专题50 三角形相似-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题50 三角形相似一、相似三角形的判定与性质的综合运用【典例】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且MAN45，则下列结论：MNBM+DN；AEFBEM；AFAM=22；FMC是等腰三角形其中正确的是 （填写正确序号）【解答】解：将ABM绕点A逆时针旋转90至ADM，MANDAN+MAB45，AMAM，BMDM，MANMAN45，ANAN，AMNAMN（SAS），MNNM，MNMD+DNBM+DN，MNBM+DN；故正确；FDM135，MAN45，M+AFD180，AFE+AFD180，AFEM

2、，AMBM，AMBAFE，EAFEBM45，AEFBEM，故正确；AEBE=EFEM，即AEEF=BEEM，AEBMEF，AEBFEM，EMFABE45，AFM是等腰直角三角形，AFAM=22；故正确；在ADF与CDF中，AD=DCADF=CDF=45DF=DF，ADFCDF（SAS），AFCF，AFMF，FMFC，FMC是等腰三角形，故正确；故答案为：【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CEDF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM有如下结论：AEBF；AN=24AD；ADFGMF；SANF=19SABC，上述结

3、论中，正确的是（）ABCD【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADABCDBC，CDEDAF90，CEDF，DCE+CDFADF+CDF90，ADFDCE，在ADF与DCE中，DAF=CDEAD=CDADF=DCE，ADFDCE（ASA），DEAF，ADDEBCAF，即AEBF，故正确；ABCD，AFCD=ANCN，AF：FB1：2，AF：ABAF：CD1：3，ANCN=13，ANAC=14，AC=2AD，AN=24AD；故正确；作GHCE于H，设AFDEa，BF2a，则ABCDBC3a，EC=10a，由CMDCDE，可得CM=91010a，由GHCCDE，可得CH=91020a，CHMH=1

4、2CM，GHCM，GMGC，GMHGCH，FMG+GMH90，DCE+GCM90，FMGDCE，ADFDCE，ADFGMF；故正确，设ANF的面积为m，AFCD，AFCD=FNDN=13，AFNCDN，ADN的面积为3m，DCN的面积为9m，ADC的面积ABC的面积12m，SANF：SABC1：12，故错误，故选：C二、反比例函数中的相似应用【典例】如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E连接DE若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则K 【解答】解：过点E作EGOA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF

5、、EF、BF，如图所示：则BDEFDE，BDFD，BEFE，DFEDBE90易证ADFGFEAFEG=DFFE，AF：EGBD：BE，A（8，0），B（8，4），C（0，4），ABOCEG4，OABC8，D、E在反比例函数y=kx的图象上，E（k4，4）、D（8，-k8）OGEC=-k4，AD=-k8，BD4+k8，BE8+k4，BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG，AF=12EG2，在RtADF中，由勾股定理：AD2+AF2DF2即：（-k8）2+22（4+k8）2解得：k12故答案为：12【巩固】如图，已知动点A在函数y=4x(x0)的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C

6、，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF4EM时，图中阴影部分的面积等于 【解答】解：作DFy轴于点D，EGx轴于G，GEMDNF，NF4EM，DFGM=NFEM=4，设GMt，则DF4t，A（4t，1t），由ACAF，AEAB，AF4t，AE=1t，EG=1t，AEFGME，AF：EGAE：GM，即4t：1t=1t：t，即4t2=1t2，t2=12，图中阴影部分的面积=90(4t)2360+90(1t)2360=2+122.5，故答案为：2.5三、二次函数中的相似问题【典例】如图1，在平面直角坐标

7、系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（2，0），C（6，0）（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PDAC于点E，交x轴于点D，过点P作PGAB交AC于点F，交x轴于点G设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若PDG的面积为4912，求点P的坐标；设M为直线AP上一动点，连接OM，直线OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写

8、出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点B（2，0），C（6，0）设交点式ya（x+2）（x6）抛物线过点A（0，6）12a6a=-12抛物线解析式为y=-12（x+2）（x6）=-12x2+2x+6=-12（x2）2+8抛物线对称轴为直线x2（2）过点P作PHx轴于点H，如图1PHD90点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧2m6，PHn=-12m2+2m+6，n0OAOC6，AOC90ACO45PDAC于点ECED90CDE90ACO45DHPHnPGABPGHABOPGHABOPHAO=GHBOGH=BOPHAO=2PH6

