专题6.2等差数列（原卷版）.docx

1、6.2 等差数列思维导图知识点总结1等差数列的有关概念定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，即an1and(nN*，d为常数)通项公式设an是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an 等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项根据等差数列的定义可以知道，2A 2等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1，an，na1，d，n典型例题分析考向一 等差数列基本量的运算1已知等差数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a617，S5a2a3，则a12( )A28 B30C32 D3

2、5解析：选D设公差为d且d0，由a617，S5a2a3，得故a12a111d23335.2(2022全国乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和若2S33S26，则公差d_.解析：因为2S33S26，所以2(a1a2a3)3(a1a2)6，化简得3d6，得d2.答案：2方法总结解答等差数列运算问题的通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了解方程的思想考向二 等差数列的判定或证明典例在数列an中，Sn14an2，a11.(1

3、)设cn，求证数列cn是等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：在数列an中，nN*，Sn14an2，则当n2时，有Sn4an12，两式相减得an14an4an1，而cn，即an2ncn，则有2n1cn142ncn42n1cn1，整理得cn12cncn1，即cn1cn12cn，所以数列cn是等差数列(2)由Sn14an2得a1a24a12，而a11，则a25，c1，c2，因此，等差数列cn的公差d，即cn是以为首项，为公差的等差数列，则cn(n1)n，即，于是得an(3n1)2n2，所以数列an的通项公式an(3n1)2n2.方法技巧等差数列的判定与证明方法定义法如果一个数列an从第

4、2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列an为等差数列等差中项法如果一个数列an对任意的正整数n都满足2an1anan2，那么可以判断an为等差数列通项公式法如果一个数列an的通项公式满足anpnq(p，q为常数)的形式，那么可以提出an是首项为pq，公差为p的等差数列，适用选择、填空题前n项和公式法如果一个数列an的前n项和公式满足SnAn2Bn(A，B为常数)的形式，那么可以得出数列an是首项为AB，公差为2A的等差数列，适用选择、填空题考向三 等差数列的性质角度1等差数列的性质例1(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1010，S2060，则S40等于( )A

5、110 B150 C210 D280(2)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为_斤(3)已知数列an，bn都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且，则_.解析(1)因为等差数列an的前n项和为Sn，所以S10，S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列故(S30S20)

6、S102(S20S10)，所以S30150.又因为(S20S10)(S40S30)2(S30S20)，所以S40280.(2)设该若干段的质量从大到小构成等差数列an，由题意得，每4段为1尺，即a1a2a3a44，a20a19a18a172，两式相加得4(a1a20)6，则a10a11a1a20.(3)因为an，bn为等差数列，所以，又，所以2.答案(1)D(2)(3)2方法技巧(1)运用等差数列的有关性质和结论可以提升解题效率(2)应用性质解题时，注意性质成立的前提条件(3)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等

7、角度2等差数列前n项和的最值例2(多选)记等差数列an的前n项和为Sn.若a210，S5S2，则( )AS3S4 Ba610CSn的最大值为30 Dan的最大值为15解析设等差数列的公差为d，则由题可得解得an15(n1)(5)205n，Sn，a40，S3S4，故A正确；a610，故B错误；当n3或n4时，Sn取得最大值为30，故C正确；由于d0，an的最大值为a115，故D正确答案ACD方法技巧求等差数列前n项和Sn最值的方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：若a10，d0，则满足的项数m使得Sn

8、取得最大值Sm；若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.基础题型训练一、单选题1观察下面的数表：若第n行的各数之和为231，则（）A15B18C20D212两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是ABCD3设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，的值为（）ABCD4在等差数列中，若，则（）ABCD5已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（）A10B20C25D506数列的前项和为，若点在函数的图象上，则（）A2021B4041C4042D4043二、多选题7若为等差数列，则下列说法正确的是（）AB是数列中的项C数列单调递减D数列前7项和最大8已知关于x的方程的四个根

9、是公差为2的等差数列的前四项，为数列的前n项和，则（）ABCD三、填空题9九章算术“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为_升10已知等差数列的前项和有最小值，且，则使得成立的的最小值是_11已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则_12已知数列中，则_四、解答题13已知等差数列中，=1，求数列的通项公式14已知数列满足(1)求证数列是等差数列；(2)求的通项公式；(3)试判断是否为数列中的项，并说明理由15在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）求的表达式.16已知在公比为2的等比数列中，成等差数列（1）求数列的通

10、项公式；（2）设求数列的前项和提升题型训练一、单选题1在等差数列中，若，则（）A38B39C40D412已知直线y253x，点(n，an)在该直线上，则a3a5（）A24B25C26D273北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是扇环形的石板，从内到外各圈的石板数组成等差数列，它的前n项和为，且，则（）A2079B2059C2022D18904已知等差数列的前项和为，若，下列为真命题的序号为（）；ABCD5孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经，年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，年英

11、国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将至这个整数中能被除余且被除余的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（）ABCD6在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（）ABCD二、多选题7关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（）A若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数B等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数C若数列是等差数列，则数列（k为常数）也是等差数列D若数列是等差数列，则数列也是等差数列8已知数列满足：，则下列说法正确的有（）A数列是等差数列BCD三、填空题9在等差数列中，则_.10已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则_11已知等差数列an的前n项和为Sn，且，则a3+a6_12已知等差数列an的前n项和为Sn，且a24，S530，则数列的前n项和为_四、解答题13已知数列的前n项和为，且.求证：数列是等差数列；14已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是等差数列.15已知等差数列，公差，是数列的前项和，数列满足，是数列的前n项和.(1)求数列，的通项公式；(2)求证：.16设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等差中项(1)求的值；(2)若集合中最小的元素为6，求实数t的取值范围