件.感悟提升平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量

4、与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.考向二 向量的线性运算角度1平面向量加、减运算的几何意义例2 (2023芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，ABBCCD3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则()A. B.C. D.答案A解析由题图，得().故选A.角度2向量的线性运算例3 在ABC中，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案A解析如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以.因为，所以，所以ab.角度3利用向量的线性运算求参数例4 在ABC中，AB2，BC3，ABC30，

5、AD为BC边上的高.若，则_.答案解析如图.AD为BC边上的高，ADBC.AB2，ABC30，BDBC，().又，故.感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.考向三 共线向量定理的应用例5 (1)(2022绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，4a6b，a3b，a3b，则()A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线答案D解析对于A，a3b(a3b)6b，与不共线，A不正确；对于B，4a6b，a3b，则

6、与不共线，B不正确；对于C，a3b，a3b，则与不共线，C不正确；对于D，4a6b(a3b)3a9b3，即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选D.(2)(2023山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x，y，则的值为()A.3 B.4 C.5 D.6答案A解析延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，G为ABC的重心，()().M，G，N三点共线，1，即3.故选A.感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量

7、共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线，共线.(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)(，为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则1.考向四 等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(，R)，则1，由OAB与OAB相似，必存在一个常数k，kR，使得k，则kkk，又xy(x，yR)，xyk()k；反之也成立.(2)平面内一组基底，及任一向量，(，R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.例 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为

8、120，如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_.答案2解析法一由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).其中A(1，0)，B，C(cos ，sin )，.则有(cos ，sin )x(1，0)y，即得xsin cos ，ysin ，xysin cos sin sin cos 2sin，其中0，所以(xy)max2，当且仅当时取得.法二如图，连接AB交OC于点D，设t，由于xy，所以t(xy).因为D，A，B三点在同一直线上，所以txty1，xy，由于|t|t，当ODAB时t取到最小值，当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1x

9、y2.故xy的最大值为2.法三(等和线法)连接AB，过C作直线lAB，则直线l为以，为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，定值最大，因为AOB120，所以，所以xy的最大值为2.基础题型训练一、单选题1下面给出的关系式中正确的个数是（）；A1B2C3D4【答案】B【解析】向量数乘仍是向量，故错误；由向量数量积的运算律，有正确；应用数量积的运算可证明、不成立，故错误【详解】错误，正确的是，向量数乘结果还是向量.正确，根据向量数量积运算可判断得出. 错误，故错误，综上，正确的个数为2故选：B【点睛】本题考查了向量的运算性质、数量积的运算律，判断正误2下列结论中，正确的是

10、（）A2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量B若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量C方向为北偏西50的向量与南偏东50的向量不可能是平行向量D一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移【答案】B【分析】根据单位向量的定义，向量的概念及共线向量的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由一个单位长度取作2020 cm时，2020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；根据单位向量的定义，在直线上有且仅有两个点使得为单位长度，所以B正确；方向为北偏西50的向量与南偏东50的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；

11、根据位移的定义，向量表示点到点的位移，所以D不正确.故选：B.3若(1，1)，2，且，则与的夹角是（）ABCD【答案】B【分析】由，求得，再利用平面向量的夹角公式求解.【详解】解：因为，所以，即，解得，所以，因为，所以，故选：B4若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据几何关系结合平面向量的线性运算可得，设，利用平面向量数量积的运算律即可求解.【详解】解：因为为等边三角形，是边的中点，故,又是线段上任意一点，故设，因为，所以.故,又,故.故选：C.5已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（）ABCD

12、【答案】D【分析】根据向量的减法法则画出，得到一个等腰直角三角形，求其结果即可.【详解】如图，则，设最小的小正方形网格长度为1，则，所以，所以三角形是等腰直角三角形，向量与的夹角为的补角.故选：D.6已知空间任一点和不共线的三点、，下列能得到、四点共面的是（）ABCD以上都不对【答案】B【分析】先证明出若且，则、四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设且，则，则，所以，、为共面向量，则、四点共面.对于A选项，、四点不共面；对于B选项，、四点共面；对于C选项，、四点不共面.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量判断四点共面，考查推理能力，属于中等题.二、多选题7若是直线l上的一个单位向量，这条

13、直线上的向量，则下列说法正确的是（）ABC与的夹角为D【答案】BC【分析】根据条件可得，进而可判断ABC，然后利用向量数量积的概念可判断D.【详解】因为，所以，故A错误，B正确，C正确；所以，故D错误.故选：BC.8对于两个向量和，下列命题中错误的是（）A若，满足，且与同向，则BCD【答案】ACD【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解.【详解】对于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A不正确；对于B中，由，又由，因为，所以成立，所以B正确；对于C中，所以C不正确；对于D中，所以，所以D不正确.故选：ACD.三、填空题9若向量，满足，

14、则与的夹角为_.【答案】【分析】由向量夹角公式直接求解即可.【详解】，夹角为，故答案为：.10在中，、分别是角A、的对边，则_.【答案】【分析】将已知向量等式两边平方，利用向量的数量积的运算法则运算化简，进而再开方求得答案.【详解】，故答案为：.11在中，且，则的最小值是_.【答案】【分析】计算出，利用二次函数的最值问题即可解出答案.【详解】，当时，所以.故答案为：.12已知向量，满足，若，则的最小值为_.【答案】/【分析】令，进而根据向量模的不等式关系得，且，再求向量的模，并结合二次函数性质即可得答案.【详解】设，则，所以，由二次函数性质可得，即：所以， 所以的最小值为故答案为： .四、解答