9、=13ndDHGHn-13n=23n=23（-12m2+2m+6）=-13m2+43m+4（2m6）（3）SPDG=12DGPH=49121223nn=4912解得：n1=72，n2=-72（舍去）-12m2+2m+6=72解得：m11（舍去），m25点P坐标为（5，72）在抛物线上存在点R，使得ARS为等腰直角三角形设直线AP解析式为ykx+6把点P代入得：5k+6=72k=-12直线AP：y=-12x+6i）若RAS90，且S在线段AC上，如图2直线AC解析式为yx+6直线AR解析式为yx+6y=x+6y=-12x2+2x+6 解得：x1=0y1=6（即点A）x2=2y2=8R（2，8）A

10、SROAC45RSy轴xSxR2S（2，4）直线OM：y2xy=2xy=-12x+6 解得：x=125y=245M（125，245），同理，若S在CA的延长线上，R（2，8），S（2，8）直线OM：y4xy=-4xy=-12x+6，解得：x=-127y=487M（-127，487）；ii）若ASR90，如图4SARACO45ARx轴R（4，6）S在AR的垂直平分线上S（2，4）M（125，245）iii）若ARS90，如图5SARACO45，RSy轴ARx轴R（4，6）S（4，2）直线OM：y=12xy=12xy=-12x+6 解得：x=6y=3M（6，3）综上所述，M1（125，245），R

11、1（2，8）；M2（-127，487），R2（2，8）；M3（125，245），R3（4，6）；M4（6，3），R4（4，6）【巩固】如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点当QAB的面积等于PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；在的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x-73交直线l于点F，点G在直线y=13x-73上，

12、且AGAQ时，请直接写出GF的长【解答】解（1）由题意得，c=3，-9+3b+c=0，b2，yx2+2x+3（x1）2+4，P（1，4）（2）如图1，作CEPD于E，C （0，3），B （3，0），直线BC：yx+3，D（1，2），可设Q（a，3a），CEPEDE，PCD是等腰直角三角形，SPCD=12PDCE=12211，12AB|3a|2，124|3a|2，a2或a4Q（2，1）或（4，1）如图2，设G（m，13m-73），由AG2AQ2得，（m+1）2+(13m-73)2=（2+1）2+12，化简，得5m2+2m160，m12，m2=85，G1（2，3），G2（85，-95），作QHAB

13、于H，AQQF，AHQQHM，QH2AHHM，即：123HM，HM=13，M（73，0），设直线QM是：ykx+b，2k+b=173k+b=0，k3，b7，y3x+7，由y=-3x+7y=13x-73得，x=145，y=-75F（145，-75）G1F=(145+2)2+(3-75)2=8510，G2F=(145-85)2+(95-75)2=2510巩固练习1如图，在ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF2FC，AD与EF交于点G，则SAEGS四边形DCFG=（）A3：7B4：9C5：11D6：13【解答】解：连接DE，如图，AF2FC，则AF=23AC，D、E分别为BC，AB

14、中点，DE为ABC的中位线，DEAC，DE=12AC，DEAF，DGAG=EGGF=DEAF=12AC23AC=34，设SDEG3x，则SAEG4x，SAEGSAGF=EGGF=34，SAGF=163x，AEBE，SABD2SADE2（3x+4x）14x，BDCD，SADCSABD14x，S四边形CDGF14x-163x=263x，SAEGS四边形DCFG=4x263x=613故选：D2如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y=kx（k0，x0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A

15、若点A为OE的中点，且SAEF1，则k的值为（）A12B12C24D24【解答】解：设直线MN交x轴于点G，连接OB，如图所示：由对称性可知，AGGE，OAEC，A是OE的中点，AEOA，OAAECE，AG=14AC，SAEF1，SAFG=12SAEF=12，MNBCOD，AGFACB，GAFCAB，AFGABC，SAFGSABC=(AGAC)2=116，SABC=12168，又OA=12AC，SOAB=12SABC4，SOBC8+412，点B在反比例函数的图象上，SOBC12=12|k|，k0，k24，故选：C3如图，已知ABC，DCE，FEG，HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，

