专题5.17 平行线的性质（题型分类拓展）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docx

1、专题5.17 平行线的性质（题型分类拓展）【题型分类目录】【题型1】旋转问题； 【题型2】平行线上的动点问题；【题型3】最值问题； 【题型4】折叠与重合问题.一、 单选题【题型1】旋转问题1（2023下广东珠海七年级校考期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论：；随着的交化而变化；当时，则或；当时，一定垂直于其中正确的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个2（2022下吉林长春七年级统考期末）如图，在ABC中，如图，将图中的边CB边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置 ，得到线段在整个旋转的过程中，若，则的大小为（）A73 B

2、107 C73或107 D42或1073（2021下重庆七年级西南大学附中校考期中）如图，OAB为等腰直角三角形（AB45，AOB90），OCD为等边三角形（CDCOD60），满足OCOA，OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为（0360），下列说法错误的是（）A当15时，DCABB当OCAB时，45C当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15D整个旋转过程，共有10个位置使得OAB与OCD有一条边平行【题型2】平行线上的动点问题4（2023下重庆渝中七年级重庆市求精中学校校考期末）如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），、

3、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：；当时，；当点P运动时,的数量关系不变其中正确结论有（）个A1 B2 C3 D45（2020下河北唐山七年级统考期中）如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（）A向左移动变小 B向右移动变小 C始终不变 D无法确定6（2022下四川绵阳七年级统考期末）如图，点A，B两点分别是两边OM，ON上的动点过点B作OA的平行线与的平分线AC交于点C，若，则下列结论一定成立的是（）A BCCO平分 D【题型3】最值问题7（2022湖北荆州统考一模）一副三角尺的位置如右图所示，其中三角尺ADE绕点A逆时针旋转度，使它的某一边与BC平行，则

4、的最小值是（）A15 B30C60 D1508（2021下安徽合肥八年级统考期末）如图，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，则BD的最小值为（）A2 B3 C4 D5【题型4】折叠与重合问题9（2023下山东菏泽七年级统考期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点，若，则的度数为（）A B C D10（2021下福建漳州七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：； ， 其中正确的结论有（）A B C D11（2023下河北沧州七年级校考阶段练习）如下图，一张长方形纸片，分别在边，上取点M

5、，N，沿折叠纸片，与交于点K，若，则的度数为（）A B C D二、 填空题【题型1】旋转问题12（2023上黑龙江大庆八年级大庆一中校考期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，固定的位置不变，将沿方向平移至点F正好落在直线上，再将绕点F顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过t秒时，线段与的一条边平行，则t的值 13（2023下浙江杭州七年级校考阶段练习）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒

6、时，14（2023下河南信阳七年级校联考阶段练习）大宋东京梦华选择在清明上河园皇家园林区的景龙湖上实景演出，充分利用了亭台楼榭、水榭桥廊，构成了一个完整的古典实景剧场剧场灯光由位于点和点的两盏激光灯控制如图，光线与灯带的夹角，点的激光灯发出的光线以10度/秒的速度绕点从边顺时针旋转，设时间为，在光线转动一周的时间内，当时间的值为 s时， 【题型2】平行线上的动点问题15（2023上黑龙江哈尔滨七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，在上、在上，连接，线段上有一动点，作，在左侧，连接、，作的角平分线，满足，若，则的度数为 16（2023下河南新乡七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别

7、在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 17（2023下河北承德七年级统考期末）如图直线在上，为上动点，过作的角平分线交与，若（1）时， （2） ，；（3）写出数量关系： 【题型3】最值问题18（2023下陕西西安七年级校考期中）已知：如图，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是 19（2022下山东聊城七年级统考期末）如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 20（2023下湖南郴州七年级统考期末）如图，直线，且a，b之间相距点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则

8、在Q点的运动过程中，线段的最小值是 【题型4】折叠与重合问题21（2021下湖北武汉七年级统考期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 22（2023下河南平顶山七年级统考期末）如图，把一张两边平行的纸条沿着折叠，若，则的度数是 23（2023下福建宁德七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 三、 解答题【题型1】旋转问题24（2023下四川宜宾七年级统考期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕

9、点P逆时针旋转（1）如图， 度；（2）如图，三角板不动，三角板从图示位置开始绕点P按逆时针方向旋转一周，旋转过程中，当时，旋转角为多少度？（3）如图，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速/秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速/秒（转到与重合时，两三角板都停止转动）问：两个三角板旋转过程中，是否为定值? 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由25（2023下贵州遵义七年级校考阶段练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若

10、转动的速度是/秒，转动的速度是/秒，且、满足，假定主道路是平行的，即，且（1）求和的值，并求的度数（2）若灯先转动30秒，灯A才开始转动，在灯到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由 【题型2】平行线上的动点问题26（2023上吉林长春七年级统考期末）如图，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点【感知】如图，当点在线段左侧时，若，求的度数分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两

11、条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点作，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知，进而求出的度数【探究】如图，当点在线段右侧时，、之间的数量关系为_ 27（2023上河南南阳七年级校考期末）如图，已知点P是射线上一动点（与点A不重合）， 的角平分线分别交射线于点C，D（1）的度数是_；，_；（2）求的度数；（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系；若变化，请写出变化规律（4）当点P运动到使时，的度数是_【题型3】最值问题28（2023下湖南长沙七年级统考期末）将一块三角板（，）按如图所示放置在锐角内，使直角边落在边上，记，现

12、将三角板绕点B逆时针以每秒的速度旋转t秒（直角边旋转到如图所示的位置，且点A始终在内），过点A作交射线于点M，平分交射线于点D，其中m的值满足使代数式取得最小值（1）m的值为_；（2）当秒时，求的度数；（3）在某一时刻，当时，试探求与之间的数量关系29（2021下山东烟台七年级统考期中）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD（1）当时，有最小值，求m的值；（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；（3）当（

13、m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系 【题型4】折叠与重合问题30（2023下河南郑州七年级统考期末）综合与实践问题背景：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，点为线段上一动点，将纸片折叠，使点B和点重合，产生折痕，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点动手操作：（1）如图1，若点E与点A重合时，则的度数为_实践探究：（2）如图2，移动点，其余条件不变小静发现图中无论点如何移动，始终成立，请说明理由；小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若，求的大小31（2022下浙江台州七年级统考期末）如图1，有一张

14、四边形ABCD纸片，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P（1）求证：GEAHFB；（2）如图2，D70，猜想当EFC多少度时，并说明理由参考答案：1A【分析】依据，可得；依据，即可得到；画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，；画出图形，根据，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系解：，；故正确，是定值；故错误如图1所示，当时，如图2所示，当时，当时，则或；故错误设，则如图由（1）可知，解得：，即，；如图由（1）得：，此时或；故错误综上所述：只有正确，所以正确的个数有个故选：A【点拨】本题考查了旋转的

15、性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键2C【分析】分两种情况画出图形求解即可解：如图，如图，综上所述：或73故选：C【点拨】本题主要考查了旋转的性质，以及平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键3B【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当15时，可得OMNA60，可证DCAB；当OCAB时，A90，可得30；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又

16、是平行的，所以可以得到10不同的位置解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当15时，OMNA60，OMNC，DCAB，故A说法正确，不符合题意；当OCAB时，A90或18090A，45或225，故B说法错误，符合题意；当边OB与边OD在同一直线上时，此时，；当边OB与边OD在同一直线且不重合时，此时，故C说法正确，不符合题意；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D说法正确不符合题意，故选B【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的

17、定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解4C【分析】根据,可以得知，；由于分别平分,可知，.解：，和为内错角，正确；，又为角平分线，正确；，又，即,错误；,又为的角平分线，正确；故选：C.【点拨】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，记住基本的结论，此类题目便可迎刃而解.5C【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到的距离不变，因此三角形的面积不变解：直线，点P是直线上一个动点，无论点P怎么移动，点P到的距离不变，的底不变，高不变，面积也不变，故选：C【点拨】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键6C【分析】根据平行线的性质可得MACACB，再根据可求出ACO

