专题5.22 平面直角坐标系背景下面积问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题5.22 平面直角坐标系背景下面积问题（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】已知点的坐标求图形面积【考点一】三角形有一边在坐标轴上【例1】（2021秋全国八年级专题练习）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）求这个四边形的面积 【答案】【分析】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，根据S四边形ABCO=S矩形OHEFSABHSCBESOCF结合三角形面积公式解题解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，则E（5，3），A（3，0），B（5，2），C（2，3）,所以S四边形ABCO=S矩形OHEFSABHSCBESOCF=5322

2、1332= 【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，会运用面积的和差计算不规则图形的面积【举一反三】【变式1】（2021秋八年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出ABC的面积 【答案】2【分析】首先根据题意求出AB的长度和AB边上的高的长度，然后根据三角形面积公式求解即可解：作CDx轴，垂足为点D A(- 5，0)，B(- 3，0)，C(-1，2)， OA=5，OB=3，CD=2， AB=OA-OB=5-3=2 SABC=ABCD=22=2【点拨】此题考查了网格中三角形面积的求法

3、，解题的关键是根据题意求出AB的长度和AB边上的高【变式2】（2021秋全国八年级专题练习）已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD的面积 【答案】42【分析】把原图形分解成一个三角形加一个梯形加一个三角形，再利用面积公式即可求解解：过点C作CFx轴于点F，过D作DEx轴于点E则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5【点拨】本题考查平面直角坐标系下的不规则图形面积计算，灵活拆解不规则图形是解题关键【考点二】三角形有一边平行于坐标轴【例2】（2023春北京朝阳七年级校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中有三点A（2，1）、B（3，1）C（2，3），请回

4、答如下问题：（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置；（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积 【答案】（1）5【分析】（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出点A，B，C的位置；（2）将AB看成底边，则C到AB的距离为高，根据图象得出高为2，再用三角形的面积公式即可得出三角形ABC的面积解：（1）A，B，C的位置如图所示， （2）以AB 为底边，则C到AB的距离为AB边上的高，A（-2，1），B（3，1），AB=3-（-2）=5，由图可知C到AB的距离为2，三角形ABC的面积为5 【点拨】本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能恰当的找到三角形ABC的

5、底边和高【举一反三】【变式1】（2022春黑龙江牡丹江七年级校考期末）如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：0 （1）求a，b，c的值（2）求ABC的面积（3）是否存在点P（x，2x），使BCP的面积为AOB的面积的两倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)a，b，c的值分别为2，3，4；(2)ABC的面积为6；(3)存在，点P的坐标为（0，0），（6，12）【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a,b,c的值；（2）由点A、B、C的坐标可得ABC的面积；（3）设存在点P（x，2

6、x），使BCP的面积为AOB的面积的两倍，根据面积列出方程，解方程即可（1）解：，（2）A（0，2），B（3，0），C（3，4）；（3）设存在点P（x，2x），使BCP的面积为AOB的面积的两倍，即，解得或，P的坐标为（0,0），（6,12）【点拨】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键【变式2】（2023秋八年级单元测试）如图，已知四边形（1）分别写出点的坐标；（2）试求四边形的面积（网格中每个小正方形的边长均为1）【答案】(1),； (2)【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；（2）首先把四边形 分割成规则图形，再求其面积

7、和即可解：（1）,（2）【点拨】此题主要考查了点的坐标，以及求不规则图形的面积，关键是把不规则的图形正确的分割成规则图形【考点三】三角形没有一边平行于坐标轴【例3】（2022春重庆荣昌七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（5，1），C（2，3）（1）在图中画出ABC关于y轴对称的A1B1C1，并直接写出点A1 ，B1 ，C1 的坐标（2）求ABC的面积【答案】(1)图见详解，（3，3），（5，1），（2，3）；(2) 11【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可 （1）解：（