16、EG，GI在同一直线上，且AB4，BC2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（）A4B103C3D83【解答】解：如下图所示，过点A作AMBC于点M，ABC，DCE，FEG，HGI是四个全等的等腰三角形，AB4，BC2，BCCEEGGI2，BMMC=12BC1，ABAC4，AM=AC2-MC2=16-1=15，又MIBIBM7，AI=AM2+MI2=15+49=8，ACBFGE，FGAC，IQGIAC，QIAI=GICI，即QI8=13，解得QI=83，故选：D4如图，在平行四边形OABC中，OA在x轴上，双曲线y=kx经过点C交AB于D，连接CD并延长交x轴于点E，连接BE，若SEBD=32

17、，AE=13BC，则k的值为（）A-325B-165C2D2【解答】解：过点B作BFOE于点F，过点D作DGOE于点G，过点C作CHOE于H，如图，设点C（a，ka），点C在第二象限，a0，k0则OHa，CH=ka四边形OABC是平行四边形，OABC，OABCBFOE，CHOE，BFCH=kaAE=13BC，OABC，DEADCBEDDC=ADBD=AEBC=13SBEDSBDC=EDDC，SEBD=32，SBDC=92SEBCSEDB+SDBC6BFOE，DGOE，BFDGDGBE=ADAB=14DG=14BE=k4aD（4a，k4a）OG4a12BCBF6，BC=12akOA=12akGA

18、OGOA4a-12ak四边形OABC是平行四边形，OCAB，OCAB，BAECOA在ABF和OCH中，BAE=COABFA=CHO=90AB=OC，ABFOCH（AAS）AFOHaBFDG，GAAF=ADAB=14即：-4a-12ak-a=14解得：k=-165故选：B5如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点N已知DF6，AN56若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则ABE的面积为 【解答】解：由折叠可知，DNAF，EFDF，AEAD，ADF90，FDN+ADN90，ADN+DAN90，FDNDAN，DFNAFD，DFAF=FNDF，DF6，AN56

19、，6NF+56=NF6，NF=6，AF66，在RtADF中，AD=AF2-DF2=(66)2-62=65，ADAE65，AEF90，AEB+EFC90，AEB+EAB90，EFCEAB，CEFBAE，FEAE=CFBE，EF6，FEAE=15，BE=5CF，在RtBAE中，AE2AB2+BE2，（65）2（6+CF）2+（5CF）2，CF4，AB10，EB45，SAEB=12ABEB=121045=205，故答案为2056在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点

20、A2，作第3个正方形A2B2C2C1按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为 【解答】解：点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），OA1，OD2，AD=OA2+OD2=5，DAB90，ADO+DAO90，BAA1+ABA190，BAA1ADO，AODA1BA90，AODABA1，ABA1B=ODOA=2，A1B=12AB=52，A1CBC+A1B（1+12）5=325，第2个正方形A1B1C1C的边长为325；同理：A1B1A2B1=ABA1B=2，A2B1=12A1B1=32512，A2C1A1C+A2B1=325（1+12）=5(32)2，第3个正方形A2B2C2C1的边长5(

21、32)2，第n个正方形An1Bn1Cn1Cn2的边长为5(32)n-1，第2022个正方形的边长为：5(32)2021，故答案为：5(32)20217如图，正方形ABCD和正方形AEFG，点F在BC边上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG，以下四个结论：ACFADG；CF=2DG；DGAC；点G到直线AD和直线CD的距离相等；AHAC2AE2；其中正确的是 （只填序号）【解答】解：四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，EAGBADADC90，FAGAFGDACACB45，AF=2AG，AC=2AD，EAGBAGBADBAG，bAFAG=ACAD=2，FAGCAD45，F

22、ACDAG，FACGAD，故正确，ADGACB45，FCDG=ACAD=2，2DGFC，故正确，如图，延长DG交AC于N，ACFADG，ADGACF45，AND90，DGAC，故正确，CDGADCADG45，DG是ADC的平分线，点G到直线AD和直线CD的距离相等故正确FACFAH，AFGACF45，AFHACF，AHAF=AFAC，AF2AHAC，2AE2AHAC，故正确，综上所述：正确的有故答案为：8已知四边形ABCD中，ABAD，AC平分DAB，过点C作CEAB于点E，点F为AB上一点，且EFEB，DGCADC（1）求证：CDCF；（2）H为线段DG上一点，连接AH，若ADC2HAG，A