18、BCO，问题得解解：OABC，MACACB，ACBACOBCO，ACOBCO，即CO平分，而，均无法得出，故选：C【点拨】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键7A【分析】当ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，利用平行线的性质即可求解解：当ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，如图：AEBC，C=CAE=60，DAE=45，CAD=CAE-DAE=15，则的最小值是15，故选：A【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键8A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BDAC时，B

19、D有最小值，根据题意求解即可解：由题意可知当BDAC时，BD有最小值，此时，AD=CD，ABC=90，BD=AD=BD=AC=2，BD的最小值为2故选：A【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解9A【分析】由折叠的性质可得，利用平行线的性质可得，则可求得，可求得，即可求的度数解：由题意得：，故选：A【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等10D【分析】根据平行线的性质，以及折叠的性质即可判断，根据平行线的性质可得，即可判断，根据平行线的性质可得，根据对等角相等可得，即可判断，根据平行线的性质得出，根据邻

20、补角的定义，即可判断，根据折叠的性质即可判断解：折叠，故正确；又，故正确又，故正确，,又，故正确；根据折叠的性质可得，故正确，故选：D【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，邻补角的定义，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键11A【分析】依据平行线的性质，即可得出，再根据折叠可得，最后依据进行计算即可解：如图所示：纸片是长方形，由折叠可得，故选：A【点拨】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解答此题的关键12或或【分析】本题考查了平行线的性质分类讨论、三种情况，根据平行线的性质确定旋转角的大小即可求解解：当时，如图所示：秒当时，如图所示：，秒当时，如图所示：秒综上所述：

21、t的值为或或13或或【分析】分三种情况：当时，当时，当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间解：当时，如图，则，即，解得，（）；当时，如图，则，即，解得，（）；当时，如图，则，即，解得，（）；综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，故答案为：或或【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题1413或31/31或13【分析】分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可解：当时，当点在点的右侧时，则：，；当点在点的左侧时，则：绕点旋转了，；综上：的值为13或31；故答案为：13或31【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是理清题

22、意，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解15/4度【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线性质，根据题意得和，由即可求得答案解：，平分，则，解得故答案为：16或【分析】分两种情况讨论，当点，在同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可解：分两种情况讨论：如图1，过点，分别作，的平分线与的平分线交于点，同理可得；如图2，过点，分别作，的平分线与的平分线交于点，同可得 综上所述，的度数为或故答案为：或【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，利用分类讨论的思想求解问题17 （变形式也正确）【分析】（1）证明，可得，结合角平分线的定

23、义可得答案；（2）证明，再利用平行线的性质可得答案；（3）由（1）得：，可得，再利用平行线的性质可得答案解：（1），过作的角平分线交与，故答案为：（2）当时，故答案为：（3）由（1）可得：，故答案为：【点拨】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解本题的关键18【分析】当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，根据，求出最小值，即可求解解：，当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，解得：，的最大值与最小值的差是，故答案为：【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；垂线段最

24、短194【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可解：当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之间的距离为4cm，的最小值是4cm，故答案为：4【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键208【分析】根据垂线段最短进行求解即可解：直线，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，根据垂线段最短可知，在运动过程中，当时，线段有最小值，a，b之间相距，线段的最小值为，故答案为：8【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是

25、本题的关键21【分析】先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得解：，即，由折叠可得：，故大为：72【点拨】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到角相等是解题的关键22/50度【分析】根据题意，得，结合，代入计算即可解：如图，根据题意，得，解得故答案为：50【点拨】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键2377【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案解：如图：折叠，彩带两边平行，折叠，彩带两边平行，故答案为：77【点拨】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键24（1）；（2）或