8、1）如图，A1B1C1即为所求并直接写出点A1 （3，3），B1 （5，1），C1 （2，3）故答案为：（3，3），（5，1），（2，3）； （2）解：SABC67-65227411【点拨】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积【举一反三】【变式1】（2022秋江苏八年级专题练习）中，A、B、C三点坐标分别为、（1）求的面积；（2）若B、C点坐标不变，A点坐标变为，则的面积为_【答案】（1）；（2）8【分析】（1）分别过点作的垂线交于两点，并反向延长，交于点，则的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解；（2）分别过点作

9、的垂线，分别相交于点，则的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解解：（1）分别过点作的垂线交于两点，并反向延长，交于点，如下图： 则：、由图形可得：所以，（2）分别过点作的垂线，分别相交于点，如下图： 则：、由图形可得：所以，【点拨】此题考查了平面直角坐标系的应用，割补法求解三角形面积，解题的关键是根据直角坐标系的性质构造出矩形求解三角形面积【变式2】（2021秋辽宁沈阳八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，ABC的三个顶点都在格点上（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）图中线段BC的长为 ；（3）ABC的面积为 ；（4）点P在y轴

10、上，且ABP的面积等于ABC的面积，则点P的坐标为 【答案】（1）A（3，4），B（0，2）；（2）；（3）；（4）（0，）或（0，）【分析】（1）根据点的位置直接写出坐标；（2）利用勾股定理结合点的坐标计算；（3）利用割补法计算即可；（4）根据ABC的面积得到ABP的面积，再设P（0，a），根据三角形面积公式列出方程，解之即可解：（1）由图可知：A（3，4），B（0，2）；（2）BC=；（3）SABC=；（4）由题意可得：SABP=，点P在y轴，则设P（0，a），解得：或，点P的坐标为（0，）或（0，） 【知识点2】已知图形面积求点的坐标【考点四】由图形的面积求点的坐标【例4】（2022秋新

11、疆塔城七年级塔城地区第二中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+=0（1）填空：_，_；（2）若在第三象限内有一点M（-2，m），请用含m的式子表示ABM的面积；（3）在（2）条件下，当时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由 【答案】(1)-1，3；(2)-2m； (3)存在，P（7，0）【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）先根据（2）计算，根据=列方程求解可得（1）解：|a+1|+=0，a+1=0且b-3=0，解得：a=-1，b=3

12、，故答案为：-1，3；（2）解：过点M作MNx轴于点N， 由（1）得：A（-1，0），B（3，0），AB=1+3=4，又点M（-2，m）在第三象限，MN=|m|=-m，=ABMN=4（-m）=-2m；（3）解：当m=-时，M（-2，-），=-2（-）=3，=PB，由题意得PB=3，解得PB=4，P不与A重合P（7，0）【点拨】本题主要考查非负数的性质，坐标与图形的性质，第3问根据题意建立方程是解题的关键【举一反三】【变式1】（2023春湖北荆州七年级统考期末）如图，已知， （1）求点C到x轴的距离；（2）求的面积；（3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标【答案】(1)3； (2

13、)18； (3)或【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P的坐标为，根据ABP的面积为6，整理得，所以或，即可解答（1）解：，点C到x轴的距离为3；（2）解：，点C到边的距离为：，的面积为：（3）解：设点P的坐标为，的面积为6，或，P点的坐标为或【点拨】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是利用数形结合的思想【变式2】（2023春广东湛江七年级校考期中）已知，点且点A在x轴上，（1）A点的坐标为 （2）若点C坐标为，求的面积（3）在（2）的条件下，若点P为y轴上一动点，且的

14、面积为5，求点P的坐标 【答案】(1)；(2)2；(3)或【分析】（1）由点A在x轴上可得其纵坐标为0，求出a即可得到答案；（2）根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意可求出，再分两种情况：当点P在y轴正半轴时，当点P在y轴负半轴时，结合图形解答即可解：（1）点，且点A在x轴上，点A的坐标为，故答案为：；（2）由（1）可知，点A的坐标为，点C坐标为，的面积；（3）的面积为5，即，解得：，分两种情况：当点P在y轴正半轴时，如图1， 则，点P的坐标为；当点P在y轴负半轴时，如图2， 则，点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或【点拨】本题考查了坐标与图形以及三角形的面积，正确分类、得出相应点的坐标是解题关键