23、D5，DC3，求FGGH的值【解答】（1）证明：AC平分DAB，DACBAC，在ADC和ABC中AC=ACDAC=BACAD=AB，ADCABC（SAS），CDCB，CEAB，EFEB，CFCB，CDCF；（2）解：DGCADC，DGCADC，ADC2HAG，DGC2HAG，DGCHAG+AHG，HAGAHG，HGAG，GDCDACFAG，DGCAGF，DGCAGF，AGFADC，FGAG=CDDA=35，即FGGH=359如图，抛物线yax2+bx（a0）与双曲线y=kx相交于点A，B已知点A的坐标为（1，4），点B在第四象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）（1）求实数a，b，k的值；

24、（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标【解答】解：（1）如图1，反比例函数经过A（1，4），k144，即y=-4x；设B（m，-4m），已知A（1，4），可求得直线AB：y=-4mx+4-4m；SBOA=12（4-4m）（m+1）3，2m23m20，即m2（负值舍去）；B（2，2）由于抛物线经过A、B两点，则有：a-b=44a+2b=-2，解得 a=1b=-3；yx23x故a1，b3，k4（2）如图2，设抛物线与x轴正半轴的交点为D；直线ACx轴，且A（1，4），C（4，4）；已求得B（2，2），则有：CODBOD45，即BOC90；将BOA

25、绕点O逆时针旋转90得到B1OA1，作AMx轴于M，作A1Nx轴于NA的坐标是（1，4），即AM4，OM1，AOM+NOA190，OAM+AOM90OAMNOA1，在AOM与OA1N中，AMO=A1NOOAM=NOA1OA=OA1 AOMOA1N（AAS），A1NOM1，ONAM4A1的坐标是（4，1），此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE2OA1，则COE1B1OA1BOA；则E1（8，2）；以OC所在直线为对称轴，作B1OA1的对称图形B1OA2，延长OA2至E2，使得OE22OA2，则COE2COE1BOA；易知A2（1，4），则E2（2，8）；故存在两个符合条件的E点，且坐

26、标为E1（8，2），E2（2，8）10如图，在平面直角坐标系xOy中，直角ABC的顶点A，B在函数y=kx（k0，x0）图象上，ACx轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE1（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求MBE的面积【解答】解：（1）由题意得点A的坐标为（k2，2），点B的坐标为（1，k），又ACx轴，且ACB为直角三角形，点C的坐标为（1，2），又CE1，点E的坐标为（2，2），点E在线段AB的垂直平分线上，EAEB，在RtBCE中，EB2BC2+CE2，1+（k2）2=(k2-2)2，k2或23，当k2时，点A

27、，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，k=23，C（1，2），E（2，2），k=23；（2）由（1）可得，AC=23，BC=43，CE1，设AB的中点为D，AB=AC2+BC2=235，BD=12AB=53，ABCMBD，BDMBCA90，BDMBCA，BMBA=BDBC，BM=5343253=56，SMBE=12BMCE=12561=51211如图，在ABC中，点D在边BC上，联结AD，ADBCDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2DEDF（1）求证：BFDCAD；（2）求证：BFDEABAD【解答】证明：（1）AD2DEDF，ADDE=DFAD，ADFEDA，ADF

28、EDA，FDAE，又ADBCDE，ADB+ADFCDE+ADF，即BDFCDA，BFDCAD；（2）BFDCAD，BFAC=DFAD，ADDE=DFAD，BFAC=ADDE，BFDCAD，BC，ABAC，BFAB=ADDE，BFDEABAD12如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1）求抛物线的表达式；（2）判断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，2为半径作C，在C上是否存在点P，使得BP+12EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的顶

29、点坐标为E（2，8），设该抛物线的表达式为ya（x2）2+8，与y轴交于点C（0，6），把点C（0，6）代入得：a=-12，该抛物线的表达式为y=-12x2+2x+6；（2）BCE是直角三角形理由如下：抛物线与x轴分别交于A、B两点，令y0，则-12（x2）2+80，解得：x12，x26，A（2，0），B（6，0），BC262+6272，CE2（86）2+228，BE2（62）2+8280，BE2BC2+CE2，BCE90，BCE是直角三角形；（3）C上存在点P，使得BP+12EP的值最小且这个最小值为2902理由如下：如图，在CE上截取CF=22（即CF等于半径的一半），连结BF交C于点P，连结EP，则BF的长即为所求理由如下：连结CP，CP为半径，CFCP=CPCE=12，又FCPPCE，FCPPCE，CFCP=FPPE=12，即FP=12EP，BFBP+12EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+12EP为最小值CF=14CE，E（2，8），由比例性质，易得F（12，132），BF=(6-12)2+(0-132)2=2902