26、；（3）【分析】（1）利用含有、的三角板得出，进而求出即可；（2）分情况画出图形，利用平行线的性质可求解；（3）设运动时间为t秒，则，得出，则，可得出答案（1）解：，故答案为：；（2）解：分两种情况：如图，三角板绕点逆时针旋转的角度为；如图，三角板绕点逆时针旋转的角度为；（3）解：为定值理由如下：设运动时间为秒，则，【点拨】此题主要考查了角的计算，旋转及平行线的性质，利用数形结合得出等式是解题的关键25（1），；（2）秒时，两灯的光束互相平行；（3）和关系不会变化，理由见分析【分析】（1）根据的非负性求a，b；根据，即可得到的度数；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，易证，即可列出，可得

27、；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，即可得出，据此可得和关系不会变化（1）解：，解得，；（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，解得，答：当秒时，两灯的光束互相平行；（3）解：和关系不会变化理由：设灯A射线转动时间为t秒，又，而，和关系不会变化【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补26感知：探究：【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键感知：过点作，根据猪脚模型，即可解答；探究：过点作，根据铅笔模型，即可解答解：感

28、知：解：过点作，的度数为；探究：解：过点作，故答案为：27（1）；（2）；（3），理由见分析；（4）【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等：（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；（2）由角平分线的定义可以证明，即可求出结果；（3）不变，证，即可推出结论；（4）可先证明，由（2），可推出，可得，即可求出的度数（1）解：，；，故答案为：；（2）解：，平分，平分，；（3）解：，理由如下：，平分，；（4）解：，当时，则有，由（2），故答案为：28（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据绝对值的非负性可得当，的值最小，从而可

29、得当时，代数式有最小值，即可解答；（2）当时，先利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用角的和差关系，进行计算即可解答；（3）先利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质，进行计算即可解答（1）解：，当，即时，|的值最小，当时，代数式有最小值，m的值为10；故答案为：10（2）当时，的度数为；（3）与之间的数量关系是：，理由：，平分，与之间的数量关系是：【点拨】本题考查了平行线的性质，绝对值的非负性，以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键29（1）10；（2），见分析；（3）或【分

30、析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当tm时，过P在AE上，过点P作PHab，根据平行线的性质可得结论；（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论解：（1）当点P与E不重合时，在中，当点P与E重合时，此时最小， 故时，值最小；（2），理由如下：如图，当即时，点P在AE上，过点P作，；（3）当mt15即10t15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：又ab，PHab，PCM+CPH180，PDA+DPH180，PCM+CPH+PDA+DPH

31、360，又CPDCPH+DPH，PCM+CPD+PDA360，即当10t15时，PCM+CPD+PDA360；当t15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：又ab，PGab，PCM+CPG180，PDA+DPG180，CPG180PCM， DPG180PDA，又CPDDPGCPG，CPD（180PDA）（180PCM）180PDA180PCMPCMPDA，PCMCPD+PDA综上所述，当t10时，PCM+CPD+PDA360或PCMCPD+PDA【点拨】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键30（1）；（2）理由见分析；【分析】

32、（1）根据折叠的性质，再结合平行的性质可得答案；（2）根据平行线的性质可得答案；利用角的和差关系、折叠的性质可得，再由平行线的性质可得答案解：（1）根据折叠的性质可得，点E与点A重合，即：，又，故答案为：；（2），由知，由折叠可知，又，即，又，【点拨】此题考查的是平行线的性质，折叠的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键31（1）见分析；（2），理由见分析【分析】（1）根据可得，进而可得，而，由等量代换可得结论；（2）由翻折前后对应角的大小不变的性质可得GD70，当EFC35，可得HFC70，进而可得HPEHFC70，又因为，可得GEP110，由GGEP180可得结论（1）解：四边形ABCD沿EF折叠，GEAEPF，又，EPFHFB，GEAHFB；（2）当EFC35时，四边形ABCD沿EF折叠，GD70，HFEEFC35，HFC70，又，HPEHFC70，GEP110，GGEP180，【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键