15、题13运用数量积知识证明下列几何命题：(1)在中，则；(2)在矩形ABCD中，ACBD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)证明：由题得,因为，所以,所以，所以.(2)证明；因为矩形ABCD，所以，同理,因为,所以,所以ACBD.14如图所示，中，边上的中线交于点，设，用向量表示.【答案】，；，.【解析】利用平行线以及三角形相似，先找出线段间的关系，再结合图象得到向量间的关系【详解】解析因为，所以.由，得.又是的底边的中点，所以，.【点睛】本题考查向量的几何表示，三角形相似的性质，向量的加减法，体现了数形结合的数学思想属于基础题.15已知，且与的夹角为，又，(1)求在方向

16、上的投影；(2)求【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据在方向上的投影为计算即可得解；（2）根据向量的线性运算求出，再根据向量的模的计算公式结合数量积的运算律即可得出答案.(1)解：因为，且与的夹角为，所以在方向上的投影为；(2)解：因为，所以，则，即.16平面内给定三个向量，且(1)求实数k关于n的表达式；(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；（2）由向量的运算得出，再由三点共线，得出，再由基本不等式求最值.【详解】（1）因为，所以，即.（2）由（1

17、）可知，由题意可知因为，所以又，所以.因为三点共线，所以.当且仅当时，取等号，即时，取最小值.提升题型训练一、单选题1已知是互相垂直的单位向量，若，则（）ABC0D2【答案】A【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.【详解】故选：A2如图，四边形中，则相等的向量是（）A与B与C与D与【答案】D【分析】判断出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选项【详解】因为在四边形中，则四边形为平行四边形，故，故选：D3下列命题正确的是ABCD【答案】C【详解】试题分析：由题；A.，错误；向量的模长相等，但方向不同；B，错误；向量是有方向的，不能比大小；D，错误；向量相等，则

18、模长相等，方向相同而共线则方可相反C，正确；符合零向量的定义考点：向量的概念4对于非零向量，定义若，则（）ABCD【答案】B【分析】根据定理可得，然后利用向量模的计算求出，代入即可求解.【详解】，由可得，两式相减得，故选：B.5设向量，满足，则的取值范围是（）A ，)B ，)C，6D，6【答案】B【分析】由复数的数量积与模的关系将转化为数量积，再利用数量积的定义化简求最值.【详解】，当t1时取等号故选：B.6已知，则的最大值等于（）A4BCD5【答案】C【分析】利用基本不等式得到，然后利用平面向量数量积运算求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数

19、量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.二、多选题7有如下命题，其中真命题为（）A若幂函数的图象过点，则B函数（且）的图象恒过定点C函数在上单调递减D已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量是【答案】BD【分析】A 选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B选项，根据指数函数恒过定点即可得到；C选项，根据二次函数的单调性可以判断；D选项，由投影向量知识可算得.【详解】对A选项，设幂函数的解析式为，因为幂函数的图像经过点，即，解得，则，故A选项错误；对B选项，函数的图象恒过定点，故B选项正确；对C选项，函数在上单调递增，故C选项错误；对D选项，在方向上的投影向量,故D选项正确.故选

20、：BD.8下列命题中假命题的是（）A向量与向量共线，则存在实数使B，为单位向量，其夹角为，若，则C若，则D已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.【答案】ACD【分析】A.根据共线向量定理进行分析判断即可；B.将左右同时平方，由此求解出的取值范围，则范围可求；C.考虑零向量存在的情况；D.根据，同时注意排除两向量同向时的情况.【详解】A.根据共线向量定理可知，此时，故错误；B.因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故正确；C.当中有零向量时，此时，因为零向量方向是任意的，所以不一定满足，故错误；D.因为向量与的夹角为锐角，所以，所以，即，且与不同向，当向量与共线

21、时，设，所以，所以，显然时，与同向，综上可知，的取值范围是，故错误；故选：ACD.三、填空题9下列向量中，与一定共线的有_（填序号），；，；，【答案】【解析】根据平面向量共线定理判断即可.【详解】中，；中，；中，；中，当不共线时，.故答案为：【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题.10已知向量，满足，且，则与的夹角为_.【答案】【分析】根据向量垂直，数量积为零，再由数量积的定义可求.【详解】,，即，又，.故答案为：.【点睛】本题考查向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题.11已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_.【答案】【解析】首先根据，求得，由此利用夹角公式计算出向量

22、与的夹角的余弦值，由此求得向量与的夹角.【详解】由两边平方并化简得，即，即.所以，由于，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.12已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，则_【答案】【分析】利用向量的三角形法则和共线向量定理即可得出【详解】由向量的三角形法则可得： 故答案为【点睛】熟练掌握向量的三角形法则和共线向量定理是解题的关键四、解答题13如图，网格小正方形的边长均为1，求.【答案】.【分析】根据向量加法的三角形法则即可得出结果.【详解】解：如图，作，则根据向量加法的三角形法则可得，即.14如图，按下

23、列要求作答(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；(3)若为单位向量，求、和【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)，【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，；由共线向量的加法运算可知；利用图示的向量和勾股定理可知，.15已知，（1）求向量与的夹角；（2）

24、求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据向量的运算性质化简求出，利用向量夹角公式求解即可；（2）根据向量的运算法则先计算，即可求解.【详解】，即，；，又，；，16如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设.(1)计算的大小；(2)是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据题意结合平面向量的数量积及模长运算求解；（2）根据题意可得，结合垂直关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：，故.（2）存在，由（1）可得：若向量，即，与向量垂直，则，解得.